NOIP2023模拟7联测28 花之舞

题目大意

有一个花园，每朵花可以表示为平面直角坐标系上的$N$个点，第$i$个点的坐标为$O(x_i,y_i)$。定义两朵花之间的距离为它们的切比雪夫距离，即$dis(u,v)=\max (|x_u-x_v|,|y_u-y_v|)$。

有$q$个询问，第$i$个询问为一个区间$[l_i,r_i]$，请确定一个$k(l\le k\le r)$，最大化$\underset{1\le u<v\le r,u\ne k,v\ne k}{\min }dis(u,v)$。即，最大化：删掉一朵花后，区间里花之间距离最小值。

$3\le n\le 3\times 10^4,1\le q\le 3\times 10^5,1\le x_i,y_i\le 10^8$

$1\le l_i<r_i\le n,r_i-l_i\ge 2$

保证不存在重合的点。

时间限制$4000ms$，空间限制$1024MB$。

题解

显然，要最大化任意两点的最小值，最近点对的两个点必须删一个。那么，我们可以想办法求出所有在询问中可能用到的最近点对。

枚举$k$（$0\le k\le \log v$，其中$v$为值域），将平面直角坐标系分为大小为$2^k\times 2^k$的矩阵。对于每个$k$，我们考虑求所有距离在$[2^{k-1},2^k)$上的点对（当然，求这个的目的是求出所有在询问中可能用到的最近点对，得到距离小于$2^{k-1}$的点对也无妨）。对于每个矩阵，找到相邻矩阵（相邻指共边或共顶点，也就是八连通）和自己的矩阵，对这九个矩阵分别进行操作。每次操作就是将这两个矩阵（自己和操作对象）的点按编号从小到大排序。这自己的矩阵为$A$，操作对象的矩阵为$B$，则对于$A$中的每个点$x$，在$B$中找到最小的点$y$且$y\ge x$（注意$x,y$是编号），将$z\in [\max (0,y-8),y-1]$的点都存储在$x$的$vector$中，表示$x$和$z$可能在询问中构成最近点对。

为什么要取$z\in [\max (0,y-8),y-1]$呢？因为如果$B$中要取到$z^{\prime }$，使得$z^{\prime }<\max (0,y-8)$且$z^{\prime }$和$x$可能构成最近点对，则能让其构成最近点对的区间可定是包含$[z^{\prime },x]$的。既然当前枚举的是距离在$[2^{k-1},2^k)$上的点对，则如果$B$中存在$z\in [\max (0,y-8),y-1]$和$z^{\prime }$的距离小于$2^{k-1}$，则$z$和$z^{\prime }$的距离一定比$x$和$z^{\prime }$的距离小，也就是说只要询问包含$x$和$z^{\prime }$，则最近点对一定是$z$和$z^{\prime }$，也就是说$x$和$z^{\prime }$不可能在询问中构成最近点对。

我们发现，在最坏情况下，在$B$中取$6$个点之后，不管怎么加点，都会使得存在两个点的距离小于$2^{k-1}$。考虑到后面要删一个点，所以就取到$7$到$8$为宜，所以上面取的区间为$[\max (0,y-8),y-1]$。最后还要对每个点的$vector$去重。

然后我们考虑询问怎么做。我们可以依照询问右边界升序扫描线，将可能的最近点对插入到线段树中。下面称上面处理出来的可能在询问中用到的最近点对为支配点对。

线段树的每个节点只考虑 左端点在节点对应的区间里 且 右端点不超过当前扫描到的边界 的支配点对，维护几个值，分别是：

• 这些支配点对里，最近点对是哪对，距离是多少
• 分别删掉上一条中最近点对中的一个点后的最近点对距离

合并区间的时候，设两边最近点对分别是$(u_1,v_1)$和$(u_2,v_2)$，其中$u_1<u_2$。如果两边最近点对有共同端点，就可以将 删掉这个共同端点后的最近点对距离 更新为两边最小值；如果两边最近点对没有共同端点，那么一边的最近点对可能更新另一边的删掉某点后的最近点对距离。

