算法分析基础上机题目

算法分析基础上机题目

1.旅行商问题

【问题描述】

假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。

【输入形式】

城市数目，以及城市之间的距离

【输出形式】

所有路径之中的最小值

【样例输入】

4

0,10,15,20

10,0,35,25

15,35,0,30

20,25,30,0

【样例输出】

80

【样例说明】

第一行说明有4个城市；第2至5行说明一个城市与其他城市的距离，其中城市到其自身的距离为0，不可达的城市之间的距离为0。

思路

数据较小，直接全排列枚举所有方案

代码

from itertools import permutations

n = int(input())
ls = []
for i in range(n):
    ls.append([int(x) for x in input().split(',')])


def tsp(n, ls):
    cities = [i for i in range(n)]
    res = float('inf')
    for path in permutations(cities):
        distance = 0
        for i in range(n):
            distance += ls[path[i - 1]][path[i]]
        res = min(res, distance)
    return res


print(tsp(n, ls))

2.邮局选址问题

【问题描述】

对一个以XY轴表达的城市里，n个居民点散乱分布，居民点位置可以用坐标(x,y)表示，任意两点(x1,y1)(x2,y2)间距离可以用| x1-x1|+|y1-y2|度量，居民希望在城市中选择建立邮局的最佳位置，使得n个居民点到邮局的距离总和最小

【输入形式】

居民点数目，以及居民点的坐标

【输出形式】

最小的距离总和

【样例输入】

3

3 3

1 6

4 9

【样例输出】

9

思路

贪心的思想，首先这个问题可以将横纵坐标分开考虑，对答案没影响，则问题转换为在一维坐标轴上面选择一个点，使得所有点到它的距离加起来最小。

放到最中间距离最小，因为假设有两个点AB，需要放置C点，如下：

A  C 	B
A     B  C

显然放中间距离为AB，放两边距离为AB+BC/AC

代码

n = int(input())
a, b = [], []
for i in range(n):
    x, y = map(int, input().split())
    a.append(x)
    b.append(y)
## 排序
a.sort()
b.sort()
res = 0 ## 最优的选择就是放中间
for i in range(n):
    res += abs(a[i] - a[n // 2]) + abs(b[i] - b[n // 2])
print(res)

3.最优合并问题

【问题描述】

给定k个排好序的序列s1,s2,…,sk，用2路合并算法将这k个序列合并成一个序列。假设所采用的2路合并算法合并两个长度分别为m和n的序列需要m+n-1次比较。试设计一个算法确定合并这个序列的最优合并顺序，使所需要的总比较次数最少。

【输入形式】

序列数目，以及各个序列中的元素数目。

【输出形式】

最少的总比较次数

【样例输入】

4

5 12 11 2

【样例输出】

52

思路

贪心的思想：使用一个优先队列，每次从队列中取出两个最小的序列进行合并，再将得到的结果插入到优先队列中去。

代码

import heapq

n = int(input())
ls = [int(x) for x in input().split(' ')]
priority_queue = []
for i in ls: heapq.heappush(priority_queue, i)
res = 0
while len(priority_queue) > 1:
    a = heapq.heappop(priority_queue)
    b = heapq.heappop(priority_queue)
    res += a + b - 1
    heapq.heappush(priority_queue, a + b)
print(res)

4.堆排序

###【问题描述】

排序问题： 给定一个无序序列，采用”堆排序“方法对序列升序排序。

【输入形式】

无序的整数序列

【输出形式】

升序的整数序列

【样例输入】

12,11,13, 5, 6,7

【样例输出】

5, 6, 7,11,12,13

【样例说明】

以逗号隔开的序列, 程序内需要转化为整数序列

思路

堆的性质

1. 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
2. 堆总是一棵完全二叉树。
3. 最后一个非叶结点是第n/2个结点。这里建堆的时候会用到，复杂度可以降到O(n)；
4. 如果一个点为u，那么它的左儿子为2u，右儿子为2u+1
5. 对于小根堆来讲，每个以u为根节点的树，它的左右儿子的值一定大于父节点。所以对堆进行建立的时候，如果当前点与它的左右儿子并不满足这一性质，就需要进行交换。

