算法的时间复杂度和空间复杂度

一、开场白

各位兄弟姐妹们，大家好。从本篇博客开始，我们就开始学习数据结构了，首先第1个我们要学习的是算法的时间复杂度和空间复杂。

二、数据结构与算法的关系

我们要讲的是数据结构，但是为什么要先讲算法呢？他们两个到底什么关系？干嘛要放在一起？那我就打个比方吧，今天是你女朋友的生日，你打算请女朋友去看爱情音乐剧，去到了剧院，抬头一看《梁山伯》，嗯？怎么会是这样呢？一问才知，今天饰演的祝英台演员生病了，所以他只能唱独角戏了。于是你们就打算去看爱情电影，到了电影院一看海报，《罗密欧》是不是名字写错了？一问，原来是演朱丽叶的演员嫌演出费用太低了，中途退演了，于是把电影名字改成了罗密欧。
所以说事实上数据结构和算法也是类似的关系，如果只谈数据结构是当然可以的，但是你听完可能没什么感觉，所以说我们要将数据结构和算法连在一起讲，才能更加深入的理解。

三、两种算法的比较

“窥一斑 而见全豹”：大家都已经学过了一名计算机语言，如果让你写一个1加到100（1+2+3+4+…+100）的结果的程序，你应该怎么写？
大多数人会马上写出下面的C语言代码：

int i,sum=0,n=100;
for(i=1;i<=n;i++)
{
sum+=i;
}
printf("%d",sum);

这是最简单的算法之一，我不去解释这个代码的含义了，问题在于你的第一直觉这样写，但这样，是不是真的很好？是不是很高效？这时我不得不把伟大的数学家高斯的童年故事再说一遍，估计你们早已听过了。

四、时间复杂度

1.时间复杂度的概念：

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

2.例题引入：

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
 for (int j = 0; j < N ; ++ j)
 {
 ++count;
 }
}
 
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
 ++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
 ++count;
}

Func1 执行的基本操作次数 ：F（N）=N * 2+2*N+10；（N的平方+2N+10）
N = 10 F(N) = 130
N = 100 F(N) = 10210
N = 1000 F(N) = 1002010
实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这
里我们使用：大O的渐进表示法

3、大O渐进表示法：

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O（N的平方）

“最坏的思想”：

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

4、常见时间复杂度计算举例

1.实例1

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {    
 ++count;
 }
 int M = 10;
 while (M--)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

实例1基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)

2.实例2：

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < M; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 for (int k = 0; k < N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

实例2基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)

3.实例3

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

3. 实例3基本操作执行了100次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)

4.实例4

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

实例4：基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1)）/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)

5.实例5

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
 if(0 == N)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

实例5通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。

6.实例6

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

实例6：通过计算分析发现基本操作递归了2^N 时间复杂度为O(2^N)。

五、空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显示申请的额外空间来确定。

1.例题分析

1.实例1

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

1. 实例1使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

2.实例2

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
 if(n==0)
 return NULL;
 
 long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
 fibArray[0] = 0;
 fibArray[1] = 1;
 for (int i = 2; i <= n ; ++i)
 {
 fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
 }
 return fibArray;
}

2.实例2动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)

3.实例3

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
 if(N == 0)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

实例3递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

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