信号与系统(Python) 学习笔记摘录 (1) 信号简介 Intro

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  • 【总目录】信号与系统 学习笔记 Signals and Systems with Python
  • (1) 简介 Intro
  • (2) 傅里叶 Fourier
    • 常用函数的傅里叶变换汇总
  • (3) LTI 系统 与 滤波器
• 1. Introduction
  • 1.1. 周期信号
    • 1.1.1. 连续信号周期
    • 1.1.2. 离散信号周期
    • 1.1.3. 信号的 Python 表示与绘图
  • 1.2. 信号分类
    • 1.2.1. 能量信号
    • 1.2.2. 功率信号
    • 1.2.3. 因果信号
    • 1.2.4. 反因果信号
    • 1.2.5. 其他类型
    • 1.2.6. Remark
  • 1.3. 冲激函数
    • 1.3.1. 单位冲激函数 Dirac delta function
    • 1.3.2. 阶跃函数
    • 1.3.3. 广义函数定义
    • 1.3.4. 取样性质
    • 1.3.5. 导数
    • 1.3.6. 尺度变化
  • 1.4. LTI 连续系统
    • 1.4.1. 微分方程的经典解法
    • 1.4.2. 初始值
    • 1.4.3. 响应
    • 1.4.4. Python 求解系统的响应
    • 1.4.5. 冲激响应
    • 1.4.6. 阶跃响应
    • 1.4.7. Python 冲激响应与阶跃响应
    • 1.4.8. 卷积积分 Convolution
    • 1.4.9. Python 求卷积积分
    • 1.4.10. 连续系统的算子 P
  • 1.5. 差分方程
    • 1.5.1. 定义
    • 1.5.2. 经典解法
    • 1.5.3. 初始值
    • 1.5.4. 响应
    • 1.5.5. Python 求解离散系统的零状态响应
    • 1.5.6. 单位脉冲序列
    • 1.5.7. 单位阶跃序列
    • 1.5.8. 单位脉冲响应
    • 1.5.9. 单位阶跃响应
    • 1.5.10. Python 求解单位脉冲响应
    • 1.5.11. 卷积和
    • 1.5.12. Python 求卷积和
    • 1.5.13. 差分算子 E
• 信号与系统(Python) 学习笔记摘录 (2) 傅里叶 Fourier

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1. Introduction

1.1. 周期信号

• Period Signal

1.1.1. 连续信号周期

• 连续周期信号 $f(t)$, 周期为 $T$, 满足
  $$f(t)=f(t+mT),m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$$
  • 典型周期连续信号: 余弦信号 $\cos \omega t$ 周期为 $T=\frac{2\pi }{\omega }(s)$

1.1.2. 离散信号周期

• 离散周期信号 $f(k)$, 周期为 $N$, 满足
  $$f(k)=f(k+mN),m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$$

1.1.3. 信号的 Python 表示与绘图

• 连续信号 $f(t)=5e^{-0.8t}\sin (\pi t),0<t<5$ 绘图

    # 导入 需要的 library 库  
    import numpy as np # 科学计算
    import matplotlib.pyplot as plt # 画图
    import scipy.signal as sg # 导入 scipy 的 signal 库 命名为 sg

    a,b = 0.8,5
    t = np.linspace(0,5,100) # 另一种表达式 t = np.mgrid[0:5:0.01]
    y = b*np.exp(-a*t)*np.sin(np.pi*t)
    plt.xlabel('time')
    plt.ylabel('Y')
    plt.plot(t,y)
    plt.grid(True)
    plt.show()

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1.2. 信号分类

• 将信号 $f(t)$ 施加于 $1\Omega$ 电阻上， 所消耗的瞬时功率为 $|f(t){|}^2$, 在区间 $(-\infty ,\infty )$ 的能量和平均功率定义为
  $$E\stackrel{def}{=}{\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t){|}^{2}dt$$
  $$P\stackrel{def}{=}\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}|f(t){|}^{2}dt$$

1.2.1. 能量信号

• 能量有限信号: 信号的能量 $E<\infty$ , 简称 能量信号 , 此时 $P=0$.
  • 离散: $E=\sum _{k=-\infty }^{\infty }|f(k){|}^2<\infty$

1.2.2. 功率信号

• 功率有限信号: 信号的功率 $P<\infty$ , 简称 功率信号 , 此时 $E=\infty$.
  • 离散: $P=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}\sum _{k=-N/2}^{N/2}|f(k){|}^2<\infty$

