2021-06-22-01
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 集合的性质 P64 习题07）
为个无序正整数对所成的集合.证明:至少有个无序三元数组,使得都属于.
证明
考虑个点.如果,则在与之间连一条线.我们来求这个图中的三角形的个数.
设,并且自引出的线有条,则以为边的三角形至少有个.
由于每个三角形有三条边,所以中至少有(1)个三角形.
,(2).
对于每个固定的,恰有个使,所以在(1)中的出现了次.
注意既可作为自引出的边,又可作为自引出的边,被计算了2次.因此.由柯西不等式,.由(1)、(2)及上式得
2021-06-22-02
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 集合的性质 P64 习题08）
设是坐标平面中的一个子集.定义如下:.试证:每个以原点为中心,面积等于1990的平行四边形至少包含集中的两个点.
证明
设是以,,,为顶点的平行四边形,它的4个顶点都属于,且中其他点都不属于.将在坐标平面上向各方向平移,便形成以为基本区域的网络,网络的结点都是L中的点.的面积
设是以原点为中心,面积等于1990的平行四边形.作以原点为中心,相似比为的位似变换.记平行四边形的位似象为,则P的面积为.这样一来,当将平行四边形被网络所分成的诸块都平移到基本区域中时,必有两点重叠.设这两点是和.由于平移是沿网格线移动的,所以点.
另一方面,因为,所以.又因是以原点为中心的平行四边形,所以.从而线段的中点,且.这就证明了平行四边形中至少含有中的两个点.
2021-06-22-03
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 集合的性质 P64 习题09）
证明:在集合 中可取出2个数,其中无三个数成等差数列.
证明
用数学归纳法.当时,可分别从及,中各取个数满足条件.
2021-06-22-04
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 集合的性质 P64 习题10）
设、、为整数,这里,且对任意的,数、、中至少有一个为奇数.证明:存在一组数、、,使得集合中,至少有个数为奇数.
证明
考虑不全为零的7个数组,其中.容易证明:若、、,不全为偶数,则集合中恰有4个为偶数,也恰有4个为奇数,这里.当然,在时,为偶数.
由此可知中,恰有个数为奇数.于是,由抽屉原则,可知存在一组数,、、不全为零,使得中至少有个数为奇数.
2021-06-22-05
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 集合的性质 P64 习题06）
设集合由30个互不相同的正数组成,是中所有的个不同元素之和的和数.证明:若,则.
解
只需证明:如果,那么对一切,都有,由于,所以,,将与,乘开,并且整理以后,可知,易证,由此即得所证.