【数据结构】数组和字符串（十）：稀疏矩阵的链接存储：十字链表的矩阵操作（加法、乘法、转置）

4.2.1 矩阵的数组表示

【数据结构】数组和字符串（一）：矩阵的数组表示

4.2.2 特殊矩阵的压缩存储

  矩阵是以按行优先次序将所有矩阵元素存放在一个一维数组中。但是对于特殊矩阵，如对称矩阵、三角矩阵、对角矩阵和稀疏矩阵等, 如果用这种方式存储，会出现大量存储空间存放重复信息或零元素的情况，这样会造成很大的空间浪费。为节约存储空间和算法（程序）运行时间，通常会采用压缩存储的方法。

• 对角矩阵：指除了主对角线以外的元素都为零的矩阵，即对 任意 i ≠ j (1≤ i , j ≤n)，都有M(i, j)=0。由于只有主对角线上有非零元素，只需存储主对角线上的元素即可。
• 三角矩阵：指上三角或下三角的元素都为零的矩阵。同样地，只需存储其中一部分非零元素，可以节省存储空间。
• 对称矩阵：指矩阵中的元素关于主对角线对称的矩阵。由于对称矩阵的非零元素有一定的规律，可以只存储其中一部分元素，从而减少存储空间。
• 稀疏矩阵：指大部分元素为零的矩阵。传统的按行优先次序存储方法会浪费大量空间来存储零元素，因此采用压缩存储的方法更为合适。常见的压缩存储方法有：压缩稠密行（CSR）、压缩稠密列（CSC）、坐标列表（COO）等。

a. 对角矩阵的压缩存储

【数据结构】数组和字符串（二）：特殊矩阵的压缩存储：对角矩阵——一维数组

b~c. 三角、对称矩阵的压缩存储

【数据结构】数组和字符串（三）：特殊矩阵的压缩存储：三角矩阵、对称矩阵——一维数组

d. 稀疏矩阵的压缩存储——三元组表

  对于稀疏矩阵的压缩存储，由于非零元素的个数远小于零元素的个数，并且非零元素的分布没有规律，无法简单地利用一维数组和映射公式来实现压缩存储。针对稀疏矩阵，通常采用特定的数据结构来进行压缩存储，以减少存储空间的占用。

  一种常见的稀疏矩阵压缩存储方法是使用"三元组"表示法，也称为COO（Coordinate）格式，只存储非零元素的值以及它们的行列坐标。通过使用三元组（Triplet）来表示非零元素的位置和值，每个三元组包含三个信息：非零元素的行索引、非零元素的列索引以及非零元素的值。

【数据结构】数组和字符串（四）：特殊矩阵的压缩存储：稀疏矩阵——三元组表

4.2.3三元组表的转置、加法、乘法、操作

【数据结构】数组和字符串（七）：特殊矩阵的压缩存储：三元组表的转置、加法、乘法操作

4.2.4十字链表

  在稀疏矩阵的十字链表中，每个非零元素都由一个节点表示。节点包含了几个字段：

1. LEFT：指向该节点在同一行中的左邻非零元素的地址信息。
2. UP：指向该节点在同一列中的上邻非零元素的地址信息。
3. ROW：存储该节点在矩阵中的行号。
4. COL：存储该节点在矩阵中的列号。
5. VAL：存储该节点的元素值。

  每一行都有一个表头节点，它引导着该行的循环链表，循环链表中的每个节点按照列号的顺序排列。同样，每一列也有一个表头节点，它引导着该列的循环链表，循环链表中的每个节点按照行号的顺序排列。
  关于循环链表： 【数据结构】线性表（三）循环链表的各种操作（创建、插入、查找、删除、修改、遍历打印、释放内存空间）

• 在稀疏矩阵的十字链表中，每一行和每一列都有一个表头节点。

  • 对于行表头节点 BASEROW[i]，其中 i 表示行号，范围从 1 到 m（矩阵的行数）。如果该行为空（即没有非零元素），则 COL(Loc(BASEROW[i])) 的值为 -1。否则，COL(Loc(BASEROW[i])) 的值为该行中最右边的非零元素的列号。

