《数据结构与算法》基本概念

一、什么是数据结构

1.1 关于数据组织——例：图书摆放

1.1.1 定义

• “数据结构是数据对象，以及存在于该对象的实例和组成实例的数据元素之间的各种联系。这些联系可以通过定义相关的函数来给出。”——Sartaj
  Sahni《数据结构，算法与应用》

• “数据结构是ADT（Abstract Date Type）的物理实现”——Clifford
  Shaffer《数据结构与算法分析》

• “数据结构是计算机存储、组织数据的方式。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来最优效率的算法。”——中文维基百科

1.1.2 如何在书架上摆放图书？

【涉及到的两个操作：新书怎么插入？怎么找到某一个

• 指定书？】 随便放？（累死……）
• 字母序，二分查找（边儿上的查找不方便《阿Q正传》）
• 先分类，在每类中拼音排序，二分查找。衍生问题：空间分配问题—类别分多细？
  综上所述： 解决问题方法的效率。跟数据的组织方式有关。

1.2 关于空间使用——例：PrintN函数实现

例2：写程序实现一个函数PrintN，使得传入一个正整数为N的参数后，使顺序打印从1到N的全部正整数。
①for循环实现：

void PrintN( int N )
{ int i;
  for(i=1;i<=N;i++){
     printf("%d\n",i);
}
    return;
}

②递归实现：

void PrintN( int N )
{ if(N){
    PrintN(N-1);
    Printf("%d\n",N);
  }
  return
}

计算机不愿意跑递归程序，对空间占用很恐怖。
综上所述：解决问题方法的效率，跟空间的利用效率有关。

1.3 关于算法效率——例：计算多项式值

例3：写程序计算给定多项式在给定点$x$处的值：
$f(x)=a_0+a_{1}x+\dots \dots +a_{n-1}{x}^{n-1}+a_n{x}^n$
算法一：从左到右

double f(int n,double a[],double x)
{ int i;
  double p=a[0];
  for(i=1;i<=n;i++)
  p+=(a[i]*pow(x,i);
  return p;
}

算法二：从里到外（秦九韶）——标准程序，更快
$f(x)=a_0+x（a_1+x(\dots (a_{n-1}+x(a_n)))）$

double f(int n,double a[],double x)
{ int i;
  double p=a[n];
  for(i=n;i>0;i--)
    p=a[i-1]+x*p;
  return p;
  }

验证：两个程序用时比较，调用clock( )函数，此函数时间单位为clock tick（时钟打点）。常数CLK_TCK：机器时钟每秒所走的时钟打点数。

#include
#include

clock_t start,stop;
double duration;
int main( )
{
  start = clock();
  MyFunction(); /*被测函数写在这里*/
  stop=clock();
  duration = ((double)(stop-start))/CLK_TCK;
  /*其他不在测试范围的处理写在后面，例如输出duration的值*/
  return 0;
}

实例：写程序计算多项式 $f(x)=$ $\sum _{i=0}^{9}i\ast x^i$ 在给定点 $x=1.1$处的值$f(1.1)$

综上所述：解决问题方法的效率，跟算法的巧妙程度有关

1.4 抽象数据类型

所以到底什么是数据结构？

• 数据对象在计算机中的组织方式。
• 数据对象必定与一系列加在其上的操作相关联。
• 实现这些操作所用的方法就是算法。

1.4.1 定义

1. 数据类型：

• 数据对象集
• 数据集合相关联的操作集

2. 抽象：描述数据类型的方法不依赖于具体实现。

• 与存放数据的机器无关
• 与数据存储的物理结构无关
• 与实现操作的算法和编程语言均无关
  总体来说：只描述数据对象集和相关操作“是什么”，并不涉及“如何做到”的问题。

3. 例子：矩阵的抽象数据类型定义

• 类型名称：矩阵（Matrix）
• 数据对象集：一个MN的矩阵$A_{M\ast N}=(a_{i}j)$ $(i=1,\dots ，M;j=1,\dots ，N)$由MN个三元组$<a,i,j>$构成，其中$a$是矩阵元素的值，$i$是元素所在的行号，$j$是元素所在的列号。
• 操作集：
  