1.2.3. 因果信号

• 因果信号: $t<0,f(t)=0$ 的信号
  • 例如: 阶跃信号

1.2.4. 反因果信号

• 反因果信号: $t\le 0,f(t)=0$ 的信号

1.2.5. 其他类型

• 一维信号， 多维信号； 实信号，复信号； 左信号， 右信号。。。。。。

1.2.6. Remark

1. 时限信号为能量信号
2. 周期信号为功率信号
3. 非周期信号 可能为能量也可能为功率信号
4. $f(t)=e^t$ 既不是能量也不是功率信号

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1.3. 冲激函数

$$\begin{array}{r}\delta (x)\stackrel{def}{=}\{\begin{array}{ll}0,& x\ne 0\\ 1,& x=0\end{array}\end{array}$$

1.3.1. 单位冲激函数 Dirac delta function

• 单位冲激函数: 奇异函数, 强度极大, 作用时间极短的物理量的理想化模型
  $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}\delta (x)=0,& x\ne 0\\ {\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (x)dx=1& \end{array}\end{array}$$
  • aka Dirac delta function
  • 高度无穷大, 宽度无穷小, 面积为 1 的对称窄脉冲

1.3.2. 阶跃函数

• 阶跃函数:
  $$\epsilon (t)\stackrel{def}{=}\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ 1,& t>0\end{array}$$
  • 积分: ${\int }_{-\infty }^t\epsilon (\tau )d\tau =t\cdot \epsilon (t)$
  • 与 冲激函数 关联:
    • $\delta (t)=\frac{d\epsilon (t)}{dt}$
    • $\epsilon (t)={\int }_{-\infty }^t\delta (\tau )d\tau$

1.3.3. 广义函数定义

• Dirac Delta function 广义函数定义:
  $${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)\phi (t)dt=\phi (0)$$
  • 冲激函数 $\delta (t)$ 作用于检验函数 $\phi (t)$ 的结果是赋值为 $\phi (0)$, 称为 冲激函数的取样性质。
  • 例如:
    • 高斯函数 $\delta (t)={\lim }_{b\to \infty }b{e}^{-\pi (b\cdot t{)}^2}$
    • 取样函数 $\delta (t)={\lim }_{b\to \infty }\frac{\sin (bt)}{\pi t}$

1.3.4. 取样性质

• Dirac Delta function 取样性质:
  $$f(t)\delta (t-a)=f(a)\delta (t-a)⟶f(t)\delta (t)=f(0)\delta (t)$$
  $${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-a)dt=f(a)⟶{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t)dt=f(0)$$
  • Notice: 积分区间要包含 $t=a$

1.3.5. 导数

• Dirac Delta function 导数:
  • 冲激偶 ${\delta }^{\prime }(t)$:
    $$f(t){\delta }^{\prime }(t)=f(0){\delta }^{\prime }(t)-f^{\prime }(0)\delta (t)$$
    $${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t){\delta }^{\prime }(t)dt=-f^{\prime }(0)$$
    $${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t){\delta }^{\prime }(t-a)dt=-f^{\prime }(a)$$
    $${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t){\delta }^{(n)}(t)dt=(-1{)}^n{f}^{(n)}(0)$$

1.3.6. 尺度变化

• Dirac Delta function 尺度变化:
  $$\delta (at)=\frac{1}{|a|}\delta (t)$$
  $${\delta }^{(n)}(at)=\frac{1}{|a|}\frac{1}{a^n}{\delta }^{(n)}(t)$$

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1.4. LTI 连续系统

$$f(t)\to \text{LTI (linear time-invariant systems)}\to y(t)$$

1.4.1. 微分方程的经典解法

$$\begin{gathered} y^{(n)}(t)+a_{n-1}{y}^{(n-1)}(t)+\cdots +a_1{y}^{(1)}(t)+a_{0}y(t) \\ =b_m{f}^{(m)}(t)+b_{m-1}{f}^{(m-1)}(t)+\cdots +b_1{f}^{(1)}(t)+b_{0}f(t) \end{gathered}$$

• 经典解法: $y(t)=y_h(t)+y_p(t)$

  • $y(t)$ 完全解
  • $y_h(t)$ 齐次解 homogeneous solution
  • $y_p(t)$ 特解

• 特征根: eigenvalue 特征值
  $${\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_0=0\to {\lambda }_i(i=1,2,\dots ,n)$$

