枚举子集复杂度 O(n^3) 证明

困扰多年的问题，居然在学习离散数学后的一分钟内得到解决。
形式化问题为，求满足 $A\subseteq B\subseteq S$ 的有序对 $<A,B>$ 的个数。

法1

类比子集数量的求法。每个元素有四种可能

• 同时在 $A$，$B$
• 在 $A$ 不在 $B$
• 在 $B$ 不在 $A$
• 都不在

其中由题，在 $A$ 不在 $B$ 不符合题意，所以每个元素有三种可能，最后是 $3^n$

法2

按照 $A$ 中的元素个数 $k$ 分类，对于一个固定的 $k$，有序对有 $C(n,k)\cdot 2^{n-k}$ 个，其中 $C(n,k)$ 表示先选出某个 $A$，$2^{n-k}$ 表示在剩下的元素任选，使之包含 $A$。

于是 $N={\sum }_{k=0}^{n}C(n,k)\cdot 2^{n-k}={\sum }_{k=0}^{n}C(n,k)\cdot 1^k\cdot 2^{n-k}=(1+2{)}^n=3^n$

反过来先选 $B$ 也是一样的，即 $C(n,k)\cdot 1^{n-k}\cdot 2^k$