【高等数学基础进阶】常微分方程-part2

常考题型与典型例题

微分方程求解

例7：微分方程$x{y}^{\prime }+y(\ln x-\ln y)=0$满足条件$y(1)=e^3$的解为$y=()$

原式两边同除$x$
$$y^{\prime }=\frac{y}{x}\ln \frac{y}{x}$$
令$u=\frac{y}{x}$
$$\begin{array}{rl}{u}^{\prime }& =\frac{u(\ln u-1)}{x}\\ \ln \left|\ln u-1\right|& =\ln x+C\\ \ln u-1& =Cx\\ \ln \frac{y}{x}-1& =Cx\end{array}$$
由$y(1)=e^3\Rightarrow C=2$，则
$$\begin{array}{rl}\ln \frac{y}{x}-1& =2x\\ y& =x{e}^{2x+1}\end{array}$$

例8：微分方程$ydx+(x-3y^2)dy=0$满足条件$y{|}_{x=1}^{}=1$的解为$y=()$

本题可以用全微分方程的方式，但现在暂时未涉及到相关知识，该种方法会在以后补充

观察本题，现在对于$y$不满足三类的任一一种，一般有两种常用思路：考虑$x,y$对调；做变量代换

$$\begin{array}{rl}ydx+(x-3y^2)dy& =0\\ \frac{dx}{dy}+\frac{x}{y}& =3y\\ x& =e^{-{\int }_{}^{}\frac{1}{y}dy}\left[{\int }_{}^{}3y{e}^{{\int }_{}^{}\frac{1}{y}dy}dy+C\right]\\ & =\frac{1}{y}[y^3+C]\\ 代入x=1,y=1\Rightarrow C& =0\\ \Rightarrow x& =y^2\\ \Rightarrow y& =\pm \sqrt{x}\\ & 由于x=1,y=1\\ y& =\sqrt{x}\end{array}$$

例8：微分方程$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+3y=0$的通解为$y=()$

$$\begin{array}{rl}特征方程r^2+2r+3& =0\Rightarrow r_{1,2}=-1\pm \sqrt{2}i\\ y& =e^{-1}(C_1\cos \sqrt{2}x+C_2\sin \sqrt{2}x)\end{array}$$

例9：微分方程$y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+8y=e^{2x}(1+\cos 2x)$的特解可设为$y^{\ast }=()$

根据定理4

定理4：如果$y_1^{\ast }(x),y_2^{\ast }$分别是方程
$$\begin{array}{r}{y}^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_1(x)\\ y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_2(x)\end{array}$$
的特解，则
$$y_1^{\ast }(x)+y_2^{\ast }$$
是方程$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$的一个特解

原微分方程可分解为
$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime \prime }-4y^{\prime }+8y& =e^{2x}\\ y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+8y& =e^{2x}\cos 2x\end{array}$$
因此
$$\begin{array}{rl}特征方程r^2-4r+8& =0\\ r_{1,2}& =\frac{4+\pm \sqrt{-16}}{2}=2\pm 2i\\ 对于y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+8y& =e^{2x}\\ y^{\ast }& =C_1{e}^{2x}\\ 对于y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+8y& =e^{2x}\cos 2x\\ y^{\ast }& =x{e}^{2x}[C_2\cos 2x+C_3\sin 2x]\\ y^{\ast }& =C_1{e}^{2x}+x{e}^{2x}[C_2\cos 2x+C_3\sin 2x]\end{array}$$

例10：设$y=\frac{1}{2}{e}^{2x}+(x-\frac{1}{3})e^x$是二阶常系数非齐次线性方程微分方程$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=c{e}^x$的一个特解，求$a,b,c$

$y=\frac{1}{2}{e}^{2x}+(x-\frac{1}{3})e^x$是$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=c{e}^x$的一个特解，根据定理2

定理2：如果$y^{\ast }$是非齐次方程的一个特解，$y_1(x)$和$y_2(x)$是齐次方程的两个线性无关的特解，则
$$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+y^{\ast }(x)$$
是非齐次方程的通解
即$y=\frac{1}{2}{e}^{2x}+(x-\frac{1}{3})e^x$有一个非齐次的特解，两个齐次的特解，因此需要进行判断
判断前，建议先分成三项
以下 是判断过程，可以省略

$$y=\frac{1}{2}{e}^{2x}+x{e}^x-\frac{1}{3}{e}^x$$
如果$\frac{1}{2}{e}^{2x}$是非齐次方程的一个特解，不管系数，代入$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=c{e}^x$
$$A{e}^{2x}=B{e}^x$$
显然不成立，因此$\frac{1}{2}{e}^{2x}$是齐次方程的一个特解
如果$x{e}^x$是非齐次方程的一个特解，显然代入不好判断，考虑其实齐次方程的一个特解的可能性，如果$x{e}^x$是齐次方程的一个特解，那么$1$一定是对应特征方程的二重根，由于之前已经确定齐次方程的一个特解为$\frac{1}{2}{e}^{2x}$，因此，其不是齐次方程的一个特解，$x{e}^x$是非齐次方程的一个特解
剩余的$-\frac{1}{3}{e}^x$一定是齐次方程的一个特解

可知$y_1=e^{2x},y_2=e^x$是齐次方程的两个线性无关的解，$y^{\ast }x{e}^x$是非齐次方程的一个解，因此齐次方程的特征方程为
$$(r-1)(r-2)=0\Rightarrow a=-3,b=2$$
将$y=x{e}^x$代入$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=c{e}^x$，可得$c=-1$

综合题

例11：设$y=f(x)$是微分方程$y^{\prime \prime }-y^{\prime }-e^{\sin x}=0$的解，且$f^{\prime }(x_0)=0$，说明$f(x)$在$x_0$处取得极小值