1.4.2. 初始值

• 初始值: 是n阶系统在 $t=0$ 时接入激励, 其响应在 $t=0_{+}$ 时刻的值, 即 $y^{(j)}(0_{+})(j=0,1,2,\dots ,n-1)$

• 初始状态: 是系统在激励尚未接入的 $t=0_{-}$ 时刻的响应值 $y^{(j)}(0_{-})$, 该值反映了系统的历史情况，且与激励无关。

1.4.3. 响应

$$y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t)$$

• 零输入响应: $y_{zi}(t)$ (zero input)

• 零状态响应: $y_{zs}(t)$ (zero status)

  • $y_{zs}(0_{-})=0⟶y_{zi}(0_{+})=y_{zi}(0_{-})=y(0_{-})$

• 响应分类:

  • 固有响应：系统固有频率 或叫自由响应
  • 强迫响应：与激励函数有关
  • 暂态响应：随时间增长而消失
  • 稳态响应：通常为阶跃函数和周期

1.4.4. Python 求解系统的响应

• 系统的微分方程为
  $$77y\left(t\right)+2\frac{d}{dt}y\left(t\right)+\frac{d^2}{d{t}^2}y\left(t\right)=f(t)$$
  • 在 $t\ge 0$ 时，接入激励 $f(t)=10\sin (2\pi t)$, 求零状态响应
  • 可得 $y^{\prime \prime }\left(t\right)=-77y\left(t\right)-2y^{\prime }\left(t\right)+f(t),t\ge 0$

    # 使用方程解  
    from scipy.integrate import odeint, solve_bvp, solve_ivp
    # odeint: Integrate a system of ordinary differential equations
    # solve_bvp: Solve a boundary-value problem for a system of ODEs
    # solve_ivp: Solve an initial value problem for a system of ODEs

    # 一阶微分方程组  
    def fvdp(t,y):
        '''
        来源：https://www.jianshu.com/p/ab57b600b854?utm_campaign=shakespeare
        要把y看出一个向量，y = [dy0,dy1,dy2,...]分别表示y的n阶导
        对于二阶微分方程，肯定是由0阶和1阶函数组合而成的，所以下面把y看成向量的话，y0表示最初始的函数，也就是我们要求解的函数，y1表示一阶导，对于高阶微分方程也可以以此类推
        '''
        y0, y1 = y
        ft = 10*np.sin(2*np.pi*t)
        y2 = -2*y1-77*y0+ft
        # y0是需要求解的函数，y1是一阶导
        # 返回的顺序是[一阶导， 二阶导]，这就形成了一阶微分方程组
        return [y1, y2]

    y0 = [0, 0] # 初值[0,0]表示y(0)=0,y'(0)=0  
    t = np.linspace(0,5,100)
    y = odeint(fvdp, y0, t, tfirst=True) # 用 odeint 计算 y(t)
    y_ = solve_ivp(fvdp, t_span=(0,5), y0=y0, t_eval=t) # 用 solve_ivp 计算 y(t)

    # 开始绘图
    plt.subplot(211)
    y1, = plt.plot(t, y[:,0], label='y')
    y1_, = plt.plot(t,y[:,1],label='y‘')            
    plt.legend(handles=[y1,y1_], loc='upper right')
    plt.grid(True)

    plt.subplot(212)
    y2, = plt.plot(y_.t, y_.y[0,:],'g--',label='y(0)')
    y2_, = plt.plot(y_.t, y_.y[1,:],'r-',label='y(1)')
    plt.legend(handles=[y2,y2_], loc='upper right')
    plt.grid(True)

    plt.show()

    # 用已有库的方法解 sg is scipy.signal
    sys = sg.lti([1],[1, 2, 77]) # 方程里的系数  
    ft = 10*np.sin(2*np.pi*t)
    _,y,_ = sg.lsim(sys,ft,T=t)
    # 开始绘图
    plt.plot(t,y,label='simple way') 
    plt.grid(True)
    plt.show()

1.4.5. 冲激响应

• 由单位冲激函数 $\delta (t)$ 所引起的零状态响应，记为 $h(t)$ 。
  • $\delta (t)\to \text{LTI}\to h(t)$
  • 隐含条件:
    $f(t)=\delta (t)$
    对二阶系统 $h(0_{-})=h^{\prime }(0_{-})=0$

1.4.6. 阶跃响应

• 由单位阶跃函数 $\epsilon (t)$ 所引起的零状态响应，记为 $g(t)$

  • $\epsilon (t)\to \text{LTI}\to g(t)$
  • 隐含条件:
    $f(t)=\epsilon (t)$
    $g(0_{-})=g^{\prime }(0_{-})=0$

