NOIP2023模拟9联测30-高爸

$\text{Shintaro}$ 有 $n$ 条龙。 第 $i$ 条龙的力量值是 $x_i$。现在 $\text{Shintaro}$ 想与这些龙交朋友。

$\text{Shintaro}$ 会使用以下两种魔法来平衡龙的力量值（使某些龙的力量值相等），以免与他交朋友的龙互相打架。

强化魔法：消耗 $a$ 点 mp，使某条龙的力量值增加 $1$ 点。

弱化魔法：消耗 $b$ 点 mp，使某条龙的力量值降低 $1$ 点。

在第 $i$ 次，$\text{Shintaro}$ 想与前 $i$ 条龙交朋友 $(1\le i\le n)$。我们有很多种使用魔法的方案，使前 $i$ 条龙力量值相等。请你找到消耗 mp 点数最小的方案，并输出 mp 点数。

$n\le 10^5$

1s/512MB

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考虑随便取一个力量值，然后将它减少 $1$，在它之上的力量值所贡献的代价只会变大，而且变大的幅度会越来越大；在它之下的力量值所贡献的代价只会变小，而且变小的幅度会越来越小。发现两边的代价函数都是下凸函数，所以总的代价也是下凸函数，可以三分解决。

实现上，开一个权值线段树，维护当前区间有多少个元素与总和。对于一个力量值，求出它前面与后面的元素大小和总和，就可以知道代价了。

三分最好使用类似于二分的写法，不然可能 TLE。

然后提供一个卡常的方法：权值线段树一般都是开了一个结构体，里面有各种变量，把它们单独拿出来开数组，不用结构体，这样可以快很多。原因可能是结构体内部变量会对齐，导致空间变大，从而寻址时间变多，常数变大。

这样就可以卡过去了，时间复杂度 $O(n{\log }^{2}V)$，$V$ 是值域，这里是 $10^9$。

#include
using namespace std;
#define ll long long
constexpr int N=1e5+1,Inf=1e9;
constexpr ll INF=2e18;
int n,cnt=1,A,B,a[N],ls[N*30],rs[N*30],sz[N*30];
ll sum[N*30];
void insert(int &rt,int l,int r,int x)
{
    if(!rt) rt=++cnt;
    if(l==r){
        sz[rt]++,sum[rt]+=x;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    if(x<=mid) insert(ls[rt],l,mid,x);
    else insert(rs[rt],mid+1,r,x);
    sz[rt]=sz[ls[rt]]+sz[rs[rt]];
    sum[rt]=sum[ls[rt]]+sum[rs[rt]];
}
pair<ll,int> querypre(int x)
{
    if(x<0) return make_pair(0,0);
    if(x>Inf) return make_pair(sum[1],sz[1]);
    int l=0,r=Inf,rt=1,Sz=0;
    ll Sum=0;
    while(l!=r){
        int mid=l+r>>1;
        if(sz[rs[rt]]&&x>mid) Sz+=sz[ls[rt]],Sum+=sum[ls[rt]],rt=rs[rt],l=mid+1;
        else rt=ls[rt],r=mid;
    }
    return make_pair(Sum+sum[rt],Sz+sz[rt]);
}
pair<ll,int> querynxt(int x)
{
    if(x<0) return make_pair(sum[1],sz[1]);
    if(x>Inf) return make_pair(0,0);
    int l=0,r=Inf,rt=1,Sz=0;
    ll Sum=0;
    while(l!=r){
        int mid=l+r>>1;
        if(sz[ls[rt]]&&x<=mid) rt=ls[rt],r=mid;
        else Sz+=sz[ls[rt]],Sum+=sum[ls[rt]],rt=rs[rt],l=mid+1;
    }
    return make_pair(Sum+sum[rt],Sz+sz[rt]);
}
ll F(ll x)
{
    if(x<0||x>Inf) return INF;
    auto pre=querypre(x-1),nxt=querypre(x);
    nxt.first=sum[1]-nxt.first;
    nxt.second=sz[1]-nxt.second;
    return (pre.second*x-pre.first)*A+(nxt.first-nxt.second*x)*B;
}
ll solve(int n)
{
    int rt=1,l=0,r=Inf,czn=l;
    insert(rt,0,Inf,a[n]);
    while(l<=r){
        int mid=l+r>>1;
        ll fmid=F(mid),fmid1=F(mid+1);
        if(fmid<fmid1) czn=mid,r=mid-1;
        else czn=mid+1,l=mid+1;
    }
    return F(czn);
}
int main()
{
    freopen("c.in","r",stdin);
    freopen("c.out","w",stdout);
    cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
    cin>>n>>A>>B;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<solve(i)<<"\n";
}