初探机器学习-梯度下降法求解最优值

什么是模型

只要是从事IT行业，想必都对机器学习有所耳闻。关于机器学习，我们平常听到最多的名词可能就是算法模型。那么，算法模型究竟是什么东西呢？

在回答这个问题之前，我们先来看一个简单的例子：

现在有一份这样的数据，只有两个字段

size,price
1,2
2,4
3,6
4,8
5,10
6,12

这个数据只有两个字段，一个是物品的大小，一个是物品的价格。现在老板给了一个需求，希望你可以开发出一个功能：给定一个物品的大小，就能得到这个物品的价格。

你瞄了一眼这份数据，心想这不太简单了，然后开始敲代码：

public int getPrice(int size) {
    return size * 2;
}

到这里，你其实已经得到了一个很简单的算法模型：price = size * 2。和平常机器学习不同的是，这份数据太简单了，简单到你瞄一眼就可以从数据中得出这个算法模型。你在脑子里完成了这个训练的过程。

现在我们来回答下什么是机器学习的模型：

在大部分机器学习的场景下，算法模型其实可以理解为一个函数（比如y=2x）。当然各种算法模型对应的函数远比上面介绍的price=size*2要来的复杂。很多机器学习算法的目的就是通过训练已有的数据，找出最符合数据规律的那个函数。

如何训练模型

上面我们已经了解到模型就是一个可以完成特定功能的函数。那么我们如何得到这个函数呢？

我们还是通过一个例子来了解一下这个过程。现在老板又搞来一份数据，让你通过这份数据，找出size和price的映射关系。

size,price
7,46
9,39
8,38
10,49
17,84
16,80
11,45
5,37
2,13
1,16

这时你可能会有点懵，这数据好像一时半会也看不出什么规律，更别提找什么映射关系了。这时要靠我们自己，已经很难出这份数据中训练出那个模型了。因此这时候就需要引入机器学习的相关知识。下面我们来看一下，针对这种线性回归的预测问题，最简单的模型训练方法是怎么进行的。

1、拟定假设函数

首先，我们的目标是找出可以很好拟合这份数据的函数，函数长什么样一开始我们是完全不知道的。因此一开始需要先定义一个假设函数。这个假设函数需要根据数据的分布情况去定义。我们可以简单绘制下上面这份数据的分布情况：

通过绘制数据点的分布情况，我们发现，这个数据可以用一个函数 y = wx + b 来表示。其中x表示数据的size，y表示数据的price。w和b目前都是未知的，随着w和b的变动，这条线的斜率也会发生变动。

现在确定下来假设函数为 y = wx + b ，我们下一步要做的就是在所有w和b的取值中，找出最能拟合这份数据的值。

2、损失函数和代价函数

确定了假设函数后，下一步要做的事情就是找出w和b的最优解。那么如何定义怎么样才算最优解呢？

这里需要引入两个概念：损失函数和代价函数。

首先是损失函数：
$$Loss(w,b)=|y_i-(w{x}_i+b)|$$
这个函数是一个二元一次方程式，xi和yi表示具体的数据，它的含义是指数据中某个点到这条直线的垂直距离，比如对于(7，46)这个点来说，它的损失值(误差值)可以这么理解：

为了更方便理解，我们可以假设b=2，k=2，那么这时候我们的假设函数为y=2x+2，此时(7,46)这个点的损失值为 46 -2 *7 + 2= 34。

现在我们知道了损失函数代表某个点的偏差值，那么代价函数其实就是将所有点的偏差值都累加起来，然后求平均。
$$Cost(w,b)=\frac{1}{2m}\sum _{i=0}^m(y_i-(w{x}_i+b){)}^2$$

上面的代价函数还是一个二元一次方程式。其中对 yi- (wxi +b)求平方是为了保证偏差结果为正。左边总偏差除以m是为了求平均，又多除了一个2是为了后面方便求导数。因为我们最终需要通过求导的方式来获得最优解。