• 关联:
  $g(t)={\int }_{-\infty }^{t}h(\tau )d\tau$
  $h(t)=\frac{d}{dt}g(t)$

1.4.7. Python 冲激响应与阶跃响应

• 求以下系统的冲激响应和阶跃响应:
  $$7y^{\prime \prime }(t)+4y^{\prime }(t)+6y(t)=f^{\prime }(t)+f(t)$$

    sys = sg.lti([1,1],[7,4,6]) # 方程里的系数 由高次幂到低次幂  
    st, sy = sg.step2(sys)
    it, iy = sg.impulse2(sys)
    sy1, = plt.plot(st, sy, label='step')
    iy1, = plt.plot(it, iy, label='impluse')
    # 开始绘图
    plt.legend(handles=[sy1,iy1], loc='upper right')
    plt.grid(True)
    plt.show()

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1.4.8. 卷积积分 Convolution

• 来源 $\hat{f}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n\Delta )\Delta p(t-n\Delta )$ , p 为脉冲
  $$\underset{\Delta \to 0}{\lim }\hat{f}(t)=f(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )\delta (t-\tau )d\tau$$

• 由 ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )\delta (t-\tau )d\tau ⟶{\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )h(t-\tau )d\tau$
  可得 $f(t)\to \text{LTI}\to y_{zs}(t)$

  • 卷积积分 $y_{zs}={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )h(t-\tau )d\tau$

• 定义:

  • $f_1$ 与 $f_2$ 的 卷积: $f(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )d\tau$
  • 记为 $f(t)=f_1(t)\star f_2(t)$

• 代数性质:

  • 三定律:
    1. 交换律: $f_1\star f_2=f_2\star f_1$
    2. 分配律: $f_1\star [f_2+f_3]=f_1\star f_2+f_1\star f_3$
    3. 结合律: $[f_1\star f_2]\star f_3=f_1\star [f_2\star f_3]$

• 特性:

  • $f(t)\star \delta (t-t_0)=\delta (t-t_0)\star f(t)=f(t-t_0)$
  • $f(t)\star {\delta }^{(n)}(t)=f^{(n)}(t)$
  • $f(t)\star \epsilon (t)={\int }_{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau$
  • $\epsilon (t)\star \epsilon (t)=t\cdot \epsilon (t)$
  • 衍生:
    • $f(t)=f_1(t)\star f_2(t)$
    • $f(t-t_1-t_2)=f_1(t-t_1)\star f_2(t-t_2)=f_1(t-t_1-t_2)\star f_2(t)=f_1\star f_2(t-t_1-t_2)$

• 微分特性:

  • $\frac{d^n}{d{t}^n}[f_1(t)\star f_2(t)]=f_1^{(n)}(t)\star f_2(t)=f_1(t)\star f_2^{(n)}(t)$
  • ${\int }_{-\infty }^t[f_1(\tau )\star f_2(\tau )]d\tau =[{\int }_{-\infty }^t{f}_1(\tau )d\tau ]\star f_2(t)=f_1(t)\star [{\int }_{-\infty }^t{f}_2(\tau )d\tau ]$
  • if $f_1(-\infty )=0\text{or}{f}_2^{(-1)}(\infty )=0,\text{then}{f}_1(t)\star f_2(t)=f_1^{\prime }(t)\star f_2^{(-1)}(t)$

• 常用公式汇总:

  • $K\star f(t)=K\cdot [f(t)\text{净面积}]$
  • $f(t)\star \delta (t)=f(t)$
  • $f(t)\star {\delta }^{\prime }(t)=f^{\prime }(t)\star \delta (t)=f^{\prime }(t)$
  • $f(t)\star \epsilon (t)=f(t)\star {\delta }^{(-1)}(t)=f^{(-1)}(t)\star \delta (t)=f^{(-1)}(t)$
  • $\epsilon (t)\star \epsilon (t)=t\cdot \epsilon (t)$
  • $e^{-\alpha t}\epsilon (t)\star e^{-\alpha t}\epsilon (t)=t\cdot e^{-\alpha t}\epsilon (t)$
  • $e^{-{\alpha }_{1}t}\epsilon (t)\star e^{-{\alpha }_{2}t}\epsilon (t)=\frac{1}{{\alpha }_2-{\alpha }_1}(e^{-{\alpha }_{1}t}-e^{-{\alpha }_{2}t})\epsilon (t)({\alpha }_1\ne {\alpha }_2)$
  • $\epsilon (t)\star e^{-\alpha t}\epsilon (t)=\frac{1}{\alpha }(1-e^{-\alpha t})\epsilon (t)$
  • $f(t)\star {\delta }_T(t)=f(t)\star \sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta (t-mT)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f(t-mT)$
    • 周期为 $T$ 的周期单位冲激函数序列 ${\delta }_T(t)={\sum }_{m=-\infty }^{\infty }\delta (t-mT)$ ， 常称为梳状 comb 函数。

