算法通关村第九关 | 二叉树查找和搜索树原理

1. 二分查找的扩展问题

1.1山脉数组的巅峰索引

LeetCode852：题目核心意思是在数组中，从0到i是递增的，从i+1到数组最后是递减的，让你找到这个最高点。

三种情况：

• mid在上升阶段的时候，满足arr[mid] > arr[mid - 1] && arr[mid] < arr[mid + 1];

• mid在顶峰的时候，满足arr[mid] > arr[mid - 1] && arr[mid] > arr[mid + 1];

• mid在下降阶段，满足arr[mid] < arr[mid - 1] && arr[mid] > arr[mid + 1];

根据三种情况我们可以写出二分查找的代码：

//山脉数组最高山峰问题
    public static int peakindex(int[] arr) {
        //长度为3的时候最高点索引是1
        if (arr.length == 3) {
            return 1;
        }
        int left = 0;
        int right = arr.length - 2;//减2，否则下面会越界
        //需要注意是否是等号问题，当=的时候是峰顶，不需要再进行处理，
        while (left < right) {
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (arr[mid] < arr[mid - 1] && arr[mid] > arr[mid + 1]) {
                return mid;
            } else if (arr[mid] > arr[mid - 1] && arr[mid] < arr[mid + 1]) {
                left = mid + 1;
            } else if (arr[mid] < arr[mid - 1] && arr[mid] > arr[mid + 1]) {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return left;
    }

1.2 旋转数字的最小数字

LeetCode153，已知一个长度为n的数组，预先按照升序排列，经由1-n次旋转后，得到输入数组。例如原数组nums = [0,1,2,4,5,6,7]在变化后可能得到：

• 若旋转4次，则可以得到[4,5,6,7,0,1,2];

• 若旋转7次，则可以得到[0,1,2,4,5,6,7];

我们可以考虑数组的最后一个元素x，在最小值右侧的元素（不包括最后一个元素本身），它们的值一定都严格小于x，而在最小值左侧的元素，它们的值一定都严格大于x，因此，我们可以根据这一条性质，通过二分查找方法找出最小值。

1. 第一种情况nums[pivot] < nums[high] ,这说明nums[pivot]是最小值右侧的元素，因此我们可以忽略右半部分，

2. 第二种情况nums[pivot] > nums[high],这说明nums是最小值左侧元素，因此我们可以忽略二分查找的左半部分

3. 由于数组中不包含重复元素，并且只要当前区间长度不为1，pivot就不会和high重合；而如果当前的区间长度为1.这说明我们已经可以结束二分查找了。因此不会存在nums[pivot] = nums[high]的情况。

4. 当二分查找结束时，我们就找到最小值所在的位置。

 图1，第一种情况

  图2，第二种情况

//旋转数字的最小数字
    public int findMin(int[] arr) {
        int low = 0;
        int high = arr.length - 1;
        //low=high的时候停止
        while (low < high){
            int pivot = low + ((high - low) >> 1);
            if (arr[pivot] < arr[high]){
                high = pivot;
            }else {
                low = pivot + 1;
            }
        }
        return arr[low];
    }

2.中序与搜索树原理

二叉搜索树概念：

• 若它的左子树不为空，则左子树上的所有节点的值均小于它根节点的值；

• 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；

• 它的左右子树也分别为二叉树。下面给出两个例子

 注意事项：

是左子树或右子树所有节点大于或小于根节点，不是左结点或右节点，注意是所有。

2.1 二叉搜索树中搜索特定的值

LeetCode700：给定的二叉搜索树的根节点和一个值，你需要在BST中找到节点值等于给定值的节点，返回该节点的子树，若节点不存在，则返回null；

类似于二分查找的方式，递归：

• 如果根节点root == null或者根节点的搜索值val == root.val，返回根节点

• 如果val < root.val，进入根节点的左子树查找searchBST(root.left);

• 如果val > root.val，进入根节点的右子树查找searchBST(root.right)

    public TreeNode searchBST(TreeNode root,int val){
        if (root == null || val == root.val) return root;
        return val < root.val?searchBST(root.left,val):searchBST(root.right,val);
    }

2.2 验证二叉搜索树

LeetCode98.给你一个二叉树的根节点root，判断是否是一个有效的二叉搜索树，

根据前面的定义来递归判断：

1. 元素的比较顺序：最左子树的叶子节点与开始的Integer.MIN_VALUE比较，然后是根节点和右子树中的节点，依次是左->中->右。
2. pre会记录上个节点的值，当前节点如果大于上个节点就不满足。
3. 左子树下的某个节点不满足程序就结束。要理解二叉搜索树的概念

    //这句话在方法外面只创建一次
    int pre = Integer.MIN_VALUE;
    public boolean isBST(TreeNode root){
        if (root == null){
            return true;
        }
        if (!isBST(root.left)){
            return false;
        }
        //访问当前节点，如果当前节点小于等于中序遍历的前一个结点，说明不满足BST
        if (root.val <= pre){
            return false;
        }
        pre = root.val;
        //右子第一个左或中节点与根节点比较
        return isBST(root.right);
    }