  • 对于列表头节点 BASECOL[j]，其中 j 表示列号，范围从 1 到 n（矩阵的列数）。如果该列为空（即没有非零元素），则 ROW(Loc(BASECOL[j])) 的值为 -1。否则，ROW(Loc(BASECOL[j])) 的值为该列中最下边的非零元素的行号。

• 由于行和列都是循环链表，行表头节点 BASEROW[i] 中的 LEFT 指针循环地链接到该行最右边的非零元素，列表头节点 BASECOL[j] 中的 UP 指针循环地链接到该列最下边的非零元素。
   
   通过这种方式，可以用较少的空间表示稀疏矩阵，并且可以快速地进行行和列的遍历操作。每个节点的 LEFT 和 UP 指针可以用来定位其左邻和上邻非零元素，从而实现矩阵的访问和操作。

0. 十字链表的基本操作

【数据结构】数组和字符串（八）：稀疏矩阵的链接存储：十字链表的创建、遍历打印（按行、按列、打印矩阵）、销毁

【数据结构】数组和字符串（九）：稀疏矩阵的链接存储：十字链表的插入、查找、删除操作

1. 矩阵加法

SparseMatrix* matrixAddition(SparseMatrix* matrix1, SparseMatrix* matrix2) {
    if (matrix1->rows != matrix2->rows || matrix1->cols != matrix2->cols) {
        printf("Matrix dimensions do not match!\n");
        return NULL;
    }

    SparseMatrix* result = createSparseMatrix(matrix1->rows, matrix1->cols);

    for (int i = 1; i <= matrix1->rows; i++) {
        MatrixNode* node1 = matrix1->rowHeaders[i];
        MatrixNode* node2 = matrix2->rowHeaders[i];

        while (node1 != NULL && node2 != NULL) {
            if (node1->col == node2->col) {
                int sum = node1->value + node2->value;
                insertElement(result, node1->row, node1->col, sum);
                node1 = node1->right;
                node2 = node2->right;
            } else if (node1->col < node2->col) {
                insertElement(result, node1->row, node1->col, node1->value);
                node1 = node1->right;
            } else {
                insertElement(result, node2->row, node2->col, node2->value);
                node2 = node2->right;
            }
        }

        while (node1 != NULL) {
            insertElement(result, node1->row, node1->col, node1->value);
            node1 = node1->right;
        }

        while (node2 != NULL) {
            insertElement(result, node2->row, node2->col, node2->value);
            node2 = node2->right;
        }
    }

    return result;
}

• 检查两个矩阵的行数和列数是否相同，如果不相同，则打印错误消息并返回NULL。
• 创建一个新的稀疏矩阵作为结果。
• 从第一行开始遍历两个矩阵的每一行：
  • 获取第一个矩阵当前行的行链表头节点和第二个矩阵当前行的行链表头节点。
  • 遍历两个矩阵当前行的行链表，根据节点的列进行比较：
    • 如果两个节点的列相等，则将节点的值相加，并插入到结果矩阵中。
    • 如果第一个节点的列小于第二个节点的列，则将第一个节点插入到结果矩阵中。
    • 如果第一个节点的列大于第二个节点的列，则将第二个节点插入到结果矩阵中。
  • 遍历剩余的节点，将它们插入到结果矩阵中。
• 返回结果稀疏矩阵的指针。

2. 矩阵乘法

SparseMatrix* matrixMultiplication(SparseMatrix* matrix1, SparseMatrix* matrix2) {
    if (matrix1->cols != matrix2->rows) {
        printf("Matrix dimensions do not match!\n");
        return NULL;
    }

    SparseMatrix* result = createSparseMatrix(matrix1->rows, matrix2->cols);

    for (int i = 1; i <= matrix1->rows; i++) {
        for (int j = 1; j <= matrix2->cols; j++) {
            int sum = 0;