到这里为止，我们得到了一个二元一次的代价函数Cost(w,b)，这里w和b可以为任意值，我们需要知道，当w和b的值分别为多少时，可以使这个函数达到最小值。因此问题就变成了数学中的求极值问题。对于如何求解一个函数的最大值或最小值，最常用的一个方法是对函数求导。

3、关于导数和偏导数

下面我们先来复习下关于导数的意义：

导数是当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f’（x0）或df（x0）/dx。

一时看不懂也没关系，我们只要记住一句话：导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率

上面这张图是y=x^2这条曲线，它的导函数为 y' = 2x 。那么它在(1,1) 这个点的求导值就是2，也就是这个点切线的斜率。

常见的求导公式：

到这里，可能大家就会问，知道一个点的斜率有什么用呢？答案是可以用来求最优解，当斜率为0时，我们可以认为达到了某段曲线的最大值或者最小值。

还是上面那幅图，我们发现，(0,0)的切线斜率为0，而该点也是整个曲线的最小值。

需要注意的是，切线斜率为0，只能说明是局部最优解，并不意味着是全局最优解。因为有些函数的曲线可能非常复杂，有多个坡的坡顶斜率都刚好为0（可以想象一下山峰）。

理解了导数之后，我们再来看偏导数。导数是对单个变量进行求导，而如果函数中有多个变量，则需要用上偏导数。偏导数其实将其他的变量当成常数，然后对某个变量求导。

比如偏导数 f’x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率。偏导数 f’y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。

上面的代价函数Cost(w,b)是一个二元一次方程，因此我们需要利用偏导数来求解最优值。

4、使用梯度下降法求解最优值

梯度下降法是用来求解函数最小值的。

我们以上面的图为例，假设一个人处于红色位置的山顶，那么该如何到达蓝色区域的山底呢。按照梯度下降法的思想，它大概会这么操作：

1、找到当前位置下降最快的方向

2、往下降最快的方向走一小步，到达新的位置

之后不断重复上面两个步骤，直到到达山坡最低点为止。

到这里你可能会发现，站到不同的初始位置，通过梯度下降法最终走到的最低点是不一样的。是的，因为上图不是标准的凸函数，所以往往不能找到全局的最小值，只能找到局部的最小值。所以我们可以使用不同的初始位置，来寻找更小的级小值点。

回到梯度下降算法上来，我们知道了算法的大致思路是往下降最快的方向走。那哪个方向才是下降最快的方向呢？这就需要结合导数的知识了。为了更方便理解，我们还是以二维坐标轴的方式展开。我们之前说了，导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。下面我们来观察下(-1,1) 和 (1,1) 这两个点的导数：

对于y=x^2这个曲线：

(-1,1)这个点的斜率为-2，此时下降最快的方向是右（也就是通过增加x的值可以达到最低点）

(1,1)这个点的斜率为2，此时下降最快的方向是左（也就是通过减少x的值可以达到最低点）

这里我们就可以得到一个结论，假设 f’(x0) 为某个点在曲线上的导数，那么 -f’(x0) 就是下降最快的方向。带着这个结论，我们来模拟下梯度下降法寻找最小值的过程：

设定初始值为x=2。函数为y=x^2，导函数为y=2x。为了让每一步试探的步伐不会太大，这里还需要引入一个步频（有些地方也叫学习率、或者叫步长），这里暂定步频为0.25

1、对x=2求导，得到导数值为4。也就是我们需要向左走 4 * 0.25 = 1 (步长 = 导数的负数 * 步频)。也就是 x=2-1，此时来到点 (1,1) 的位置

2、此时x=1，对其求导，得到导数值为2。此时需要向左走 2 * 0.25 = 0.5。也就是x=1-0.5，此时来到点(0.5,0.25)处

3、此时x=0.5，对其求导，得到导数值为1，此时需要向左走 1 * 0.25 = 0.25。也就是x = 0.5 - 0.25，此时来到点(0.25,0.0625)处

