博弈论做题总结1

关于博弈论的基本内容详见本人这篇博客博客链接
这里以例题，补充一些博弈论的其他知识和做题的注意点。

Calendar Game(日期)

题目大意

两个人玩一种游戏，游戏内容为：在1900年1月1日到2001年11月4日之间的某一个日期开始，分别往下报日期，有两种报法，可以报该天的下一天，也可以报下个月的这一天（如果下个月没有这一天则不可以这样报），最后报到2001年11月4日的人赢。问对于给定的日期，先手是赢是输。（两人均采用最优策略）

分析

1. 一个博弈论的相关定理：
   我们假设 所有终结点 是 必败点P。
   无论如何操作，必败点P 都只能进入 必胜点 N。（不管怎么做，都会使对手处于必胜状态）
   从任何必胜点N 操作，至少有一种方式可以进入必败点 P。（当前状态 采取 最优策略 可以使对手 处于必败状态）
   假设我站在先手的状态：
   （注意： a -> b, 如果b全部是必胜态， 则a是必败态， 如果存在一个b是必败态，则a是必胜态。）
2. 通常我们分析必胜点和必败点都是以终结点进行逆序分析。

看到该题，我们不妨直接打表试图寻找规律。

必败点	必胜点
11.4	11.3
11.2	11.1
10.31	10.30
10.29	10.28
…	…
10.1	9.30（直接转移到10.1）
9.28	9.29（直接转移到10.29）

解释9.28点：（1）可以一下跳到10.28，使对手处于必胜状态，（2）可以跳到9.29，对手也处于必胜状态。所以9.28为必败点。
9.29点为必胜点：存在该人报 10.29使对手处于必败状态。

必败点	必胜点
9.2	9.1
8.31	8.30（直接跳到8.31，使对手必败）
8.29	8.28
8.3	8.2
8.1	7.31
7.30	7.29
7.2	7.1
。	6.30（跳到7.30）
6.29	6.28
6.3	6.2
6.1	5.31
5.30	5.29
5.2	5.1
.	4.30(直接跳到5.30)
4.29	4.28
4.5	4.4
4.3	4.2
4.1	3.31
3.30	3.29
3.2	3.1
2.29	2.28
2.3	2.2
2.1	1.31
1.30	1.29
1.2	1.1
12.31	12.30
12.29	12.28
12.1	11.30（跳到12.1）
.	11.29（跳到12.29）
11.28	11.27

发现：

1. 2.28是一个必胜点，2.29是一个必败点，这俩是固定的
2. 不管是月份加一，还是日期加一，都改变了奇偶性（必胜点 月份加日期 = 偶数， 必败点两者相加为 奇数）只有两个点不同：9.30， 11.30为必胜点 例外

代码

#include 
#include 
using namespace std;
int main(void){
    int t;
    cin >> t;
    while(t --){
        int n, y, r;
        scanf("%d%d%d", &n, &y, &r);
        if((y + r) % 2 == 0 ) puts("YES");
        else if( r == 30 && (y == 11 || y == 9)) puts("YES");
        else puts("NO");
    }
    return 0;

}

Euclid’s Game（两数关系）

题目大意

小A和小B，准备玩一个游戏，玩法是这样的，从两个自然数开始比赛。第一个玩家小A从两个数字中的较大者减去两个数字中较小者的任何正倍数，前提是得到的数字必须是非负的。然后，第二个玩家小B对得到的两个数字做同样的处理，两个玩家交替进行，直到一个玩家能够从大的数字中减去较小数字的倍数，达到0，从而获胜

分析

我们涉及到两个数，盲举自然是不太可行的。可以从两数大小关系入手
我们规定 a >= b.(不符合时，交换即可)

1. 如果 a = b 或者 a % b = 0这两种情况对于先手都是必胜态。
2. 当 a >= 2b, 对于先手来说， 一定可以得到 a % b 的值，
   如果 b % (a % b) = 0，后手必胜。
   先手可以把两数变成 a % b + b 和 b, 后手 只能将两数变成 a % b 和 b。先手再次处于必胜状态。
3. b < a < 2 * b,进行模拟，直到出现必胜态，通过记录操作次数（奇偶）来判断谁赢。

代码

#include 
#include 
using namespace std;
int a, b;
int main(void){
    while(1){
        scanf("%d%d", &a, &b);
        if(a == 0 && b == 0) break;
        if(a < b) swap(a, b);
        int cnt = 0;
        while(b){
            if(a % b == 0 || a >= 2 * b){
                cnt ++;
                break;
            }
            a -= b;
            swap(a, b);
            cnt ++;
        }
        if(cnt % 2) puts("Stan wins");
        else puts("Ollie wins");

    }
    return 0;
}

Good Luck in CET-4 Everybody!（巴什）

问题描述

Kiki和Cici打牌的时候可没忘记专业，她们打牌的规则是这样的：
1、 总共n张牌;
2、 双方轮流抓牌；
3、 每人每次抓牌的个数只能是2的幂次（即：1，2，4，8，16…）
4、 抓完牌，胜负结果也出来了：最后抓完牌的人为胜者；
假设Kiki和Cici都是足够聪明（其实不用假设，哪有不聪明的学生~），并且每次都是Kiki先抓牌，请问谁能赢呢？

分析

和巴什博弈很像，小编啊，，真的是，， 看到这题解都震惊了，，害，希望这道题能触碰到大脑里的某条神经， 从而变得聪明点。。

任何正整数都能写成若干个2的整数次方幂之和
由于规定只能取2的某个整数此方幂，只要你留给对手的牌数为 3 的倍数（3 * n）时，那你就必赢。对于每个 3 只要他取出1个（或2个）那你就 取出2个（或1个），比如剩下 8 个， 对手取出5个， 5 = 3 + 2， 那你就取出 0 + 1个， 剩下三个，必赢

代码

#include 
#include 
using namespace std;
int main(void){
    int n;
    while(scanf("%d", &n) != EOF){
        if(n % 3) puts("Kiki");
        else puts("Cici");
    }
    return 0;
}