【考研数学】高等数学第一模块——函数、极限、连续

前言

写这一类的文章，还是比较吃力不讨好的。一是已经有非常多优秀的博主在写了，质量都很高。另一是很多数学公式要表达，比较费时间。还有就是本身我是非数学类的，有很多的理解都只是浅显的。因此希望大家见谅，有任何不规范的地方，都欢迎大家指正。

我考的是数一，内容很多，有点担心会影响自己的复习进度。写这一系列文章，主要是帮自己巩固一遍，希望能坚持下去。

我跟着的是汤神，比较喜欢。老汤说要“通俗而又深刻”，希望自己也能往这方面靠。

基本概念

其实这一部分的概念应该大家都再熟悉不过了，但是也正是这样，很多人都忽视掉了。静下来再好好看看一些相关的定义和定理，相信能让基础更加扎实些。

一、函数

定义：设 $x,y$ 是两个变量，$D$是一个给定的非空数集，如果对于每个数 $x\in D$，按照某个对应法则 $f$，变量 $y$ 都有唯一确定的数值和它对应，则称变量 $y$ 是变量$x$的函数。

可以说有了函数，一个数集就可以映射到另一个数集。

性质

• 有界性：设 $y=f(x)(x\in D)$，若存在 $M>0$，对任意的 $x\in D$，总有 $|f(x)|\le M$，称函数 $f(x)$ 在D上有界。

注意，有一个绝对值，同时有上下界才叫有界。

• 单调性：设 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，如果 $\forall x_1,x_2\in I$，当 $x_1<x_2$ 时，恒有 $f(x_1)\le f(x_2)$ 或 $f(x_1)\ge f(x_2)$ ，则称 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增（单调递减）。

大于等于号不是严格的，把等号去掉是严格递增。

• 周期性：$\exists T$($T$ 为常数，且 $T\ne 0$，有 $f(x\pm T)=f(x)$，称 $f(x)$ 为周期函数，最小正数$T$为$f(x)$的周期。

注意下最小正周期，也就是说如果找不到最小的，那就没有周期。比如后面要说的狄利克雷函数就没有周期，常数函数也没有周期。

• 奇偶性：这个就不详细说了，大家高中就学过，用的也多。

复合函数

这里主要说一下，怎么求复合函数的定义域的问题。

1. 已知$f(x)$的定义域为$[a,b]$，求$f_{[g(x)]}$的定义域。则令$g(x)\in [a,b]$即可求得。
2. 已知$f_{[}g(x)]$定义域为$[a,b]$，求$f(x)$的定义域，则应计算$g(x)$在$[a,b]$上的值域，即为$f(x)$的定义域。

反函数

高中我们把x和y换位置，写成$y=f(x)$的样子，比如$y=2x$的反函数是$y=\frac{1}{2}x$。但现在我们不能把他们调换位置，$y=2x$的反函数就是 $x=\frac{1}{2}y$ ，记为 $x=f^{-1}(y)$ 。

反函数的定义域即原函数的值域，反函数的值域即原函数的定义域。

反函数和原函数的复合函数为 $x$ 。设原函数为 $y=f(x)$ ，则反函数为 $x=f^{-1}(y)$ 。那么有 $f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x$ 。

注意，原函数在定义域内严格单调才有反函数，比如$y=x^2$就没有反函数。

初等函数

初等函数是由基本初等函数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有限次乘方、有限次开方）及有限次函数复合所产生。基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数。

这些函数的图像需要去知道大概是什么样的，我们经常忘记的可能就是一些三角函数。

正切函数（上图）,$\frac{\pi }{2}$是渐近线。

反正切（$x\in R,y\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$)。注意$\frac{\pi }{2}$是取不到的，可以和下图的反正弦对比一下。

