写在前面
之前自己写的word丢了，为避免丢失，在上发一下，主要是备忘，有些表达不严谨请，见谅。
方法和模型图片来自引文:张静.杜剑平.蒋俊,基于球体模型的短波固定多站交叉定位选站方法[j].信息工程大学学报,2020,(1),9-14 26
再吐槽知网:下个论文收费3.5，表示理解；充值最小30，每次下载都要收一遍，手机app上藏得老深了，我就想要张图，有这功夫自己都画出来了。
另外，电脑没在身边，手机码字，写公式不易，转发引用请注明出处。
计算模型
当目标与侧向站不在同一平面时，侧向交叉定位必须考虑地球曲率的影响，将地球看成球体，半径,考虑到侧向误差远大于地球椭球偏心率影响，简化计算把地球看成正球。此时，侧向交叉定位如图1所示。
图1 基于球体模型的侧向交叉定位示意图
图中为辐射源;,为侧向站，为对的侧向角真实值，为测量值。
为便于描述观察模型，建立以球形为原点的空间大地坐标系，用纬度，经度和大地高来表示空间位置，如图2所示。
图2 空间大地坐标系示意图
在空间大地坐标系中，的坐标为,两点与北极点形成球面三角形，以表示球面三角形大圆弧，以球面角表示球面三角形中的三个角,则由球面三角形的余切定理可得: (1)
由经纬度的定义可知:
(2)
由侧向角的定义可知:
(3)
求解过程
将式(2)(3)代入(1)得:
(4)
即:
(5)
和差化积:
(6)
令已知数: (7)
令未知数: (8)
将(7)(8)代入(6)简化后得:
(9)
令已知数:
(10)
将(10)代入(9)简化后:
(11)
已知两个侧向站的坐标和基本三角公式可联立方程组:
(12)
令已知数:
(13)
如果,辐射源经度为0或180度，或者3点在同一经线圆上。
得到2组经度解:
(14)
令已知数:
(15)
由(14)代入可知B有2个值，已知数，也可以使用1号或者2号侧向站代入计算，避免,如果,代表在两极。
得到2组纬度解:
(16)
对应每个有2个解，共4组解。
分别对使用atan2函数计算经纬度得到4组经纬度坐标，其中两组纬度坐标不在范围内，剔除后得到两组坐标，是球面上的过心对称点。
是用Haversin函数，分别求两个侧向站到两组坐标的距离，得到4个值，其中最小值就是目标点到其中一个站的最小距离，对应的坐标就是最终目标点的坐标。
Python 测试代码
import numpy as np
import math
def get_lmn(s):
lon,lat,az = s
a,b,c,d,e,f = np.sin(lon),np.cos(lon),np.sin(lat),np.cos(lat),np.sin(az),np.cos(az)
return (e*d,e*c*b-f*a,e*c*a+f*b)
def cov2cood(sincos):
claCoord = lambda scsc:(math.atan2(scsc[2],scsc[3]),math.atan2(scsc[0],scsc[1]))
result = [claCoord(sincos[0]),claCoord(sincos[1]),claCoord(sincos[2]),claCoord(sincos[3])]
return np.rad2deg(result)
#在s点在p1,p2 的连线上，没有处理
def cross_location(s1,s2):
'''
目标点为S(xlon,xlat)
点P(lon,lat,az)与S的关系(1)
(1):sin(az)/cos(az) = cos(xlat)sin(xlon-lon)/[cos(lat)sin(xlat)-sin(lat)cos(xlat)cos(xlon-lon)]
令x,y,u,v = sin(xlon),cos(xlon),sin(xlat),cos(xlat)
(1)可将简化为(2):l*u=m*vy+n*vx
两点分别带入(2),得到2个方程
加上(3):u^2+v^2=1，(4):x^2+y^2=1,共4个方程形成的4元2次方程组
令 a = (l1*n2-l2*n1)/(l2*m1-l1*m2)
x=±√(1/(a^2+1)),y=ax
令 b = (m1*y+n1*x)/l2,换成m2,n2,l2也可以
v=±√(1/(b^2+1)),u=bv
得到4组(x,y,u,v)
换算成经纬角(arctan2(x,y),arctan2(u,v)) =>(xlon,xlat)
排除xlat < -pi/2 ,或 xlat > pi/2 ,只剩两组坐标
这两个点是过心对称点
'''
s1 = np.deg2rad(s1)
s2 = np.deg2rad(s2)
l1,m1,n1 = get_lmn(s1)
l2,m2,n2= get_lmn(s2)
if (l2*m1-l1*m2) != 0:
A = (l1*n2-l2*n1)/(l2*m1-l1*m2)
X = np.array([np.sqrt(1/(A**2+1)),-np.sqrt(1/(A**2+1))])
Y = A * X
else:
X = np.array([0,0])
Y = np.array([1,-1])
#防止除0错误
if l1!=0 or l2!=0:
L,M,N = l1,m1,n1
if l1 == 0:
L,M,N = l2,m2,n2
calb = lambda x,y:(M*y+N*x)/L
b0 = calb(X[0],Y[0])
b1 = calb(X[1],Y[1])
V0 = np.array([np.sqrt(1/(b0**2+1)),-np.sqrt(1/(b0**2+1))])