• 小根堆：子节点比父节点大
• 大根堆：子节点比父节点小

显然这里是升序，因此需要小根堆

代码

## 堆排序
def heapify(ls, n, i):
    largest = i
    l = 2 * i + 1
    r = 2 * i + 2
    if l < n and ls[i] < ls[l]:
        largest = l
    if r < n and ls[largest] < ls[r]:
        largest = r
    if largest != i:
        ls[i], ls[largest] = ls[largest], ls[i]
        heapify(ls, n, largest)


def heapSort(ls):
    n = len(ls)
    for i in range(n, -1, -1):
        heapify(ls, n, i)
    for i in range(n - 1, 0, -1):
        ls[i], ls[0] = ls[0], ls[i]
        heapify(ls, i, 0)


ls = [int(x) for x in input().split(",")]
heapSort(ls)
print(",".join(str(x) for x in ls))

5.布线问题

苏科大的sb输入输出数据，题目描述的输入输出和答案数据全是乱的。

【问题描述】

印刷电路板将布线区域划分成n*m个方格，精确的电路布线问题要求确定连接方格a的中点到方格b的中点的最短布线方案。在布线时，电路只能沿直线或直角布线。为了避免线路相交，已经布了线的方格不允许其他线穿过。对给定的电路板，找出最短的布线路径。

【输入形式】

方阵的行数、列数、布线区域方阵(其中不能通过的地方输入1，能通过的地方输入0)、起点坐标、终点坐标

【输出形式】

线路长度以及线路包含的方格坐标

【样例输入】

6 6
0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 1 0
1 0 0 0 1 0
1 1 1 0 0 0
1 2
4 3

【样例输出】

4

1,2 > 2,2 > 3,2 > 4,2 > 4,3

【样例说明】

第1行输入方阵的行数、列数

第2-7行输入方阵元素，不能通过的地方输入1，能通过的地方输入0

第8行输入起点坐标

第9行输入终点坐标

所有元素用空格分隔, 且坐标索引从1开始！！

思路

思路很简单，就是BFS求最短路，只不过需要输出路径，那就记录前一个节点，最后回溯回去就可以

代码

import queue

## 输入地图大小
n, m = map(int, input().split())

## 初始化地图
g = [[0 for _ in range(m + 1)] for _ in range(n + 1)]
for i in range(n):
    g[i + 1] = [0]+[int(x) for x in input().split()]

## 输入起点和终点
start = tuple(map(int, input().split()))
end = tuple(map(int, input().split()))

## 初始化距离和状态数组，以及父节点数组
dist = [[0 for _ in range(m + 1)] for _ in range(n + 1)]
st = [[0 for _ in range(m + 1)] for _ in range(n + 1)]
father = [[(0, 0) for _ in range(m + 1)] for _ in range(n + 1)]

## BFS 队列初始化，加入起点
q = queue.Queue()
q.put(start)
st[start[0]][start[1]] = 1

flag = False
while not q.empty() and not flag:
    ## 弹出队首元素
    t = q.get()
    ## 枚举四个方向
    for i in range(4):
        x = t[0] + [-1, 1, 0, 0][i]
        y = t[1] + [0, 0, -1, 1][i]
        ## 判断是否越界或者障碍物已经被标记
        if x < 1 or x > n or y < 1 or y > m:
            continue
        if g[x][y] == 0 and st[x][y] == 0:
            ## 如果可以走，则加入队列，更新距离，标记状态，记录父节点
            q.put((x, y))
            dist[x][y] = dist[t[0]][t[1]] + 1
            st[x][y] = 1
            father[x][y] = (t[0], t[1])
            ## 判断是否到达终点
            if (x, y) == end:
                flag = True
                break