• 相关函数:

  • 雷达卷积函数:
    $$R_{12}(t)=f_1(t)\star f_2(-t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1(\tau )f_2(\tau -t)d\tau ={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1(\tau +t)f_2(\tau )d\tau =R_{21}(-t)$$
    $$R_{21}(t)=f_1(-t)\star f_2(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1(\tau )f_2(\tau +t)d\tau ={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1(\tau -t)f_2(\tau )d\tau =R_{12}(-t)$$
    • Normally $R_{12}(\tau )\ne R_{21}(\tau )$
  • 自相关函数:
    $$R(t)=f(t)\star f(-t)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )f(\tau -t)d\tau ={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau +t)f(\tau )d\tau =R(-t)$$

• 其他:

  • 多径传输中存在失真问题， 发射机经某些物体反射产生回波现象，就算是反射信号也被采集。
    把在多条路径上 由延迟时间与衰减系数 的情况 称为混响。
    为了从 有干扰信号的回波系统中提取正常信号，可以设计逆系统进行补偿。
    $$e(t)\to \text{回波系统}h(t)\to r(t)\to \text{逆系统}{h}_i(t)\to e(t)$$
    为了保证 输出为原激励信号 $e(t)=e(t)\star \delta (t)$ 必须满足 $h(t)\star h_i(t)=\delta (t)$
    求 $h_i(t)$ 的问题 称为 解卷积 或 反卷积
  • 自适应滤波器 AF (Adaptive Filter) 可以根据误差信号调整系数 去对消 噪声信号，使得输出信号趋近于真实信号。

1.4.9. Python 求卷积积分

• 已知两个连续时间信号为:
  $$f_1(t)=\{\begin{array}{ll}2,& 0<t<1\\ 0,& \text{else}\end{array}{f}_2(t)=\{\begin{array}{ll}t,& 0<t<2\\ 0,& \text{else}\end{array}$$

    # sg is scipy.signal
    t1 = np.array([t*0.1 for t in range(-10,31)]) # t in [-1, 3]
    f1t = np.array([2 if 0<t<10 else 0 for t in range(-10,31)])
    t2 = np.array([t*0.1 for t in range(-10,31)]) # t in [-1,3]
    f2t = np.array([t*0.1 if 0<t<20 else 0 for t in range(-10,31)]) 
    yt = sg.convolve(f1t, f2t,'full')*0.1 # 计算卷积 calculate convolution  
    t3 = np.array([t*0.1 for t in range(-20,61)]) # t in [-1+-1, 3+3]
    # 开始绘图
    plt.plot(t3, yt, label='conv')
    plt.grid(True)
    plt.show()

1.4.10. 连续系统的算子 P

• 微分算子: $P=\frac{d}{dt}$ ; $P^{(n)}=\frac{d^n}{d{t}^n}$

• 积分算子: $P^{-1}={\int }_{-\infty }^t(\cdot )d\tau$

• 性质:

  • $P$ 的 正幂 多项式可以因式分解
  • 设 $A(P),B(P)$ 为 $P$ 的正幂多项式，则 $A(P)B(P)=B(P)A(P)$
  • 微分算子方程公因子 不能随意 消去
  • 设 $A(P),B(P),D(P)$ 为 $P$ 的正幂多项式,
    有 $D(P)\cdot [\frac{A(P)}{D(P)\cdot B(P)}]f(t)=\frac{A(P)}{B(P)}f(t)$
    但 $\frac{A(P)}{D(P)\cdot B(P)}[D(p)f(t)]\ne \frac{A(P)}{B(P)}f(t)$

• 传输算子:
  $$H(P)=\frac{B(P)}{A(P)}=\frac{b_m{P}^m+b_{m-1}{P}^{m-1}+\cdots +b_0}{P^n+a_{n-1}{P}^{n-1}+\cdots +a_0}$$

