C++排序、前缀和算法的应用：英雄的力量

本文涉及的基础知识点

C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频
排序

题目

英雄的力量
给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，它表示英雄的能力值。如果我们选出一部分英雄，这组英雄的 力量 定义为：
i0 ，i1 ，… ik 表示这组英雄在数组中的下标。那么这组英雄的力量为 max(nums[i0],nums[i1] … nums[ik])2 * min(nums[i0],nums[i1] … nums[ik]) 。
请你返回所有可能的 非空 英雄组的 力量 之和。由于答案可能非常大，请你将结果对 109 + 7 取余。
示例 1：
输入：nums = [2,1,4]
输出：141
解释：
第 1 组：[2] 的力量为 22 * 2 = 8 。
第 2 组：[1] 的力量为 12 * 1 = 1 。
第 3 组：[4] 的力量为 42 * 4 = 64 。
第 4 组：[2,1] 的力量为 22 * 1 = 4 。
第 5 组：[2,4] 的力量为 42 * 2 = 32 。
第 6 组：[1,4] 的力量为 42 * 1 = 16 。
第? ???7 组：[2,1,4] 的力量为 42??? * 1 = 16 。
所有英雄组的力量之和为 8 + 1 + 64 + 4 + 32 + 16 + 16 = 141 。
示例 2：
输入：nums = [1,1,1]
输出：7
解释：总共有 7 个英雄组，每一组的力量都是 1 。所以所有英雄组的力量之和为 7 。
参数范围：
1 <= nums.length <= 105
1 <= nums[i] <= 109

分析

时间复杂度

排序O(nlogn)，枚举结尾O(n)，故总复杂度O(nlogn+n)

原理

英雄的选择有三种方式：一，子数组，选择部分元素，选择的元素必须连续。二，子系列，选择部分元素，这些元素不需要连续，但必须保持原来的顺序。三，任意选择。第三种情况，排序不影响结果，可以大大简化问题。
排序后，枚举结尾。只选择一个英雄，比较简单，不赘述。下表以能力分别为1,2,3,4的4个英雄来说明，选择两个及更多英雄的情况。

{1,2}
{1,3}{1,2,3}	{2,3}
{1,4}{1,2,4},{1,3,4}{1,2,3,4}	{2,4},{2,3,4}	{3,4}

观察上表。

最小值索引为0，最大致索引为i(i>0)的数量为	2 ^( i-1) (1,2,4)
最小值索引为1，最大致索引为i(i>1)的数量为	2 ^( i-2) (1,2)
…
也就是i+1，biPrePre 乘以2。
除最小、最大元素外，中间x个元素可以选择和不选择，故共有2 ^ x 种选择，x等于0也符合。

核心代码

template
class C1097Int
{
public:
C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
{
}
C1097Int operator+(const C1097Int& o)const
{
return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
return this;
}
C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
{
m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
return this;
}
C1097Int operator-(const C1097Int& o)
{
return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int operator(const C1097Int& o)const
{
return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
}
C1097Int& operator=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
bool operator<(const C1097Int& o)const
{
return m_iData < o.m_iData;
}
C1097Int pow(long long n)const
{
C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
while (n)
{
if (n & 1)
{
iRet *= iCur;
}
iCur *= iCur;
n >>= 1;
}
return iRet;
}
C1097Int PowNegative1()const
{
return pow(MOD - 2);
}
int ToInt()const
{
return m_iData;
}
private:
int m_iData = 0;;
};

class Solution {
public:
int sumOfPower(vector& nums) {
sort(nums.begin(), nums.end());
C1097Int<> biRet,biPrePre;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++)
{
C1097Int<> self((long long)nums[i] * nums[i]);
biRet += self * nums[i];//长度为1的串
biRet += self * biPrePre;
biPrePre *= 2;
biPrePre += nums[i];
}
return biRet.ToInt();
}
};

测试用例

template
void Assert(const vector& v1, const vector& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
assert(v1[i] == v2[i]);
}
}

template
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
assert(t1 == t2);
}

int main()
{
Solution slu;
vector nums ;
int res;
nums = { 2, 1, 4 };
res = slu.sumOfPower(nums);
Assert(141, res);
nums = { 1,1,1 };
res = slu.sumOfPower(nums);
Assert(7, res);
nums = { 1, 2, 3, 4, 6, 4, 3, 2 };
res = slu.sumOfPower(nums);
Assert(10636, res);
nums = { 1000000000,1000000000 };
res = slu.sumOfPower(nums);
Assert(999998978, res);

//CConsole::Out(res);

}

5月旧代码

class Solution {
public:
int sumOfPower(vector& nums) {
std::sort(nums.begin(), nums.end());
C1097Int<> iPrePre,iPre,iRet;
for (const auto& n : nums)
{
iPrePre *= 2;
iPrePre += iPre;
iPre = n;
C1097Int<> iAdd = iPrePre + iPre;
iAdd *= n;
iAdd *= n;
iRet += iAdd;
}
return iRet.ToInt();
}
};

扩展阅读

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墨家名称的来源：有所得以墨记之。
算法终将统治宇宙，而我们统治算法。《喜缺全书》

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17