线性代数 第三章 向量

一、运算

加法、数乘、内积

施密特正交化

二、线性表出

概念：如果，则称可由线性表出（k不要求不全为0）

判定：

• 非齐次线性方程组有解
• 
• 无关，相关

如果两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价。向量组等价，向量组的秩相等（反过来不成立，秩相等向量组未必等价）。经过初等变换向量组的秩不变。

三、线性相关

概念：若存在不全为0的使

充要条件：

• 齐次线性方程组有非零解
• 
• 某个可由线性表出

n个n维向量线性相关的充分必要条件是行列式

充分条件：

• n+1个n维向量
• 多数向量能用少数向量表示

部分组相关整体组相关；整体组无关部分组无关。多数向量能用少数向量线性表出，则多数向量一定线性相关。

四、线性无关

概念：如果，则必有

充要条件：

• 只有零解
• 
• 不能由其余的向量表示

充分条件：

• 阶梯型向量组

五、极大线性无关组

在向量组中，若存在r个向量线性相关，再加进任何一个向量，向量组线性相关，则称向量组是向量组的一个极大线性无关组。（小向量组是大向量组的极大线性无关组）

六、向量组的秩

向量组的极大线性无关组中所含向量的个数r，称为这个向量组的秩。

七、施密特正交化

设向量组线性无关，其正交规范化方法步骤如下：

则两两正交。再将单位化，取

则是正交规范向量组（即两两正交且均是单位向量）。

八、向量空间（仅数学一要求）