询问时考虑删掉最近点对的哪个点，取最优即可。

时间复杂度为$O(n\log n\log v+q\log n)$，其中$v$为$x_i,y_i$的值域。常数比较大，但时限有$5000ms$，是可以过的。

code

#include
#define lc k<<1
#define rc k<<1|1
using namespace std;
const int N=30000,Q=300000,inf=2100000000;
int n,q,x[N+5],y[N+5],ans[Q+5];
vector<int>w[N+5];
vector<pair<int,int>>g[N+5];
map<pair<int,int>,vector<int>>mp;
struct node{
	int mn,x,y,v1,v2;
}tr[4*N+5];
int dis(int i,int j){
	return max(abs(x[i]-x[j]),abs(y[i]-y[j]));
}
void build(int k,int l,int r){
	tr[k]=(node){inf,-1,-1,inf,inf};
	if(l==r) return;
	int mid=l+r>>1;
	build(lc,l,mid);build(rc,mid+1,r);
}
node merge(node a,node b){
	node re;
	int v1,v2;
	if(a.mn<b.mn){
		v1=min(a.v1,b.mn);v2=a.v2;
		if(a.y==b.y) v2=min(v2,b.v2);
		else if(a.y==b.x) v2=min(v2,b.v1);
		else v2=min(v2,b.mn);
		re=(node){a.mn,a.x,a.y,v1,v2};
	}
	else{
		v1=b.v1;v2=b.v2;
		if(b.x==a.y) v1=min(v1,a.v2);
		else v1=min(v1,a.mn);
		if(b.y==a.y) v2=min(v2,a.v2);
		else v2=min(v2,a.mn);
		re=(node){b.mn,b.x,b.y,v1,v2};
	}
	return re;
}
void ch(int k,int l,int r,int x,int y){
	if(l==r&&l==x){
		int d=dis(x,y);
		if(d<tr[k].mn) tr[k]=(node){d,x,y,inf,tr[k].mn};
		else if(d<tr[k].v2) tr[k].v2=d;
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if(x<=mid) ch(lc,l,mid,x,y);
	else ch(rc,mid+1,r,x,y);
	tr[k]=merge(tr[lc],tr[rc]);
}
node find(int k,int l,int r,int x,int y){
	if(l>=x&&r<=y) return tr[k];
	int mid=l+r>>1;
	if(y<=mid) return find(lc,l,mid,x,y);
	if(x>mid) return find(rc,mid+1,r,x,y);
	return merge(find(lc,l,mid,x,y),find(rc,mid+1,r,x,y));
}
int main()
{
	freopen("flower.in","r",stdin);
	freopen("flower.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
	for(int dv=0;dv<=27;dv++){
		mp.clear();
		for(int i=1;i<=n;i++){
			mp[{x[i]>>dv,y[i]>>dv}].push_back(i);
		}
		for(auto pv:mp){
			const auto &p=pv.first;
			const auto &v=pv.second;
			for(int dx=-1;dx<=1;dx++){
				for(int dy=-1;dy<=1;dy++){
					auto it=mp.find({p.first+dx,p.second+dy});
					if(it==mp.end()) continue;
					const auto &v1=it->second;
					for(int i=0,j=0;i<v.size();i++){
						while(j<v1.size()&&v1[j]<v[i]) ++j;
						for(int k=max(0,j-8);k<j;k++){
							w[v[i]].push_back(v1[k]);
						}
					}
				}
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		sort(w[i].begin(),w[i].end());
		w[i].erase(unique(w[i].begin(),w[i].end()),w[i].end());
	}
	scanf("%d",&q);
	for(int i=1,l,r;i<=q;i++){
		scanf("%d%d",&l,&r);
		g[r].push_back({l,i});
	}
	build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(auto l:w[i]) ch(1,1,n,l,i);
		for(auto k:g[i]){
			int l=k.first,id=k.second;
			node re=find(1,1,n,l,i);
			ans[id]=max(re.v1,re.v2);
		}
	}
	for(int i=1;i<=q;i++) printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}