大O，大,大
大O
大O表示一个函数f(x)在大于某一个数时，存在一个正数，使得存在，即函数的上界函数
大
大O表示一个函数f(x)在大于某一个数时，存在一个正数c，使得存在，即函数的下界函数
大
当一个函数的上下界函数相等时（c可不相等）
递归方程阶的计算
大胆猜测小心求证（先猜，再数学归纳法证明）
暴力求解
将递归方程暴力分解，直到括号内与1同阶为止
例
令，即
则
Master定理（具有局限性）
用于解决形如的递归方程，比较与阶的关系
二者取较大者为该递推方程的阶
若二者相等，则在阶上乘为递推方程的阶
例
所以
分治算法
将问题分解成多个小问题，降低问题的规模
最大子数组
最大子数组有三种情况构成，一种位于中间数的左侧，一种位于中间数的右侧，最后一种跨越了中间数。在这之中，位于左侧和右侧这两种情况的子问题与最大子数组相同，所以关键就是寻找跨越中间数的最大子数组。
而跨越的最大组数组可由单侧的最大子数组相加求得。
cross-mid( A,begin,end)
mid=(bigin+end)/2
for i mid downto begin
sum+=A[i]
if sum > left-sum
left-sum=sum
max-left=i
//右侧同理
return （max-left, max-right, left-sum+right-sum)
最终代码
max(A,begin,end)
if begin=end
return (begin,end,A[begin])
mid=(begin+end)/2
(left-begin,left-end,left-max)=max(A,begin,mid)
(right-begin,right-end,right-max)=max(A,mid+1,end)
(mid-begin,mid-end,mid-max)=cross-mid(A,begin,end)
//不可由上两个式子形成，因为左右两侧的最大子数组不一定包括中间数
max(mid-max,left-max,right-max)
return//上式对应的
归并排序
不断二分到只剩一个数字（）进行归并，用一个空的与原数组等长数组来做中介排序，返回排好序的数字
//再排序过程中如果计数调整顺序的次数，则将此题派生为求逆序对个数
矩阵乘法
两个n阶矩阵相乘则结果矩阵中元素的值为
所以传统矩阵相乘的时间复杂度为
若将矩阵分为四个n/2阶的小矩阵
此时时间复杂度为时间复杂度并没有改变
此时时间复杂度为时间复杂度减小了
大整数乘法
当两个长度为N的大整数相乘，一般情况下需要消耗的时间复杂度，是否可以利用分治降低时间复杂度？
则
此时,时间复杂度为
时间复杂度并没有发生改变
倘若我们稍稍改动，j减少相乘，增加加减，尽多的利用已有的结果
此时,时间复杂度为
第K小元素
动态规划
与分治法类似，动态规划也是将问题划分为更小的问题进行解决，但区别在于，子问题是具有重复性的，这将大大减小时间复杂度
动态规划条件
最优子结构
当一个问题的最优解包含了子问题的最优解时，称这个问题具有最优子结构
证明时是用反证法
重叠子问题
一个子问题的解在求解中不断被利用
矩阵连乘
最优子结构证明
若m[i,j]表示Ai...Aj相乘时最少的乘法次数，m[j+1,k]表示Aj+1...Ak相乘时最少的乘法次数
则m[i,k]=m[i,j]+m[j+1,k]+ri×rj×rk
重叠子问题证明
所以构建二维矩阵m[i,j]用于存储某个区间内矩阵相乘最少的乘法次数，i表示开始的矩阵下标，j表示结束的矩阵下标
钢条切割
最优子结构
当最终是最大收益时，切割下来的每一部分也是当前长度的最大收益
重叠子问题
最长公共子序列
二维矩阵m[i,j]表示Xi和Yj中最长公共子序列的长度
m[i,j]=1/0, i=j
m[i,j]=m[i-1,j-1]+1, X[i]=Y[j]
m[i,j]=max{m[i-1,j],m[i,j-1]}, i≠j，X[i]≠Y[j]
0/1背包问题
背包中物品只可整个装入或者取出，不可部分装入取出
dp[i][j]表示物品为i，i+1，...，n，背包容量为j时的最优解
dp[i][j]=dp[i+1][j] j dp[n][j]=0 j=0 dp[n][j]=pn j≥vn 选择活动结束时间最早的活动，下一个活动为开始时间比现有活动晚且结束时间最早的活动。贪心算法
活动选择问题（ 最少圆覆盖最多点）