## 输出最短路距离
print(dist[end[0]][end[1]])

## 再次 BFS，打印路径
path = [end]
x = end[0]
y = end[1]
while (x, y) != start:
    ## 获取当前点的父节点
    x, y = father[x][y]
    path.append((x, y))

## 反转路径，并输出
path.reverse()
for i in range(len(path)):
    if i == len(path) - 1:
        print("{},{}".format(path[i][0], path[i][1]))
    else:
        print("{},{}".format(path[i][0], path[i][1]), end="-->")

其他三个测试数据如下：

由第一个数据看出

## 测试数据1
6 6
0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 1 0
1 0 0 0 1 0
1 1 1 0 0 0
1 2
4 3
## 输出
4
1,2-->2,2-->3,2-->4,2-->4,3


## 测试数据2
6 6
1 1 1 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 1 0
1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0
3 1
3 6
## 输出
9
3,1-->4,1-->4,2-->5,2-->5,3-->5,4-->5,5-->5,6-->4,6-->3,6


## 测试数据3
4 4
0 1 0 0
0 1 0 1
0 0 0 0
0 0 1 1
1 1
1 4
## 输出
7
1,1-->2,1-->3,1-->3,2-->3,3-->2,3-->1,3-->1,4

6.汽车加油问题

第二个测试数据最后莫名其妙加一些空格

【问题描述】

一辆汽车加满油后可以行驶n千米。旅途中有k个加油站。若要使沿途的加油次数最少，设计一个有效的算法，采用贪心算法，编程计算并输出最少加油次数，以及指出应在那些加油站停靠加油。

【输入形式】

两行标准输入，数字通过空格分隔

【输出形式】

将编程计算出的最少加油次数，以及哪些加油站，输出到文件ouput.txt。如果无法到达目的地，则输出“No Solution”。

【样例输入】

7 7
1 2 3 4 5 1 6 6

【样例输出】

4

3 4 6 7

【样例说明】

第一行标准输入有2个正整数n和k，表示汽车加满油后可行驶n km，且旅途中有k个加油站。

第二行标准输入有k+1个整数，表示第k个加油站与第k-1个加油站之间的距离。第0个加油站表示出发地，汽车已加满油。第k+1个加油站表示目的地。

思路

贪心，如果序列中有一个大于n了，那么说明肯定到不了，否则一定有解，因为最坏的情况就是每站都加

可以开一个变量s，记录当前已经跑了多远了，如果加上下一站还够的话，就继续跑，否则就在本站加油

代码

## 输入s，去除末尾空格
s = input().rstrip()
n, k = map(int, s.split(" "))
ls = [0] + [int(x) for x in input().split(" ")]

## 汽车加油问题
flag = True
for i in ls:
    if i > n:
        flag = False
        break
if flag:
    res = 0
    s = 0
    ans = []
    for i in range(k + 1):
        if s + ls[i + 1] > n:
            ans.append(i)
            res += 1
            s = 0
        s += ls[i + 1]
    print(res)
    for i in ans:
        print(i, end=" ")
else:
    print("No Solution")

7.最大团问题

【问题描述】

给定一个无向图G=(V,E)，若U为V子集，请对任意的顶点u, v为U的元素，有边(u,v)为E元素，则称U为G的一个完全子图。G的完全子图U是一个团，当且仅当U不包含在G的更大的完全子图中。G的最大团则指包含定点数最多的团。对给定的无向图，找出最大团中顶点的个数。

【输入形式】

G的邻接矩阵

【输出形式】

第一行输出最大团顶点个数，第二行输出最大团中的顶点

【样例输入】

0,1,1,0,0

1,0,1,1,1

1,1,0,1,1

0,1,1,0,1

0,1,1,1,0

【样例输出】

最大团顶点个数： 4

最大团为： [0, 1, 1, 1, 1]