二、什么是算法

2.1 算法的定义

1. 算法（Algorithm）

• 一个有限指令集
• 接受一些输入（有些情况下不需要输入）
• 产生输出
• 一定在有限步骤之后终止
• 每一条指令必须：有充分明确的目标，不可以有歧义、在计算机能处理的范围之内、描述应不依赖于任何一个计算机语言以及具体的实现手段。

2.例子： 选择排序算法的伪码描述

void SelectionSort ( int List[], int N )
{
  for (i=0;i<N；i++){
  MinPositon = ScanForMin(List,i,N-1);
  /* 从List[i]到List[N-1]中找最小元，并将其位置赋给MinPostion*/
  swap(List[i],List[MinPostion]);
  /*将未排序部分的最小元换到有序部分的最后未知*/
  }
}

抽象一：List到底是数据还是链表？
抽象二：swap用函数还是宏去实现？

2.2 什么是好的算法？

1. 空间复杂度：程序执行占用存储单元的长度 $S(n)$
2. 时间复杂度：程序执行耗费时间的长度 $T(n)$
3. 例一：PrintN的递归算法

void PrintN( int N )
{ if(N){
    PrintN(N-1);
    Printf("%d\n",N);
  }
  return
}

调用一次划分一次空间，占用空间数量和原始n的大小成正比：$S(N)=C\ast N$
例二：PrintN的for循环实现

void PrintN( int N )
{ int i;
  for(i=1;i<=N;i++){
     printf("%d\n",i);
}
    return;
}

它没有涉及到任何程序调用的问题，不管N多大，他占用空间是固定的，所以空间复杂度是一个常数，即$S(N)=C$。

4. 事实上：第二个函数要比第一个函数运行快很多。
5. 探究运行效率——数乘除法的次数
   计算多项式值从左到右算法：一个for循环里面 pow() 函数做 $i$ 次乘法,即：
   乘法次数=(1+2+3+…+n)=n(n+1)/2
   $T（n）=C_1{n}^2+C_{2}n$
   计算多项式值从内到外实现：n 次乘法
   $T（n）=Cn$
6. 分析一般算法的效率时，经常关注以下两种复杂度:

• 最坏情况复杂度 $T_{worst}(n)$
• 平均复杂度$T_{avg}(n)$
• $T_{avg}(n)<=T_{worst}(n)$
• 一般是分析最坏情况复杂度

2.3 复杂度的渐进表示法

关心的点： 随着数据规模的增大，他这个算法复杂度增长的性质会怎么样？
举例说明:
计算多项式值从左到右算法,他的时间复杂度在当$n$很大的时候，基本上就是$n^2$在起主要作用。
计算多项式值从内到外实现,他的时间复杂度是$n$在起主要作用。
只需要粗略比较这两个算法 的增长趋势就可以了---->复杂度的渐进表示法

2.3.1概念

上界：$T(n)=O(f(n))$表示存在常数$C>0,n_0>0$使得当$n>n_0$时有$T(n)<=C\ast f(n)$

下界：$T(n)=\Omega (g(n))$表示存在常数$C>0,n_0>0$使得当$n>n_0$时有$T(n)>=C\ast g(n)$

既是上界又是下界：$T(n)=\theta (h(n))$表示同时有$T(n)=O(h(n)$和
$T(n)=\Omega (h(n)$
备注：上界和下界都不是唯一的，太大的上界和太小的下界在分析算法效率时都是没有意义的。**所以：**一般写的是 $O(最小)$和$\Omega (最大)$

2.3.2 小窍门

若两段算法分别有复杂度$T_1(n)=O(f_1(n))$和$T_2(n)=O(f_2(n))$，则：

1. $T_1(n)+T_2(n)=max(O(f_1(n)),O(f_2(n)))$
2. $T_1(n)\ast T_2(n)=O(f_1(n)\ast f_2(n))$

若 $T(n)$是一个关于$n$的$k$阶多项式，则：
$T(n)=\theta (n^k)$

一个for循环的时间复杂度=循环次数*循环体代码的复杂度

$if-else$结构的复杂度取决于 if 的条件判断复杂度和两个分支部分的复杂度，总体复杂度三者中取最大。