            MatrixNode* node1 = matrix1->rowHeaders[i];
            MatrixNode* node2 = matrix2->colHeaders[j];

            while (node1 != NULL && node2 != NULL) {
                if (node1->col == node2->row) {
                    sum += node1->value * node2->value;
                    node1 = node1->right;
                    node2 = node2->down;
                } else if (node1->col < node2->row) {
                    node1 = node1->right;
                } else {
                    node2 = node2->down;
                }
            }

            if (sum != 0) {
                insertElement(result, i, j, sum);
            }
        }
    }

    return result;
}

• 检查两个矩阵的维度是否满足矩阵乘法的要求，如果不满足，则打印错误消息并返回NULL。
• 创建一个新的稀疏矩阵作为结果。
• 从第一行开始遍历第一个矩阵的每一行：
  • 遍历第二个矩阵的每一列：
    • 初始化一个变量用于存储两个节点值的乘积的累加和。
    • 获取第一个矩阵当前行的行链表头节点和第二个矩阵当前列的列链表头节点。
    • 遍历两个链表，根据节点的列和行进行比较：
      • 如果两个节点的列和行相等，则将两个节点的值相乘并累加到和变量中。
      • 如果第一个节点的列小于第二个节点的行，则将第一个节点的右指针向右移动。
      • 如果第一个节点的列大于第二个节点的行，则将第二个节点的下指针向下移动。
    • 如果和变量的值不为0，则将和变量的值插入到结果矩阵中。
• 返回结果稀疏矩阵的指针。

3. 矩阵转置

SparseMatrix* matrixTranspose(SparseMatrix* matrix) {
    SparseMatrix* result = createSparseMatrix(matrix->cols, matrix->rows);

    for (int i = 1; i <= matrix->rows; i++) {
        MatrixNode* current = matrix->rowHeaders[i];
        while (current != NULL) {
            insertElement(result, current->col, current->row, current->value);
            current = current->right;
        }
    }

    return result;
}

• 创建一个新的稀疏矩阵作为结果，行数和列数与原矩阵相反。
• 从第一行开始遍历原矩阵的每一行：
  • 获取当前行的行链表头节点。
  • 遍历当前行的行链表，将节点的行和列交换后插入到结果矩阵中。
• 返回结果稀疏矩阵的指针。

4. 主函数

int main() {
    // 创建一个5x5的稀疏矩阵
    SparseMatrix* matrix1 = createSparseMatrix(5, 5);

    // 插入元素
    insertElement(matrix1, 1, 3, 5);
    insertElement(matrix1, 1, 4, 2);
    insertElement(matrix1, 5, 2, 1);
    insertElement(matrix1, 5, 1, 8);
    insertElement(matrix1, 5, 5, 7);

    // 打印稀疏矩阵
    printf("\nSparse Matrix 1:\n");
    printSparseMatrix(matrix1);

    // 创建另一个5x3的稀疏矩阵
    SparseMatrix* matrix2 = createSparseMatrix(5, 3);

    // 插入元素
    insertElement(matrix2, 1, 1, 1);
    insertElement(matrix2, 1, 3, 2);
    insertElement(matrix2, 2, 2, 3);
    insertElement(matrix2, 3, 1, 4);
    insertElement(matrix2, 3, 3, 5);

    // 打印稀疏矩阵
    printf("\nSparse Matrix 2:\n");
    printSparseMatrix(matrix2);

    // 矩阵加法
    SparseMatrix* additionResult = matrixAddition(matrix1, matrix1);
    printf("\nMatrix Addition Result:\n");
    printSparseMatrix(additionResult);

    // 矩阵乘法
    SparseMatrix* multiplicationResult = matrixMultiplication(matrix1, matrix2);
    printf("\nMatrix Multiplication Result:\n");
    printSparseMatrix(multiplicationResult);

    // 矩阵转置
    SparseMatrix* transposeResult = matrixTranspose(matrix1);
    printf("\nMatrix Transpose Result:\n");
    printSparseMatrix(transposeResult);

    // 销毁稀疏矩阵
    destroySparseMatrix(matrix1);
    destroySparseMatrix(matrix2);
    destroySparseMatrix(additionResult);
    destroySparseMatrix(multiplicationResult);
    destroySparseMatrix(transposeResult);

    return 0;
}

Sparse Matrix 1:
0 0 5 2 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
8 1 0 0 7

Sparse Matrix 2:
1 0 2
0 3 0
4 0 5
0 0 0
0 0 0

5. 代码整合

#include 
#include 

// 定义矩阵节点结构
typedef struct MatrixNode {
    int row;
    int col;
    int value;
    struct MatrixNode* right;
    struct MatrixNode* down;
} MatrixNode;