反正弦（$x\in [-1,1],y\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$）

反余弦（$x\in [-1,1],y\in [-\pi ,\pi ]$）

特殊函数

符号函数：

狄利克雷函数：

这个狄利克雷函数有点像bug，好像存在就是为了推翻某些绝对的特例，就比如说它处处间断。很多时候某个结论不确定，可以考虑它，或者这种取有理数无理数的，不一定是取1,0。

取整函数：$$y=[x]$$

这个有点恶心的函数，我们需要记住一个不等式$x-1\le [x]\le x$。

二、极限

定义

1. 数列极限：若对任意的$ϵ>0,\exists N>0$，当$n>N$时，有$|a_n-A|<ϵ$称$A$为数列{$a_n$}的极限，记为：$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=A$$
2. 函数极限（趋于某点）：$\forall ϵ>0,\exists \delta >0$，当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-A|<ϵ$，称$A$为$f(x)$当$x\to a$时的极限，记为：$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A$$

函数极限还有趋于无穷的情况我就不详细说了。

其实定义对于求一些极限是发挥不上作用的，常用于一些证明题，很管用。但是由于晦涩的数学表达，缺乏直观感受，就算让我们知道要用定义，也还是下不了手。

因此我认为应该首先真正弄明白这样数学表达的直观感受，不会对它产生恐惧心理。可以去看看3B1B的一些视频。

拿函数区域某点的极限为例，可以直观上理解为：当x从某一个数附近向该值靠拢时，对应的y也从某一个数附近向一个值靠拢。

如果x在向某一点靠拢时，y并没有趋于某一个值，那极限就不存在。

函数的极限后面用的也多，数列极限倒是让人很头疼，我这里就写一个用数列极限定义证明的例题吧，帮助大家理解。其实就是找到一个N，满足极限定义的条件即可。中括号是向下取整的意思。

一般性质

数列极限和函数极限的性质有点子不一样哈，需要注意。

• 唯一性：极限存在即唯一。

这个性质两者相同，这个大家都知道。

• 有界性：
  

这里需要特别说明，数列极限是整个定义域内都有界，而函数极限是叫作局部有界，也就是在那个$\delta$去心邻域内才有界。证明过程还算巧妙，可以去了解了解。

• 保号性：设$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A>0$$则$\exists \delta >0$，当$0<|x-a|<\delta$时，有$f(x)>0$.

和有界性一样，数列是保号性，而函数极限是局部保号。
老汤讲啦，这个非常重要，虽然我不是很觉得哈哈哈哈。这块我就写详细些。

首先是证明过程：

不妨设$A>0$，取$ϵ=\frac{A}{2}>0$，有极限等于A，根据定义，$\exists \delta >0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$$|f(x)-A|<\frac{A}{2}\to -\frac{A}{2}<f(x)-A<\frac{A}{2},$$即有$f(x)>\frac{A}{2}>0$，证毕。

其实就是取了$ϵ=\frac{A}{2}$，按照定义推了一遍。

下面说一个例题，用保号性判断极值点的。

其次是一些推论：

也就是函数正负同样可以推得极限正负，函数不负，极限不负，函数不正，极限不正。
但是若函数条件仅为$f(x)>0$，无法得到极限也大于0。因为对于$x\to \infty$的极限，即使函数或数列通项大于0，极限也可能等于0.如$f(x)=\frac{1}{x^2+1},a_n=2^{-n}.$

综上，对于自变量趋于某点的极限，保号性没什么限制，可以自由去极限和互相推出。但是对于自变量趋于无穷的函数极限和数列极限，即使函数或通项大于0，极限也可能为0。因此解题时需对极限为0进行判断取舍。

• 数列极限与子极限的关系：
  

这个碰到的少，对于x型的极限，考虑子列，对于n型的极限，则考虑列。

补充一点就是，如果子列凑起来是完整的列，也可以说明列极限存在。如奇子列和偶子列极限都存在且相等，可以说明原极限存在。

运算性质

这个没有什么多说的，注意能运算的前提是两个极限都存在，才可以拆开或合并。

存在性质

1. 夹挤定理
   

这个大家应该用的很多了，尤其是对于求一些数列极限，我这里补充一下证明过程，可以看一看，扩展思路。

这样取两者大或小的思想在保号性证明里也用了。

补充一个常用的结论：$$a,b,c>0,\underset{n\to \infty }{\lim }(a^n+b^n+c^n{)}^{\frac{1}{n}}=max(a,b,c)$$

