第4章 概率
概率（probability）是对某一特定事件发生的可能性的数值度量。
4.1 试验、计数法则和概率分配
在概率论中，我们把可以产生明确结果的过程定义为试验（experiment）。
样本空间：试验所有可能结果组成的一个集合。
任何一个特定的试验结果被称为样本点（sample point），它是样本空间中的一个元素。如抛硬币样本点只有两种：正面或反面。
4.1.1 计数法则和组合、排列
多步骤试验的技术法则：如果一个试验可以分为循序的k个步骤，在第1步中有n1种试验结果，在第k步中有nk种试验结果。那么所有可能的试验结果在、的总数为n1*n2*......nk。
抛掷两枚硬币可以视为一个两步骤的试验，结果是2*2=4种结果。
组合计数法则：从N项中任取n项的组合数为C5 2.
排列计数法则：从N项中任取n项的排列数为P5 2.
4.1.2 概率分配
如何为试验结果分配概率：古典法、相对频数法和主观概率法。
概率分配的两个基本条件：1、概率值都必须在0和1之间。
2、所有试验结果的概率之和必须为1.
古典法适用在等概率发生时。
相对频数法适用于试验可以大量重复进行，并能取得试验结果发生比率的数据。
主观法（subjective method）适用于不满足前两种情况下。
4.2 事件及其概率
事件：样本点的一个集合。对每一个时间来说，它都是试验中若干个样本点的集合。
事件的概率等于事件中所有样本点的概率之和。
4.3 概率的基本性质
4.3.1 事件的补 、并、交
加法公式 P (A并B)=P(A)+P(B)-P(A交B)
互斥事件（mutually exclusive events）如果两个事件没有公共的样本点，则称这两个事件互斥。互斥事件的加法公式 P (A并B)=P(A)+P(B)
4.4 条件概率
P(A|B)在事件B已经发生的条件下考虑A发生的可能性。
P(A|B)=P(A交B)/P(A)
4.4.1 独立事件
如果P(A|B)=P(A）、P(B|A)=P(B）,则两个事件A和B是相互独立的，否则两个事件是相依的。
4.4.2 乘法公式
P(A交B)=P(A|B)P(B) P(A交B)=P(B|A)P(A)
独立事件的 乘法公式： P(A交B)=P(A)P(B)
两个概率不为零的事件不可能既是互斥事件，又是独立事件。如果两个互斥的事件之一被确知已经发生了，那么另一事件发生的概率降为0，故他们是相依的。
4.5 贝叶斯定理
先验概率，根据新增信息计算修正概率对先验概率进行更新，得到后验概率。
先验概率P(A1)、P(A2)，条件概率P(B|A1)、P(B|A2).计算后验概率P(A1|B)、P(A2|B).
贝叶斯定理广泛应用于决策分析中。先验概率经常是由决策者主观估计的。在取得样本信息后，计算后验概率以供决策者选择最佳策略。