// 定义稀疏矩阵结构
typedef struct SparseMatrix {
    int rows;
    int cols;
    MatrixNode** rowHeaders;
    MatrixNode** colHeaders;
} SparseMatrix;

// 创建稀疏矩阵
SparseMatrix* createSparseMatrix(int rows, int cols) {
    SparseMatrix* matrix = (SparseMatrix*)malloc(sizeof(SparseMatrix));
    matrix->rows = rows;
    matrix->cols = cols;

    // 创建行表头节点数组
    matrix->rowHeaders = (MatrixNode**)malloc((rows + 1) * sizeof(MatrixNode*));
    for (int i = 0; i <= rows; i++) {
        matrix->rowHeaders[i] = NULL;
    }

    // 创建列表头节点数组
    matrix->colHeaders = (MatrixNode**)malloc((cols + 1) * sizeof(MatrixNode*));
    for (int j = 0; j <= cols; j++) {
        matrix->colHeaders[j] = NULL;
    }

    return matrix;
}

// 销毁稀疏矩阵
void destroySparseMatrix(SparseMatrix* matrix) {
    if (matrix == NULL) {
        return;
    }

    // 释放所有节点内存
    for (int i = 1; i <= matrix->rows; i++) {
        MatrixNode* current = matrix->rowHeaders[i];
        while (current != NULL) {
            MatrixNode* temp = current;
            current = current->right;
            free(temp);
        }
    }

    // 释放行表头节点数组
    free(matrix->rowHeaders);

    // 释放列表头节点数组
    free(matrix->colHeaders);

    // 释放稀疏矩阵结构
    free(matrix);
}

// 插入元素
void insertElement(SparseMatrix* matrix, int row, int col, int value) {
    if (row <= 0 || row > matrix->rows || col <= 0 || col > matrix->cols) {
        printf("Invalid position!\n");
        return;
    }

    // 创建新节点
    MatrixNode* newNode = (MatrixNode*)malloc(sizeof(MatrixNode));
    newNode->row = row;
    newNode->col = col;
    newNode->value = value;
    newNode->right = NULL;
    newNode->down = NULL;

    // 插入到行链表
    if (matrix->rowHeaders[row] == NULL || matrix->rowHeaders[row]->col > col) {
        // 插入到行链表的头部
        newNode->right = matrix->rowHeaders[row];
        matrix->rowHeaders[row] = newNode;
    } else {
        MatrixNode* current = matrix->rowHeaders[row];
        while (current->right != NULL && current->right->col < col) {
            current = current->right;
        }
        newNode->right = current->right;
        current->right = newNode;
    }

    // 插入到列链表
    if (matrix->colHeaders[col] == NULL || matrix->colHeaders[col]->row > row) {
        // 插入到列链表的头部
        newNode->down = matrix->colHeaders[col];
        matrix->colHeaders[col] = newNode;
    } else {
        MatrixNode* current = matrix->colHeaders[col];
        while (current->down != NULL && current->down->row < row) {
            current = current->down;
        }
        newNode->down = current->down;
        current->down = newNode;
    }
}

// 打印稀疏矩阵
void printSparseMatrix(SparseMatrix* matrix) {
    for (int i = 1; i <= matrix->rows; i++) {
        MatrixNode* current = matrix->rowHeaders[i];
        for (int j = 1; j <= matrix->cols; j++) {
            if (current != NULL && current->col == j) {
                printf("%d ", current->value);
                current = current->right;
            } else {
                printf("0 ");
            }
        }
        printf("\n");
    }
}

// 矩阵加法
SparseMatrix* matrixAddition(SparseMatrix* matrix1, SparseMatrix* matrix2) {
    if (matrix1->rows != matrix2->rows || matrix1->cols != matrix2->cols) {
        printf("Matrix dimensions do not match!\n");
        return NULL;
    }