2.数列单调有界收敛准则

这个最常见的题型就是让你根据一个递推关系或者其他条件，证明一个数列极限存在，然后让你求它。一般难的是前者，后者只要两边同时取极限很好求，有的时候前面实在证明不出，可以先求出极限反推一下。

我这里就说说单调性的一些常见证明方法吧。

• 作差法
• 基本不等式

这里顺带提一下这个基本不等式，个人感觉很基础，但是又不能忽视。
常用不等式如下：

• $||a|-|b||\le |a\pm b|\le |a|+|b|$
• $sinx\le x\le tanx,x\in [0,\frac{\pi }{2})$
• $e^x\ge x+1$
• 调和平均值<=几何平均值<=算术平均值<=方均根

• 归纳法

这个是高中基础了，三步走，可以自己总结一下模板。

• 拉格朗日定理

这个严格来说也算作差法，反正看到两个函数值的差，下意识就要去想拉格朗日，这个太重要啦。

无穷小量

这个我也不多提，用的太多啦，不过提醒一下别忘了K阶无穷小是什么意思。还有就是无穷小的运算法则，有时候用泰勒的时候能用上。
$$t\times o(t)=o(t^2),o(t^2)+o(t^3)=o(t^2)$$$$o(t^2)\times o(t^3)=o(t^5),o(t^2)\times 3=o(t^2)$$

两个重要极限

用的也很多，我要补充的是第二个极限，括号里要是（1+无穷小）的形式。

三、连续与间断

概念

• 在某点处连续：
  

连续是针对某点的性质，函数在某点处连续，在这点的邻域内都不一定连续。比如说下面这个狄利克雷形式的函数：$$y=\{\begin{array}{ll}0& x为有理数\\ x^2& x为无理数\end{array}$$

• 在区间连续：两个条件，一是在开区间处处连续，这个只要有定义就能做到。二是左端点右连续，右端点左连续。可记作$f(x)\in C[a,b]$，C是$"Continuous"$.
• 间断点分类：

注意，前提是函数值不等于左右极限值，不然就连续了。

闭区间上性质

这个很重要，在证明题里经常能用上，需要注意的是这些性质的条件一定是在闭区间上连续的。

题型思路

有了上面这些基础打底后，再做一些习题去加强记忆和理解，最后不会的听汤老师讲解，效果好的一塌糊涂啊。

关于极限的概念性质

这种选择题见的多，给一个极限存在或者其他条件，判断各个选项正确与否。我个人感觉比较难，要现场去证明做不到，大多是举反例和凭感觉。

比如下面这个题，我觉得我肯定想不到举这些例子。

极限的计算

对于数列极限计算，常用的思路有：

• 夹挤定理（常配合放缩）
• 转为函数极限（令$x=\frac{1}{n}$）
• 用裂项公式，求和就剩首尾两项
• 定积分定义

对于函数极限计算，常用的思路有：

• 无穷小替换
• 洛必达法则
• 泰勒展开
• 拉格朗日中值定理（出现同形式函数值作差时）
• 取对数
• $x\to \infty$时化为分母形式或令$t=\frac{1}{x}$
• 三角函数替换
• 提取公因式凑1，方便利用无穷小替换

对于指数函数如$e^x$和根号函数，趋于无穷时要考虑下正负无穷。

写在最后

要想比较完整的包含极限这一部分的所有内容，是比较困的。题目类型有很多，需要大量的练习。不过这些练习都是值得的，因为后面的内容，很多都是在极限的基础上进行的。

文章主要起查漏补缺的作用吧，希望能$Helpful.$