七参数坐标转换的几种解法

1.简介

坐标转换是测量领域中数据处理的基础性工作。目前，广为接收的三维坐标转换模型是七参数模型，即1个缩放参数、3个旋转角度参数和3个平移参数。理论上9参数模型更加完善，但使用场景很少。

2.七参数模型

七参数的数学模型为：

$${\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]}_s=k\ast \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& cosa& -sina\\ 0& sina& cosa\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}cosb& 0& sinb\\ 0& 1& 0\\ -sinb& 0& cosb\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}cosc& -sinc& 0\\ sinc& cosc& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]{\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]}_o+\left[\begin{array}{c}Tx\\ Ty\\ Tz\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$
式(1)中具体可概括为：
$${\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]}_s=k\ast \left[\begin{array}{ccc}a1& a2& a3\\ b1& b2& b3\\ c1& c2& c3\end{array}\right]{\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]}_o+\left[\begin{array}{c}Tx\\ Ty\\ Tz\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$
根据公共点的两套坐标，对式(2)的求解具体可概括为两类：最小二乘与整体最小二乘。本文主要简述最小二乘的几种解法。

3.最小二乘的多种解法

直接来看，对式(1)的求解很难。所以根据式(1)中旋转矩阵的转化与求解，目前的解法主要有以下几种：

3.1参数平差

式(1)不易求解,但不是不能求解。硬刚这7个参数有点难，但通过矩阵的合并，泰勒一阶展开，也可以写出来。将式(1)对7个参数进行泰勒一阶展开，然后罗列参数方程求解。

3.2 布尔沙解法

布尔沙模型是针对3个旋转角都是小角度的坐标转换模型，使用场景单一。小角度是多小呢，目前我的认知是不超过5度，这个关键是看我们的转换精度的预期控制。

3.3 符有限制条件的间接平差

硬刚这7个参数有点难，将式(1)化为式(2),对13个参数进行泰勒一阶展开，罗列参数方程。因为参数(2)旋转的参数见有约束，所以还要罗列6个条件方程。

3.4 罗德里格矩阵

比较巧妙的将式(1)中的旋转矩阵进行转换，最后仍然是一共有7个参数，所以还可以归结为间接平差的一种，只不过相比3.2法，求解简单一点。

3.5四元数

同样是将旋转矩阵进行了转换，但是感觉很复杂，比硬刚还硬刚，所以之后不写这个东西了。

这是第一篇，之后会详细阐述这几种解法的过程，包括代码和数据，敬请期待与点赞。