    SparseMatrix* result = createSparseMatrix(matrix1->rows, matrix1->cols);

    for (int i = 1; i <= matrix1->rows; i++) {
        MatrixNode* node1 = matrix1->rowHeaders[i];
        MatrixNode* node2 = matrix2->rowHeaders[i];

        while (node1 != NULL && node2 != NULL) {
            if (node1->col == node2->col) {
                int sum = node1->value + node2->value;
                insertElement(result, node1->row, node1->col, sum);
                node1 = node1->right;
                node2 = node2->right;
            } else if (node1->col < node2->col) {
                insertElement(result, node1->row, node1->col, node1->value);
                node1 = node1->right;
            } else {
                insertElement(result, node2->row, node2->col, node2->value);
                node2 = node2->right;
            }
        }

        while (node1 != NULL) {
            insertElement(result, node1->row, node1->col, node1->value);
            node1 = node1->right;
        }

        while (node2 != NULL) {
            insertElement(result, node2->row, node2->col, node2->value);
            node2 = node2->right;
        }
    }

    return result;
}

// 矩阵乘法
SparseMatrix* matrixMultiplication(SparseMatrix* matrix1, SparseMatrix* matrix2) {
    if (matrix1->cols != matrix2->rows) {
        printf("Matrix dimensions do not match!\n");
        return NULL;
    }

    SparseMatrix* result = createSparseMatrix(matrix1->rows, matrix2->cols);

    for (int i = 1; i <= matrix1->rows; i++) {
        for (int j = 1; j <= matrix2->cols; j++) {
            int sum = 0;

            MatrixNode* node1 = matrix1->rowHeaders[i];
            MatrixNode* node2 = matrix2->colHeaders[j];

            while (node1 != NULL && node2 != NULL) {
                if (node1->col == node2->row) {
                    sum += node1->value * node2->value;
                    node1 = node1->right;
                    node2 = node2->down;
                } else if (node1->col < node2->row) {
                    node1 = node1->right;
                } else {
                    node2 = node2->down;
                }
            }

            if (sum != 0) {
                insertElement(result, i, j, sum);
            }
        }
    }

    return result;
}

// 矩阵转置
SparseMatrix* matrixTranspose(SparseMatrix* matrix) {
    SparseMatrix* result = createSparseMatrix(matrix->cols, matrix->rows);

    for (int i = 1; i <= matrix->rows; i++) {
        MatrixNode* current = matrix->rowHeaders[i];
        while (current != NULL) {
            insertElement(result, current->col, current->row, current->value);
            current = current->right;
        }
    }

    return result;
}

int main() {
    // 创建一个5x5的稀疏矩阵
    SparseMatrix* matrix1 = createSparseMatrix(5, 5);

    // 插入元素
    insertElement(matrix1, 1, 3, 5);
    insertElement(matrix1, 1, 4, 2);
    insertElement(matrix1, 5, 2, 1);
    insertElement(matrix1, 5, 1, 8);
    insertElement(matrix1, 5, 5, 7);

    // 打印稀疏矩阵
    printf("\nSparse Matrix 1:\n");
    printSparseMatrix(matrix1);

    // 创建另一个5x3的稀疏矩阵
    SparseMatrix* matrix2 = createSparseMatrix(5, 3);

    // 插入元素
    insertElement(matrix2, 1, 1, 1);
    insertElement(matrix2, 1, 3, 2);
    insertElement(matrix2, 2, 2, 3);
    insertElement(matrix2, 3, 1, 4);
    insertElement(matrix2, 3, 3, 5);

    // 打印稀疏矩阵
    printf("\nSparse Matrix 2:\n");
    printSparseMatrix(matrix2);

    // 矩阵加法
    SparseMatrix* additionResult = matrixAddition(matrix1, matrix1);
    printf("\nMatrix Addition Result:\n");
    printSparseMatrix(additionResult);

    // 矩阵乘法
    SparseMatrix* multiplicationResult = matrixMultiplication(matrix1, matrix2);
    printf("\nMatrix Multiplication Result:\n");
    printSparseMatrix(multiplicationResult);

    // 矩阵转置
    SparseMatrix* transposeResult = matrixTranspose(matrix1);
    printf("\nMatrix Transpose Result:\n");
    printSparseMatrix(transposeResult);

    // 销毁稀疏矩阵
    destroySparseMatrix(matrix1);
    destroySparseMatrix(matrix2);
    destroySparseMatrix(additionResult);
    destroySparseMatrix(multiplicationResult);
    destroySparseMatrix(transposeResult);

    return 0;
}