【算法】Prim算法（求最小生成树）

题目

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

1≤n≤500
1≤m≤10^5
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000

思路

        建立一个集合，将距离这个集合最近的节点s放入集合内部，然后使用节点s对其他节点到集合的距离进行更新，st[s]=true；表示节点s已经被放入集合，已经放入集合的元素不能再次被放入集合。然后开始下一次循环，每次放入一个节点到集合中，一共遍历n次（一共n个点）。

代码

#include
#define N 510
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n,m;// n个点，m条边
int g[N][N];// 表示点i到点j的距离（不邻接的话为正无穷）
int dist[N];// 表示点i到集合的最小距离
bool st[N];// 表示点i是否在集合内部

int prim()
{
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));// 将距离初始化为正无穷
    int res = 0;
    for(int i = 0; i < n; i ++)// 遍历n个点
    {
        int t = -1;
        for(int j = 1; j <= n; j ++)// 遍历所有点
            if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))// 找到不在集合内部，并且距离集合最近的点
                t = j;
        if(i && dist[t] == INF) return INF; // 如果找不到距离小于正无穷的点，则代表这个图不连通，没有最小生成树（当i等于零时，集合还没有元素，不能进行判断）
        if(i) res += dist[t];// 将这条最小边加起来，是建成最小生成树的其中一条边（当i等于零时，集合还没有元素，不能进行判断）

        for(int j = 1;j <= n; j ++) dist[j] = min(dist[j],g[t][j]);// 使用这个点对这其他点进行更新

        st[t] = true;// 这个点已经在集合内部了
    }
    return res;// 返回最小生成树的长度
}

int main()
{
    cin >> n >> m;// 输入点数，边数
    memset(g,0x3f,sizeof(g));
    while(m --)
    {
        int a,b,c;
        cin >> a >> b >> c;// 输入点a到点b之间的距离
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b],c);// 建立无向图
    }
    int t = prim();
    if( t == INF ) cout << "impossible" << endl;
    else cout << t << endl;
    return 0;
}