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1.5. 差分方程

1.5.1. 定义

• 一阶差分:
  $$\begin{gathered} \text{一阶前向差分}\frac{\Delta f(k)}{\Delta k}=\frac{f(k+1)-f(k)}{(k+1)-k} \\ ⟶\Delta f(k)=f(k+1)-f(k) \end{gathered}$$
  $$\begin{gathered} \text{一阶后向差分}\frac{\nabla f(k)}{\nabla k}=\frac{f(k)-f(k-1)}{k-(k-1)} \\ ⟶\nabla f(k)=f(k)-f(k-1) \end{gathered}$$

• 线性性质:
  $$\nabla [\alpha f_1(k)+b{f}_2(k)]=\alpha \nabla f_1(k)+b\nabla f_2(k)$$

• 二阶差分:
  $${\nabla }^{2}f(k)=\nabla [\nabla f(k)]=f(k)-2f(k-1)+f(k-2)$$

• m阶差分:
  $${\nabla }^{m}f(k)=f(k)+b_{1}f(k-1)+\cdots +b_{m}f(k-m)$$

1.5.2. 经典解法

• 差分方程 本质上是 递推的代数方程, 若已知初始条件和激励, 利用迭代法可求其数值解。

$$\begin{gathered} y(k)+a_{n-1}y(k-1)+\cdots +a_{0}y(k-n) \\ =b_{m}f(k)+b_{m-1}{f}^{(}k-1)+\cdots +b_{0}f(k-m) \end{gathered}$$

• 经典解法: $y(k)=y_h(k)+y_p(k)$

  • $y(k)$ 完全解
  • $y_h(k)$ 齐次解 homogeneous solution
    $$y(k)+a_{n-1}y(k-1)+\cdots +a_{0}y(k-n)=0$$
  • $y_p(k)$ 特解

• 特征根: eigenvalue 特征值
  $$1+a_{n-1}{\lambda }^{-1}+\cdots +a_0{\lambda }^{-n}=0\to {\lambda }_i(i=1,2,\dots ,n)$$

1.5.3. 初始值

• 初始状态: 用 $y(-1),y(-2),\dots ,y(-n)$ 描述 n阶系统的初始状态。

1.5.4. 响应

$$y(-l)=y_{zi}(-l)+y_{zs}(-l)$$

• 零输入响应: $y_{zi}(k)$ (zero input)

  • 离散系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应
    $$y_{zi}(k)+{\alpha }_{n-1}{y}_{zi}(k-1)+\cdots +{\alpha }_0{y}_{zi}(k-n)=0$$

• 零状态响应: $y_{zs}(k)$ (zero status)

  • 系统的初始状态 $y_{zs}(-l)=0,l=1,2,\dots ,n$为零，仅由激励 $f(k)$ 引起的响应
  • 初始值：由迭代法求出 $y_{zs}(j),j=0,1,\dots ,n-1$

• 响应分类:

  • 固有响应：系统固有频率 或叫自由响应
  • 强迫响应：与激励函数有关
  • 暂态响应：随时间增长而消失
  • 稳态响应：通常为阶跃函数和周期

1.5.5. Python 求解离散系统的零状态响应

• 输入信号 $f(k)=s(k)+d(k)$, 其中 $s(k)=(2k)0.9^k,d(k)$ 是随机噪声信号。求以下系统的零状态响应(均值滤波结果)，取 $M=5$。
  $$y(k)=\frac{1}{M}\sum _{n=0}^{M-1}f(k-n)$$

    # sg is scipy.signal
    d = np.random.rand(1,51)-0.5 # random.rand 出来的是 0到1 的随机数
    k = np.array([k for k in range(0,51)])
    s = 2*k*np.power(0.9,k)
    f = s+d[0]

    plt.subplot(211)
    plt.stem(k,f,'-',use_line_collection=True)
    plt.grid(True)

    M = 5
    a = 1
    b = np.ones(5)/5
    plt.subplot(212)
    y = sg.filtfilt(b,a,f) # digital filter forward and backward to a signal
    plt.stem(k,y,':',use_line_collection=True)
    plt.grid(True)
    
    plt.xlabel('time index k')
    plt.show()