4、继续迭代…

这样不断迭代下去，我们会发现这样只能不断的逼近最低点（事实也是如此，通过梯度下降法我们只能获取一个无限接近最优解的值），而无法到达，因此我们需要给整个迭代设置一个终止条件。通过上面几步迭代我们可以看出，随着离最低点越来越近，每一步可以移动的距离会越来越小。因此我们可以设置是个阈值，比如当移动的步长小于某个值时，终止迭代。假设这个阈值为0.26，那么在我们的模拟迭代中，完成第三次之后迭代就结束了（第三次的步长为 0.25，刚好小于0.26）。不难想象，设置越低的阈值可以得到更接近最优解的值。

关于步频：

上面我们有引入一个步频的概念。那么引入这个概念的目的是什么呢。主要是为了防止每次移动的步长过大或者过小。

可以看到，步频如果过小，会导致迭代了很多次都离最低点很远。而步频较大或者过大，会导致迭代时反复在最低点的两边反复横条，永远无法到达最低点。甚至可能离最低点越来越远。因此步频的选择是一个技术活，需要根据经验和实际场景来调整。

接下来让我们将梯度下降法从二维平面扩展到三维图形上来，就可以用来求解我们前面提到的代价函数的最小值了。为了方便表达，我们将Cost(w,b) 的结果定义为z。
$$z=\frac{1}{2m}\sum _{i=0}^m(y_i-(w{x}_i+b){)}^2$$

这样，这个代价函数就是由w、b、z三个维度组成的三维空间了。它在三维空间生成的平台可能长这样：

现在我们要求z的最小值，这时候我们使用梯度下降法寻找下降最快的方向时就需要由w和b共同决定（比如对于w而言，需要确定是增加w的值还是减少w的值）。因此需要分别对w和b求他们的偏导函数，

首先w的偏导函数为：
$$\frac{\delta (z)}{\delta (w)}=\frac{1}{2m}\sum _{i=0}^{m}2\ast (y_i-(w{x}_i+b))\ast x_i$$
b的偏导函数为：
$$\frac{\delta (z)}{\delta (b)}=\frac{1}{2m}\sum _{i=0}^{m}2\ast (y_i-(w{x}_i+b))$$

想了解这两个偏导函数具体是如何推导出来的可以看这篇：https://zhuanlan.zhihu.com/p/36783863

知道这两个偏导函数之后，我们就可以开始使用梯度下降法寻找z的最小值了：

用代码实现也很简单：

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        //从数据文件读取数据
        //数据格式为(x和y用逗号隔开)
        //1,2
        //2,4
        //3,6
        final List<String> lines = FileUtils.readLines(new File("/tmp/test.data"));
        int[] x = new int[lines.size()];
        int[] y = new int[lines.size()];
        for (int i = 0; i < lines.size(); i++) {
            final String[] array = lines.get(i).split(",");
            x[i] = Integer.parseInt(array[0]);
            y[i] = Integer.parseInt(array[1]);
        }

        //给定一个最大的迭代次数，避免无限迭代下去
        int tryTimes = 0;
        //给定一个w和b的初始值
        double b = 10000;
        double w = 10000;
        //通过偏导函数求得下降的方向和距离
        double gradientForB = partialFunctionForB(x, y, b, w);
        double gradientForW = partialFunctionForW(x, y, b, w);
        //步频(学习率)
        double alpha = 0.01;
        while ((Math.abs(gradientForB) >= 0.000001 || Math.abs(gradientForW) >= 0.000001) && tryTimes < 1000000) {
            b = b - alpha * gradientForB;
            w = w - alpha * gradientForW;
            gradientForB = partialFunctionForB(x, y, b, w);
            gradientForW = partialFunctionForW(x, y, b, w);
            tryTimes++;
        }
        System.out.printf("function is : y = %.5f * x + %.5f\n", w, b);
        System.out.printf("iteration count:%d", tryTimes);
    }

