【连载】线性代数笔记——第二章矩阵

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教材：线性代数(第三版)——上海交通大学出版社

第二章|矩阵

矩阵不是行列式，他不代表一个确定的值，而真实的是一个数表

线性方程组可以看作：

• 系数矩阵
• 增广矩阵——线性方程组中每一个方程的和+系数矩阵

利用加减消元法求解方程组：

• 在矩阵中不存在=的概念，由于变换过程中矩阵改变，对应数表改变，所以只能用箭头。
• 虽然对应的方程组是同解的，但是矩阵改变了（增广矩阵）

2.1矩阵概念

m×n个数，m行n列的长方形数表，两边用圆括号（长括号）括起来的称为矩阵。

写作aij，i，j=1，2，3…m；

记为A,B,C；

存在实数R矩阵和复数i矩阵（既有实数也有虚数，既有实部也有虚部），甚至多项式矩阵

1.线性运算

同型矩阵

A=（aij）m×n，B=（bij）s×t

当m=s，n=t时，A和B为同型矩阵

两个矩阵的相等

当aij=bij，且A与B为同型矩阵时，A=B，两个矩阵相等。

特殊类型

• 行（列）矩阵

  • 仅一行（列）；

  • 表示：

    • 图！
    • • 行向量，列向量
      • 行：每个元素之间不加逗号，直接空开

• 零矩阵

  • 元素全为零
  • 任意两个零矩阵不一定相等----必须是同型的。
  • 表示：
    • （）m×n

• 方阵

  • 表示：

    • 图！

  • 方阵的主对角线

  • 方阵的主对角元

  • 方阵的行列式

    • $$|A|=|aij|n$$

    • |aij|n代表一个值

• 对角矩阵

  • 只有主对角线上有元素。

  • 表示：

    • 【aij=0,i != j, i,j=1,2……n】

    • 由于零太多，简记为

      • diag（a11,a22,…ann(对角线元素)（加逗号））

• 数量矩阵

  • 是一种对角矩阵。

  • 表示：

    -diag（a,a,a…a）

• 单位矩阵

  • diag(1,1,1…1)
  • 对角线元素都是1，=》记为E或I。
  • En=》n阶单位矩阵

• 三角矩阵

  • 上、下三角

• 对称与反对称矩阵

  • 对称矩阵——以主对角线为轴，aij=aji，i，j=1，2，3…n；

    • A=AT；

  • 反对称矩阵——主对角元全为零，aij=-aji，i、j=1，2…n;

2.2矩阵的运算

运算分为：

运算
线性	非线性
加法，数乘（一共8条性质）	AB=C，矩阵相乘

矩阵相乘
不满足	满足
AB!=BA，可换
1，2，3…

思维导图。。。

1. 加法

​ 负矩阵，要明确是相对于谁的；

-A=（-aij）m×n
-A是数表-，-aij是每个元素-。

A=（aij）m×n，B=（bij）m×n；（两个同型矩阵才可以相加噢~）

• （A+B）=（aij+bij）m×n

2. 减法

A-B=A+(-B)=（aij-bij）m×n；

运算性质如下：

A+B=B+A;[加法交换律]
(A+B)+C=A+(B+C);[加法结合律]
A+0=0+A=A;[有零元；0是零矩阵；推论：若某数表+x=x+某数表=某数表，则x为零元]
A+(-A)=0；[有负元]

3. 数乘矩阵

​A=(aij)m×n；
cA=（caij）m×n；[c是数]
-A=(-1)A；
cE=对角线1*c

运算性质：

1A=A;[数乘有单位]
k（lA）=（kl）A;矩阵结合律
数字加法：（k+l）A=kA+lA；[矩阵关于数乘的分配律]
矩阵加法:k(A+B)=kA+kB;[数乘关于矩阵的分配律]
0A=O;[零元]
（-1）A=-A；
k0=0；
若kA=0，则k=0或A=0；

矩阵的乘法

没有交换律，不可交换！

A与B相乘=C；

• Am×s ×Bs×n=Cm×n；
  即行1，列2=C12.