1.5.6. 单位脉冲序列

• 单位脉冲序列 (单位样值序列/单位取样序列)
  $$\begin{array}{r}\delta (k)=\{\begin{array}{ll}1& k=0\\ 0& k\ne 0\end{array}\end{array}$$
  • 位移:
    $$\begin{array}{r}\delta (k-k_0)=\{\begin{array}{ll}1& k=k_0\\ 0& k\ne k_0\end{array}\end{array}$$
  • 加: $\delta (k)+2\delta (k)=3\delta (k)$
  • 乘: $\delta (k)\cdot \delta (k)=\delta (k)$
  • 延时: $\delta (k-1)\cdot \delta (k-2)=0$
  • 迭分:
    $$\begin{array}{rl}\sum _{i=-\infty }^k\delta (i)& =\{\begin{array}{ll}0,& k<0\\ 1,& k\ge 0\end{array}\\ & =\epsilon (k)\end{array}$$
  • 取样性质:
    • $f(k)\delta (k)=f(0)\delta (k)$
    • $f(k)\delta (k-k_0)=f(k_0)\delta (k-k_0)$
    • $\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (k)=1$
    • $\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(k)\delta (k)=f(0)$
    • $\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(k)\delta (k-k_0)=f(k_0)$
  • 偶函数: $\delta (k)=\delta (-k)$

1.5.7. 单位阶跃序列

• 单位阶跃序列
  $$\begin{array}{r}\epsilon (k)=\{\begin{array}{ll}0& k<0\\ 1& k\ge 0\end{array}\end{array}$$
  • 位移:
    $$\begin{array}{r}\epsilon (k-k_0)=\{\begin{array}{ll}0& k<k_0\\ 1& k\ge k_0\end{array}\end{array}$$
  • 加: $\epsilon (k)+2\epsilon (k)=3\epsilon (k)$
  • 乘: $\epsilon (k)\cdot \epsilon (k)=\epsilon (k)$
  • 延时: $\epsilon (k-1)\cdot \epsilon (k-5)=\epsilon (k-5)$
  • 迭分:
    $$\begin{array}{rl}\sum _{i=-\infty }^k\epsilon (i)& =\{\begin{array}{ll}0,& k<0\\ k+1,& k\ge 0\end{array}\\ & =(k+1)\epsilon (k)\end{array}$$
  • 与 $\delta (k)$ 的关系:
    $$\begin{array}{rl}\delta (k)& =\epsilon (k)-\epsilon (k-1)\\ \epsilon (k)& =\sum _{i=-\infty }^k\delta (i)\end{array}$$

1.5.8. 单位脉冲响应

• 由单位脉冲序列 $\delta (k)$ 所引起的零状态响应，记为 $h(k)$ 。
  • 隐含条件:
    $f(k)=\delta (k)$
    对二阶系统 $h(-1)=h(-2)=0$

1.5.9. 单位阶跃响应

• 由单位阶跃序列 $\epsilon (k)$ 所引起的零状态响应，记为 $g(k)$

  • 隐含条件:
    $f(k)=\epsilon (k)$
    对二阶系统 $g(-1)=g(-2)=0$

• 关联:
  $g(t)=\sum _{i=-\infty }^{k}h(i)$
  $h(t)=\nabla g(k)=g(k)-g(k-1)$

1.5.10. Python 求解单位脉冲响应

• 求以下离散系统的单位脉冲响应:
  $$y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=f(k)$$

    # sg is scipy.signal
    k = np.array([k for k in range(11)])
    a = [1., 3., 2.]
    b = [1.]
    h = sg.lfilter(b,a,k) # IIR or FIR filter
    plt.stem(k,h,'-', use_line_collection = True)
    plt.grid(True)
    plt.show()

---

1.5.11. 卷积和

• 由 $\sum _{i=-\infty }^{\infty }f(i)\delta (k-i)⟶\sum _{i=-\infty }^{\infty }f(i)h(k-i)$
  可得 $f(k)\to \text{LTI 零状态}\to y_{zs}(k)$

  • 卷积和 $y_{zs}(k)=\sum _{i=-\infty }^{\infty }f(i)h(k-i)$

• 定义:

  • $f_1$ 与 $f_2$ 在区间 $(-\infty ,\infty )$ 的 卷积: $f(k)=\sum _{i=-\infty }^{\infty }{f}_1(i)f_2(k-i)$
  • 记为 $f(k)=f_1(k)\star f_2(k)$
  • $y_{zs}(k)=\sum _{i=-\infty }^{\infty }f(i)h(k-i)=f(k)\star h(k)$
  • 若 $f_1(k)$ 是因果序列 ($f_1(k)=0,k<0$), 则: $f(k)=\sum _{i=0}^{\infty }{f}_1(i)f_2(k-i)$
  • 若 $f_2(k)$ 是因果序列 ($f_2(k)=0,k<0$), 则: $f(k)=\sum _{i=-\infty }^k{f}_1(i)f_2(k-i)$
  • 若 $f_1(k),f_2(k)$ 均是因果序列 ($f_1(k)=f_2(k)=0,k<0$), 则: $f(k)=[\sum _{i=0}^k{f}_1(i)f_2(k-i)]\epsilon (k)$