    //假设函数
    public static double hypothesisFunction(int x, double b, double w) {
        return w * x + b;
    }

    //对b的偏导函数
    public static double partialFunctionForB(int[] x, int[] y, double b, double w) {
        double sum = 0;
        for (int i = 0; i < x.length; i++) {
            //求偏导函数
            sum += 2 * (hypothesisFunction(x[i], b, w) - y[i]);
        }
        return sum / 2 / x.length;
    }

    //对w的偏导函数
    public static double partialFunctionForW(int[] x, int[] y, double b, double w) {
        double sum = 0;
        for (int i = 0; i < x.length; i++) {
            sum += 2 * (hypothesisFunction(x[i], b, w) - y[i]) * x[i];
        }
        return sum / 2 / x.length;
    }

最后我们就得到了w和b的值，代入假设函数 y = wx + b ，就可以得到我们训练出的模型了。

5、回顾总结

最后我们再来回顾下整个模型的训练过程，总体可以分为3步走：

1、定义一个假设函数 y=wx+b

2、为了找到最能拟合现有数据的w和b，我们定义了代价函数 Cost(w,b) ，这一步的目标是求解代价函数的最小值

3、通过梯度下降法求解代价函数的最优解

其实大部分的机器学习算法的训练模型的过程都可以分成这3个阶段。不同的，他们的假设函数和代价函数非常复杂。比如上面我们定义的y=wx+b只能模拟一个直线，如果要模拟稍微复杂些的曲线，假设函数可能会变成：
$$y={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+{\theta }_3{x}_3+...+{\theta }_n{x}_n$$
这里面有n个变量需要求解，代价函数也会复杂很多（不过依然可以用梯度下降法求解）。

另外，对于求解代价函数的最优解也并非只有梯度下降法这个一个方法，还有很多不同的方法。感兴趣的可以自己去了解。

三、衡量一个模型的好坏

模型验证

当一个模型开发出来后，我们需要来验证它的好坏。不同的场景有不同的验证标准，比如对于线性回归问题，我们通常采用均方差和方根均方差来衡量（也就是损失函数），而对于逻辑回归或分类问题一般采用准确率和召回率的指标。

我们希望模型做的事情就是预测数据，因此模型好坏程度说白了就是这个模型对于新数据的预测准确程度。

当我们拥有大量数据时（比如多于1w条），直接简单的将数据集分为训练集和测试集就可以了。训练集用来训练模型，测试集用于验证模型的好坏。当手中的数据较少，一般就需要使用交叉验证，常用的交叉验证方法也有多种。

1、简单交叉验证

随机将样本分为两部分（比如70%的训练集和30%的测试集），然后用训练集来训练模型，在测试集上验证模型及参数。之后将样本打乱，重新选择训练集和测试集，继续训练模型以及验证模型。多次之后选择最优的模型和参数。

2、K 折交叉验证

将样本划分为K组，每次随机选择K-1份作为训练集，剩下一份作为测试集。一轮完成之后，重新随机选择K-1份来训练数据，若干轮后(小于等于K)，选择最优的那个模型和参数。

3、留一交叉验证

这种是属于K折交叉验证的特例，如果样本数量非常小（比如小于50），比如样本数量是N。就可以将N-1拿来作为训练数据，剩下的一条作为测试数据以验证模型的好坏。并将此步骤重复N次。最后得到效果最好的那个模型。这种验证方法一般用于样本数量非常少的情况下。

过拟合

在机器学习领域，有个词叫做过拟合，大家可能都有听过。它表示我们训练出来的模型对训练集上的数据有非常好的拟合效果，但是对于测试集的数据却无法很好的工作。字面意思其实很简单，在实际做模型训练时，我们一般都要尽量避免过拟合的情况。