A的列数=B的行数
C的行数=A的行数
C的列数=B的列数

定义：

A·B=(cij)m×n=C——A=（aij）m×p，B=（bij）p×n；
cij=ai1b1j+ai2b2j+......+aipbpj=求和公式（P，k=1）aikbkj；i=1，2....m;j=1,2.....n。

AB!=BA,A·B=C，称C为A左乘B（B右乘A）的积。

• Am×nEn=A，EmAm×n=A（矩阵A乘n个单位矩阵仍为它本身）。

  • 3×2列矩阵×E2二阶单位阵；
  • E3三阶单位阵×3×2阶矩阵；

• Am×nOn×p=Om×p；

• Os×mAm×n=Os×n。

• 非零矩阵×某矩阵=0矩阵，AB!=BA。

  • 不能互推~

若两矩阵AB满足AB=BA,则称矩阵A、B可交换。

若两矩阵可交换，则称两矩阵为同阶的方阵。 

As×mBm×s=（）s；
Bm×sAs×m=（）m；
所以m=s，所以A、B为方阵。

6. 不满足*交换律

单位阵

单位矩阵与任何同阶的方阵可交换。
EnAnn=An×nEn=An×n。

数量矩阵

数量矩阵与任何同阶的方阵可交换。

B为n阶数量矩阵，A为n阶矩阵。
所以B=cEn，（cEn）An×n=An×n（cEn）【Ann】=cA。

------------------------------------单位矩阵可以不写~--------------------------------

Am×n【方阵】On×p=Om×p【零矩阵】，Os×mAm×n=Os×n【零矩阵】

[若AB=O，推不出A=O/B=O]；
[若AB=CB或BA=BC，则不一定A=C]；不满足消去律。
证=》（A-C）B=0—!>A-C=0-----!>A=C

满足矩阵乘法

- 结合律：（AB）C=A(BC)[顺序不能变]
- 分配律：
		- （A+B）C=AC+BC
		- A(C+D)=AC+AD
- kAB=(kA)B=AkB；

利用矩阵的运算表达线性方程组

[非方形，方程n【行数】！=未知数n【列数】]
向量表示法：图！

A系数m×n矩阵，X=未知量列矩阵，B=常数列矩阵。

A（行）X（列）=B【行】（Ax=b）；

A=（aij）3×3，对任意3阶矩阵B都可交换，AB=BA,则可证明A是数量矩阵！【结论牢记~】

迹tr
证明题举例：
图！

11. 表示方法*

方阵的幂

设A为n阶方阵，则必须：

A^2=A·A
A^3=A^2*A=A*A*A
A^n=A^(n-1)*A
规定A^0=En单位矩阵；

方阵A的多项式

f（A）=a0A^m +a1A^(m-1）+.....+amE（a1、a2....am为已知常数）
An阶方阵，Enn阶单位阵
方阵f（A）是由f（x）生成的矩阵多项式。
f（x）=a0X^m +a1X^(m-1）+.....+am；

幂运算性质

A^m*A^n=A^(m+n);m,n为非负整数
（A^m）^n=A^(mn),A为方阵

一般地，设A,B为同阶方阵，
(AB)^m不一定=A^mB^n
因为(AB)^2=ABAB！=A^2B^2[不可交换]
所以，推论：
图！

若可交换
则都成立。
图！

数学归纳法

B^n=图！

矩阵的转置

性质:
图！

对称与非对称矩阵

方阵的行列式运算性质

n阶矩阵。

1. 性质：
	2. 
3. 

共轭运算

1. 实矩阵与复矩阵
2.设A为复矩阵【实部加虚部】，则A=（aij）m×n
称矩阵（aij的共轭）m×n为A的共轭矩阵。

复数的运算性质
图！

待更新…

如果对你有帮助的话不要忘记一键三连噢~
谢谢鸭~

初次编写于2021/3/21日。
更新于2021/3/28日。