将$x_0$代入微分方程
$$f^{\prime \prime }(x_0)=e^{\sin x_0}>0$$
因此$f(x)$在$x_0$处取得极小值

有关微分方程的综合题有时需不要把解求出来

例12：设$y=y(x)$是二阶常系数微分方程$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=e^{3x}$满足初始条件$y(0)=y^{\prime }(0)=0$的特解，则当$x\to 0$时，函数$\frac{\ln (1+x^2)}{y(x)}$的极限为（）

由$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=e^{3x}$知$y^{\prime \prime }(x)$连续且$y^{\prime \prime }(0)=1$

由于$p{y}^{\prime },qy,e^{3x}$连续，因此$y^{\prime \prime }$连续

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x^2)}{y(x)}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{y(x)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x}{y^{\prime }(x)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2}{y^{\prime \prime }(x)}=\frac{2}{y^{\prime \prime }(0)}=2\end{array}$$

例13：已知连续函数$f(x)$满足条件$f(x)={\int }_0^{3x}f(\frac{t}{3})dt+e^{2x}$，求$f(x)$

未知函数在积分里面叫做积分方程，解积分方程的一般方法两边同时求导，化为微分方程

两边同时求导
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =3f(x)+2e^{2x}\\ f^{\prime }(x)-3f(x)& =2e^{2x}\\ f(x)& =e^{3x}(-2e^{-x}+C)=C{e}^{3x}-2e^{2x}\text{(1)}\end{array}$$
当$x=0$时，代入题目条件
$$\begin{array}{rl}f(0)& ={\int }_0^{0}f(\frac{t}{3})dt+e^{2x}\\ f(0)& =1\end{array}$$
将$f(0)=1$代入$(1)$，得$C=2$，因此
$$f(x)=3e^{3x}-2e^{2x}$$

例14：设函数$f(x)$连续，且满足$\begin{array}{r}{\int }_0^{x}f(x-t)dt={\int }_0^x(x-t)f(t)dt+e^{-x}-1\end{array}$，求$f(x)$的表达式

令$u=x-t$，则$\begin{array}{r}{\int }_0^{x}f(x-t)dt={\int }_0^{x}f(u)du\end{array}$
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{x}f(u)du& =x{\int }_0^{x}f(t)dt-{\int }_0^{x}tf(t)dt+e^{-x}-1\\ & 两端求导\\ f(x)& ={\int }_0^{x}f(t)dt-e^{-x}令x=0,f(0)=-1\\ f^{\prime }(x)-f(x)& =e^{-x}\\ f(x)& =C{e}^x-\frac{e^{-x}}{2}\\ & 代入f(0)=-1,得C=-\frac{1}{2}\\ f(x)& =-\frac{e^x+e^{-x}}{2}\end{array}$$

应用题

例15：设函数$f(x)$在定义域$I$上的导数大于零，若对于任意的$x_0\in I$，曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线与直线$x=x_0$及$x$轴所围成区域的面积恒为$4$，且$f(0)=2$，求$f(x)$的表达式

曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线方程为
$$\begin{array}{rl}y-f(x_0)& =f^{\prime }(x_0)(x-x_0)\\ & 令y=0\\ x& =x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}\end{array}$$
因此该面积为
$$\begin{array}{rl}S& =\frac{1}{2}\frac{\left|f(x_0)\right|}{f^{\prime }(x_0)}\cdot |f(x_0)|=4\\ & 记y=f(x_0),则\\ \frac{1}{2}{y}^2& =4y^{\prime }\\ -\frac{8}{y}& =x+C\\ & 代入y(0)=2\\ C& =-4带回上式\\ y& =\frac{8}{4-x}\end{array}$$

例16：设非负函数$y=y(x)(x\ge 0)$满足微分方程$x{y}^{\prime \prime }-y^{\prime }+2=0$。当曲线$y=y(x)$过原点时，其与直线$x=1$及$y=0$围成的平面区域$D$的面积为$2$，求$D$绕$y$轴旋转所得旋转体的体积

记$y^{\prime }=p$，则$y^{\prime \prime }=p^{\prime }$，代入微分方程得
$$\begin{array}{rl}{p}^{\prime }-\frac{1}{x}p& =-\frac{2}{x}(x>0)\\ y^{\prime }=p& =e^{{\int }_{}^{}\frac{1}{x}dx}({\int }_{}^{}-\frac{1}{x}{e}^{{\int }_{}^{}-\frac{1}{x}dx}dx+C_1)\\ & =2+C_{1}x\\ y& =2x+\frac{1}{2}{C}_1{x}^2+C_2\end{array}$$
由方程$x{y}^{\prime \prime }-y^{\prime }+2=0(x\ge 0)$，可知$y$在$x=0$处连续。由$y(0)=0$，有
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }y=0\Rightarrow C_2=0\Rightarrow y=2x+\frac{1}{2}{C}_1{x}^2$$

由于上面出现了$\begin{array}{r}\frac{1}{x}\end{array}$，因此此处不能直接把$x=0$代入方程
由于一阶导数在$x=0$处存在，因此$y$在$x=0$处连续，可以用逼近的方式求

由与直线$x=1$及$y=0$围成的平面区域$D$的面积为$2$
$$2={\int }_0^1\left(2x+\frac{1}{2}{C}_1{x}^2\right)dx=1+\frac{1}{6}{C}_1\Rightarrow C_1=6$$
故
$$y=2x+3x^2$$
旋转体体积为
$$V=2\pi {\int }_0^{1}xy(x)dx=\frac{17\pi }{6}$$

一般应用考的较多的就是定积分的应用，和微分方程的应用