U0 = V0*b0
V1 = np.array([np.sqrt(1/(b1**2+1)),-np.sqrt(1/(b1**2+1))])
U1 = V1*b1
else:
# cos(lat)不会为0 ，不然就az就没有意义只有 sin(az)==0 即az均为 =0 或 180，指向极点
U0=[1,1]
U1=[-1,1]
V0=[0,-0.1]
V1=[0,-0.1]
result = [(U0[0],V0[0],X[0],Y[0]),(U0[1],V0[1],X[0],Y[0]),(U1[0],V1[0],X[1],Y[1]),(U1[1],V1[1],X[1],Y[1])]
result = cov2cood(result)
frsl = []
for i in range(4):
lat = result[i][1]
if lat>= -90 and lat <=90:
frsl.append(result[i])
return np.array(frsl)
def distance_haversine(p1,p2,r=1):
'''
hav(x) = sin(x/2)^2 = (1-cos(x))/2
a(alpha) 两点过心角
hav(a) = hav(lat1-lat2)+cos(lat1)*cos(lat2)*hav(lon1-lon2)
input:
p1:[lon,lat] in degree
p2:[lon,lat] in degree
r:球半径
return:球面距离
'''
p1=np.deg2rad(p1)
p2=np.deg2rad(p2)
hav_lon = math.sin((p1[0]-p2[0])/2)**2
hav_lat = math.sin((p1[1]-p2[1])/2)**2
hav_a = hav_lat + math.cos(p1[1])*math.cos(p2[1])*hav_lon
a = 2*math.atan2(math.sqrt(hav_a),math.sqrt(1-hav_a))
return a*r
def distance_greate_circle(p1,p2,r=1):
'''
使用弦长计算角,求弧长
'''
dpp = distance_chord_line(p1,p2)
#余弦定理求角
a = math.acos((2-dpp**2)/2)
return r*a
def distance_chord_line(p1,p2,r=1):
'''
计算弦长
x= cos(lat)sin(lon)
y= cos(lat)cos(lon)
z= sin(lat)
'''
to_xyz = lambda lon,lat:(math.cos(lat)*math.sin(lon),math.cos(lat)*math.cos(lon),math.sin(lat))
p1=np.deg2rad(p1)
p2=np.deg2rad(p2)
p1 = to_xyz(p1[0],p1[1])
p2 = to_xyz(p2[0],p2[1])
d = (p1[0]-p2[0])**2+(p1[1]-p2[1])**2+(p1[2]-p2[2])**2
d = math.sqrt(d)
return r*d
def pick_nearest_root(s1,s2,roots):
'''
选出离侧向站最近的点
'''
nroot = len(roots)
adist = []
for i in range(nroot):
adist.append(distance_chord_line(s1,roots[i]))
adist.append(distance_chord_line(s2,roots[i]))
minv = math.pi*2
min_i = 0
for i in range(len(adist)) :
if minv > adist[i] :
minv = adist[i]
min_i = i
return roots[min_i//2]
def cross_location_nearest(s1,s2):
roots = cross_location(s1,s2)
return pick_nearest_root(s1[:2],s2[:2],roots)
if __name__ == "__main__":
s1,s2 = [61.1,32.2,120],[52,28.1,33]
print("s1[lon,lat,az] ---------------------------\n",s1)
print("s2[lon,lat,az] ---------------------------\n",s2)
locs = cross_location(s1,s2)
print("roots of equation set[lon,lat] -----------\n",locs)
loc=cross_location_nearest(s1,s2)
print("nearest loaction[lon,lat] ----------------\n",loc)
print("dist to s1 ---------------------------\n",distance_haversine(s1[:2],loc))
print("dist to s2 ---------------------------\n",distance_haversine(s2[:2],loc))