【样例说明】

输入的邻接矩阵表明图中有5个顶点，矩阵元素为1，则行、列对应的顶点有边相连，否则没有边相连。矩阵元素之间通过逗号隔开。举例：假设5个顶点分别为ABCDE，那么A与B、C相连。最终求得，最大团中包含4个节点，为BCDE。

完全图

任意两点都恰有一条边相连的图，n个顶点的图中有$\frac{n(n-1)}{2}$ 条边。

完全子图(团)

任意两点都恰好有一条边相连的子图，也叫团。

思路

每次看当前点u如果他和最大团中的点没有边的话就不加，如果都有边的话，那么就加进去。

代码

graph = []
while True:
    try:
        graph.append(list(map(int, input().split(","))))
    except:
        break

n = len(graph[0])
## 用于存储最大团的点集
ans = [0 for _ in range(n)]
## 用于存储当前团的点集
st = [0 for _ in range(n)]
res = 1


def dfs(u, num):
    global res, ans, n
    if u == n:
        if num > res:
            res = num
            ans = st[:]
        return
    flag = True
    for i in range(n):
        if st[i] == 1 and graph[u][i] == 0:
            flag = False
            break
    if flag:
        st[u] = 1
        dfs(u + 1, num + 1)
        st[u] = 0
        dfs(u + 1, num)
    else:
        dfs(u + 1, num)


dfs(0, 0)
print("最大团顶点个数： {}".format(res))
print("最大团为： {}".format(ans))

三组测试数据如下

## Test1
0, 1, 1, 0, 0
1, 0, 1, 1, 1
1, 1, 0, 1, 1
0, 1, 1, 0, 1
0, 1, 1, 1, 0
## Result1
最大团顶点个数： 4
最大团为： [0, 1, 1, 1, 1]

## Test2
0, 1, 1, 1
1, 0, 1, 1
1, 1, 0, 1
1, 1, 1, 0
## Result2
最大团顶点个数： 4
最大团为： [1, 1, 1, 1]

## Test3
0, 1, 0, 0, 0, 1
1, 0, 1, 1, 1, 1
0, 1, 0, 1, 1, 0
0, 1, 1, 0, 1, 0
0, 1, 1, 1, 0, 1
1, 1, 0, 0, 1, 0
## Result3
最大团顶点个数： 4
最大团为： [0, 1, 1, 1, 1, 0]

8.最长公共子序列问题

【问题描述】

若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xij。例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。如果给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。现给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，要求使用动态规划算法思想，找出X和Y的最长公共子序列。

【输入形式】

输入以空格分割的字符，第一行对应第一条序列，第二行对应第二条序列。

【输出形式】

字符数组形式的最长公共子序列。

【样例输入】

z x y
x y y

【样例输出】

['x', 'y'] 

【样例说明】

第一行输入为第一条序列，包含z x y三个字符；输出为最长公共子序列，包含两个字符，以数组形式输出。

思路

动态规划：

• 状态表示：dp[i][j]表示a的[0_i]和b的[0j]的最长公共子序列的长度的最大值
• 状态计算：
  • 如果a[i]==a[j],则dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1
  • 否则，dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])

代码

a = input().split()
b = input().split()
n, m = len(a), len(b)
## dp[i][j]表示a[0:i]和b[0:j]的最长公共子序列长度
dp = [[0 for i in range(m + 1)] for j in range(n + 1)]