• 代数性质:

  • 三定律:
    1. 交换律: $f_1\star f_2=f_2\star f_1$
    2. 分配律: $f_1\star [f_2+f_3]=f_1\star f_2+f_1\star f_3$
    3. 结合律: $[f_1\star f_2]\star f_3=f_1\star [f_2\star f_3]$

• 特性:

  • $f(k)\star \delta (k-k_0)=\delta (k-k_0)\star f(k)=f(k-k_0)$
  • $\delta (k)\star \delta (k)=\delta (k)$
  • $f(k)\star \epsilon (k)=\sum _{-\infty }^{k}f(i)$
  • $\epsilon (k)\star \epsilon (k)=(k+1)\cdot \epsilon (k)$
  • $\nabla [f_1(k)\star f_2(k)]=\nabla f_1(k)\star f_2(k)=f_1(k)\star \nabla f_2(k)$
  • 衍生:
    $\begin{array}{rl}f(k)& =f_1(k)\star f_2(k)\\ f(k-k_1-k_2)& =f_1(k-k_1)\star f_2(k-k_2)\\ & =f_1(k-k_1-k_2)\star f_2(k)\\ & =f_1\star f_2(k-k_1-k_2)\end{array}$

1.5.12. Python 求卷积和

• 求以下两个离散序列的卷积：
  $$x_1(k)=\sin (k),0\le k\le 10x_2(k)=0.8^k,0\le k\le 15$$

    # sg is scipy.signal
    k1 = np.linspace(0,10,11)
    x1 = np.sin(k1)
    plt.subplot(221)
    plt.stem(k1,x1,'-',use_line_collection=True)
    plt.grid(True)
    plt.title('x_1(k)=sin(k)')
    
    k2 = np.linspace(0,15,16)
    x2 = np.power(0.8,k2)
    plt.subplot(222)
    plt.stem(k2,x2,'-',use_line_collection=True)
    plt.grid(True)
    plt.title('x_2(k) = 0.8^k')
    
    plt.subplot(212)
    y = sg.convolve(x1, x2,'full') # 使用 scipy.signal 的卷积函数 convolve
    k3 = np.linspace(0, 25,26)
    plt.stem(k3,y,'-',use_line_collection=True)
    plt.grid(True)
    plt.title('y(k)')
    
    plt.xlabel('time index k')
    plt.subplots_adjust(top=1, wspace=0.4, hspace=0.5) # 调整视图  
    plt.show()

1.5.13. 差分算子 E

$$\begin{array}{rlrl}{E}^{-1}& \to \text{延迟算子}& E& \to \text{超前算子}\\ E^{-1}f(k)& =f(k-1)& Ef(k)& =f(k+1)\\ E^{-2}f(k)& =f(k-2)& E^{2}f(k)& =f(k+2)\\ E^{-n}f(k)& =f(k-n)& E^{n}f(k)& =f(k+n)\end{array}$$

• 性质:

  • $E$ 的 正幂 多项式可以因式分解 也可以相乘
  • 设 $A(E),B(E)$ 为 $E$ 的正幂或负幂多项式，则 $A(E)B(E)=B(E)A(E)$
  • 差分算子方程公因子 不能随意 消去
  • 设 $A(E),B(E),D(E)$ 为 $E$ 的正幂多项式,
    有 $D(E)\cdot [\frac{A(E)}{D(E)\cdot B(E)}]f(t)=\frac{A(E)}{B(E)}f(t)$
    但 $\frac{A(E)}{D(E)\cdot B(E)}[D(E)f(t)]\ne \frac{A(E)}{B(E)}f(t)$

• 传输算子:
  $$H(E)=\frac{B(E)}{A(E)}=\frac{b_m{E}^m+b_{m-1}{E}^{m-1}+\cdots +b_0}{E^n+a_{n-1}{E}^{n-1}+\cdots +a_0}$$

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信号与系统(Python) 学习笔记摘录 (2) 傅里叶 Fourier