但是大家有没有想过，为什么会有这样的情况？明明我把训练集的数据都拟合的非常好了，由说我不好呢。

我们可以通过一个例子来了解一下这个问题：

上面这张图中3个曲线拿来训练的数据都是一样的，但是训练出来的模型缺相差甚远。其实主要是由于最初定义的假设函数不一样。

对于第一个曲线，它定义的假设函数和我们之前举的例子是一样的：
$$y={\theta }_0+{\theta }_{1}x$$

很明显，它无法很好的拟合训练集的数据，更别提之后去预测新的数据了。因此它是欠拟合的。

对于第二个曲线，他的假设函数比第一个稍微复杂了一点（它需要确定3个参数）
$$y={\theta }_0+{\theta }_{1}x+{\theta }_2{x}^2$$
可以看出，最终它训练出来的模型基本可以吻合训练数据(有些许偏差)，同时根据我们对这5个点数据的分布观察，将来有新的数据，它应该也能比较好的拟合。因此这个模型在我们看来是刚好拟合的。

最后一个曲线，它的假设函数就复杂了很多，需要确定的参数直接达到了5个：
$$y={\theta }_0+{\theta }_{1}x+{\theta }_2{x}^2+{\theta }_3{x}^3+{\theta }_4{x}^4$$
然后我们来看一下它训练出来的模型，几乎完美吻合训练集上的每一个点（比第二个曲线拟合的更好）。但是很明显，对于未来新的数据它大概率无法很好的拟合。这种现象就是过拟合。

大家可以思考下为什么会有这样的情况。

究其原因，主要还是因为第三个曲线的模型太过复杂了。根据奥卡姆剃刀原则，simple is more。模型应该是越简单越好，复杂的模型可能会导致泛化能力变低（当然，在简单的同时，也要保证能很好的拟合数据，比如上面的第一个模型，就足够简单，但是无法很好的工作）。因此，在机器学习任务中，应该尽量减少模型的复杂度来降低过拟合的风险。

在了解了过拟合问题的根因后，我们可能会想，该如何解决过拟合问题呢？大家可能会想，过拟合既然是由于模型太过复杂造成的，那么我们在训练模型时尽量让假设函数简单些不就得了。但这样又引入一个新的问题，太过简单的假设函数无法很好的拟合数据，也就是欠拟合，该怎么办？

针对这个问题，机器学习的大佬们也给出了相应的解决方案：正则化。

首先我们还是先给出假设函数（为了方便后面解释，这里我们用h来代替y，表示这个假设函数）：
$$h({\theta }_0,{\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3,{\theta }_4)={\theta }_0+{\theta }_{1}x+{\theta }_2{x}^2+{\theta }_3{x}^3+{\theta }_j{x}^4$$

这个假设函数复杂些也没有关系，关键在于代价函数，再引入正则化之后，代价函数会变成：
$$Cost({\theta }_0,{\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3,{\theta }_4)=\frac{1}{2m}[\sum _{i=0}^m(y_i-h({\theta }_0,{\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3,{\theta }_4){)}^2+\lambda \sum _{j=1}^4{\theta }_j^2]$$

和之前的代价函数不同的是，这里多了正则项：
$$\lambda \sum _{j=1}^4{\theta }_j^2$$

λ为正则化参数，是为了平衡代价函数。需要选择合适的值。后面是将θ1、θ2、θ3、θ4的值累加起来（注意这里没有θ0，因为θ0对应的是x的0次方，不会引起模型的复杂化），然后和λ相乘。

有了这个正则项之后，在计算代价函数的最小值时，各个θ的取值就会影响结果。一般而言，自然是各个θ的值越接近0就越好。所以正则项也可以理解为惩罚项，各个θ越大，它的惩罚力度就越大。

如果我们用带正则项的代价函数去训练模型，最后可能会发现训练出来的θ3、θ4等于0，最终得到的模型刚和曲线2的一致：
$$y={\theta }_0+{\theta }_{1}x+{\theta }_2{x}^2$$
因此，通过正则化，即使我们一开始给定了一个比较复杂的假设函数，依旧可以避免过拟合的现象，训练出一个比较好的模型出来。