for i in range(1, n + 1):
    for j in range(1, m + 1):
        if a[i - 1] == b[j - 1]:  ## a[i - 1]和b[j - 1]相等，那么dp[i][j]就是dp[i - 1][j - 1] + 1
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
        else:  ## a[i - 1]和b[j - 1]不相等，那么dp[i][j]就是dp[i - 1][j]和dp[i][j - 1]的最大值
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
## 回溯  输出最长公共子序列
res = []
i = n
j = m
while i > 0 and j > 0:
    if a[i - 1] == b[j - 1]:  ## a[i - 1]和b[j - 1]相等，那么a[i - 1]就是最长公共子序列的一个元素
        res.append(a[i - 1])
        i -= 1
        j -= 1
    elif dp[i - 1][j] > dp[i][j - 1]:  ## a[i - 1]和b[j - 1]不相等，那么dp[i][j]就是dp[i - 1][j]和dp[i][j - 1]的最大值
        i -= 1
    else:
        j -= 1
res.reverse()
print(res)

9.棋盘覆盖问题

【问题描述】

给定一个2k×2k的棋盘(具体图例见教材)，有一个特殊棋格，拥有一个特殊棋格的棋盘称为特殊棋盘。现要用四种L型骨牌(具体图例见教材)覆盖特殊棋盘上除特殊棋格外的全部棋格，不能重叠，找出覆盖方案。

【输入形式】

在屏幕上输入棋盘大小及特殊方格所在行号和列号

【输出形式】

输出使用L型骨牌进行棋盘覆盖结果

【样例输入】

2

1 2

【样例输出】

2 -1 3 3

2 2 1 3

4 1 1 5

4 4 5 5

【样例说明】

输入：第一行输入整数k表示棋盘大小为2的k次幂，若k为2，则棋盘大小为4行4列；第二行输入特殊方格所在的行号和列号，以空格分隔

输出：使用L型骨牌进行棋盘覆盖结果，由3个相同的数表示同一个L型骨牌，不同的骨牌用不同的数字表示。数字的大小表示棋盘覆盖的顺序。特殊方格在棋盘的第1行第2列，用-1表示。各整数间以空格分隔。

思路

使用数学归纳法可知这个问题一定有解，因此可以将整个棋盘分为四个部分，因为有障碍物的那个部分一定是有解的，我们可以把剩下的三个棋盘每个棋盘在切开的位置都看成有障碍物，因此剩下的三个棋盘就都有解了，在3个看成障碍物的地方可以使用一个L型进行覆盖

代码

k = int(input())
obstacle = tuple(map(int, input().split()))
board = [[0 for _ in range(2 ** k)] for _ in range(2 ** k)]
board[obstacle[0]-1][obstacle[1]-1] = -1
## 每个放置的L都需要自己的编号

cnt = 1

def chessboard(board, tr, tc, dr, dc, size):
    global cnt
    if size == 1:
        return
    s = size // 2
    t = cnt
    cnt += 1
    ## 覆盖左上角子棋盘
    if dr < tr + s and dc < tc + s:
        chessboard(board, tr, tc, dr, dc, s)
    else:
        board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t
        chessboard(board, tr, tc, tr + s - 1, tc + s - 1, s)
    ## 覆盖右上角子棋盘
    if dr < tr + s and dc >= tc + s:
        chessboard(board, tr, tc + s, dr, dc, s)
    else:
        board[tr + s - 1][tc + s] = t
        chessboard(board, tr, tc + s, tr + s - 1, tc + s, s)
    ## 覆盖左下角子棋盘
    if dr >= tr + s and dc < tc + s:
        chessboard(board, tr + s, tc, dr, dc, s)
    else:
        board[tr + s][tc + s - 1] = t
        chessboard(board, tr + s, tc, tr + s, tc + s - 1, s)
    ## 覆盖右下角子棋盘
    if dr >= tr + s and dc >= tc + s:
        chessboard(board, tr + s, tc + s, dr, dc, s)
    else:
        board[tr + s][tc + s] = t
        chessboard(board, tr + s, tc + s, tr + s, tc + s, s)


chessboard(board, 0, 0, obstacle[0]-1, obstacle[1]-1, 2 ** k)
for i in range(2 ** k):
    for j in range(2 ** k):
        print(board[i][j], end=' ')
    print()