至善迎风
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线性代数 第三章 向量

一、运算

加法、数乘、内积

施密特正交化

二、线性表出

概念：如果\beta =k_1\alpha _1+...+k_s\alpha _s，则称\beta可由\alpha _1,...,\alpha _s线性表出（k不要求不全为0）

判定：

  • 非齐次线性方程组x_1\alpha _1+x_2\alpha _2+...+x_s\alpha _s=\beta有解
  • r(\alpha _1,...,\alpha _s)=r(\alpha _1,...,\alpha _s,\beta )
  • \alpha _1,...,\alpha_s无关，\alpha _1,...,\alpha_s,\beta相关

如果两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价。向量组等价，向量组的秩相等（反过来不成立，秩相等向量组未必等价）。经过初等变换向量组的秩不变。

三、线性相关

概念：若存在不全为0的k_1,...,k_s使k_1\alpha _1+...+k_s\alpha _s=0

充要条件：

  • 齐次线性方程组[\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s]x=0有非零解
  • r(\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s)<s
  • 某个\alpha _i可由\alpha _1,...,\alpha _{i-1},\alpha _{i+1},...,\alpha _s线性表出

n个n维向量\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n线性相关的充分必要条件是行列式\left | \alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n \right |=0

充分条件：

  • n+1个n维向量
  • 多数向量能用少数向量表示

部分组相关\Rightarrow整体组相关；整体组无关\Rightarrow部分组无关。多数向量能用少数向量线性表出，则多数向量一定线性相关。

四、线性无关

概念：如果k_1\alpha _1+...+k_s\alpha _s=0，则必有k_1=0,...,k_s=0

充要条件：

  • [\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s]x=0只有零解
  • r(\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s)=s
  • \forall \ i,\alpha _i不能由其余的向量表示

充分条件：

  • 阶梯型向量组

五、极大线性无关组

在向量组\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s中，若存在r个向量\alpha _{i1},\alpha _{i2},...,\alpha _{ir}线性相关，再加进任何一个向量\alpha _j(j=1,2,...,s)，向量组\alpha _{i1},\alpha _{i2},...,\alpha _{ir},\alpha _{j}线性相关，则称向量组\alpha _{i1},\alpha _{i2},...,\alpha _{ir}是向量组\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s的一个极大线性无关组。（小向量组是大向量组的极大线性无关组）

六、向量组的秩

向量组\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s的极大线性无关组中所含向量的个数r，称为这个向量组的秩。

七、施密特正交化

设向量组\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3线性无关，其正交规范化方法步骤如下：

\beta _1=\alpha _1,\\ \beta _2=\alpha _2-\frac{(\alpha _2,\beta _1)}{(\beta _1,\beta _1)}\beta _1,\\ \beta _3=\alpha _3-\frac{(\alpha _3,\beta _1)}{(\beta _1,\beta _1)}\beta _1-\frac{(\alpha _3,\beta _2)}{(\beta _2,\beta _2)}\beta _2,

则\beta _1,\beta _2,\beta _3两两正交。再将\beta _1,\beta _2,\beta _3单位化，取\gamma _1=\frac{\beta _1}{\left | \beta _1 \right |},\gamma _2=\frac{\beta _2}{\left | \beta _2 \right |},\gamma _3=\frac{\beta _3}{\left | \beta _3 \right |},

则\gamma _1,\gamma _2,\gamma _3是正交规范向量组（即两两正交且均是单位向量）。

八、向量空间（仅数学一要求）

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       ab 的全称是 ApacheBench ， 是 Apache 附带的一个小工具 ， 专门用于 HTTP Server 的 benchmark testing ， 可以同时模拟多个并发请求。前段时间看到公司的开发人员也在用它作一些测试，看起来也不错，很简单，也很容易使用，所以今天花一点时间看了一下。 通过下面的一个简单的例子和注释，相信大家可以更容易理解这个工具的使用。
  • 2种办法让HashMap线程安全 flyfoxs javajdkjni
    多线程之--2种办法让HashMap线程安全 多线程之--synchronized 和reentrantlock的优缺点 多线程之--2种JAVA乐观锁的比较( NonfairSync VS. FairSync)     HashMap不是线程安全的,往往在写程序时需要通过一些方法来回避.其实JDK原生的提供了2种方法让HashMap支持线程安全.  
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  • Java 位运算 Javahuhui java位运算
    // 左移( << ) 低位补0 // 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0110 然后左移2位后，低位补0： // 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 1000 System.out.println(6 << 2);// 运行结果是24 // 右移( >> ) 高位补"
  • mysql免安装版配置 ldzyz007 mysql
    1、my-small.ini是为了小型数据库而设计的。不应该把这个模型用于含有一些常用项目的数据库。 2、my-medium.ini是为中等规模的数据库而设计的。如果你正在企业中使用RHEL,可能会比这个操作系统的最小RAM需求(256MB)明显多得多的物理内存。由此可见，如果有那么多RAM内存可以使用，自然可以在同一台机器上运行其它服务。 3、my-large.ini是为专用于一个SQL数据
  • MFC和ado数据库使用时遇到的问题 你不认识的休道人 sqlC++mfc
    =================================================================== 第一个 =================================================================== try{ CString sql; sql.Format("select * from p
  • 表单重复提交Double Submits rensanning double
    可能发生的场景： *多次点击提交按钮 *刷新页面 *点击浏览器回退按钮 *直接访问收藏夹中的地址 *重复发送HTTP请求（Ajax） （1）点击按钮后disable该按钮一会儿，这样能避免急躁的用户频繁点击按钮。 这种方法确实有些粗暴，友好一点的可以把按钮的文字变一下做个提示，比如Bootstrap的做法： http://getbootstrap.co
  • Java String 十大常见问题 tomcat_oracle java正则表达式
    　1.字符串比较，使用“==”还是equals()? 　　"=="判断两个引用的是不是同一个内存地址(同一个物理对象)。 　　equals()判断两个字符串的值是否相等。 　　除非你想判断两个string引用是否同一个对象，否则应该总是使用equals()方法。 　　如果你了解字符串的驻留(String Interning)则会更好地理解这个问题。 　 　
  • SpringMVC 登陆拦截器实现登陆控制 xp9802 springMVC
    思路，先登陆后，将登陆信息存储在session中，然后通过拦截器，对系统中的页面和资源进行访问拦截，同时对于登陆本身相关的页面和资源不拦截。   实现方法： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
按字母分类： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ其他