LeetCode-70. 爬楼梯 C/C++实现 超详细思路及过程[E]

题目描述

70. 爬楼梯
难度：简单
相关标签：记忆化搜索、数学、动态规划

提示
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

运行示例
示例 1：
输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
方法1：1 阶 + 1 阶
方法2：2 阶
示例 2：
输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
方法1：1 阶 + 1 阶 + 1 阶
方法2：1 阶 + 2 阶
方法3：2 阶 + 1 阶

提示
1 <= n <= 45

题目分析与实现

这道题可以通过数学计算的方式得到，但博主我数学不及格，就不在这分析什么数学方法了。那还有什么方法可以解决这道题呢？感觉又是一道线性dp问题（线性动态规划问题）。为什么这么说呢？因为当n=3时，此时的爬楼梯的方法数决定于n=2和n=1的方法数。出现后一项依赖于前几项的情况时，这就很可能是一道动态规划问题。

如果是一道动态规划问题，我们就能列出状态转移方程（听起来很高大上，其实跟数学里的递推公式或者找规律时使用的公式很类似）并确定初始状态。

首先列出初始状态，这里的初始状态就是n=1和n=2的情况，为什么是这两种情况？？因为后续要计算n=3，n=4…时，必须要先知道n=1和n=2的情况。由题目分析可知，n=1时，爬楼梯方法只有1种（跨一个台阶就到楼顶了）；n=2时，爬楼梯的方法数有2种，即跨2阶到楼顶或者跨1阶再跨1阶到楼顶。

下面我们就可以开始列状态转移方程了！我们知道，到n的方法有两种情况，一种是从n-1个台阶跨1阶到达的，一种是从n-2个台阶跨2阶到达的。也就是F_n=F_n-1+F_n-2。

下面开始实现我们的代码：
C语言

int climbStairs(int n){
	//当n=1时，如果执行dp[1]=2的语句会报错（数组下标越界）
    if(n == 1)
        return 1;
    int* dp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
    //初始状态
    dp[0] = 1;
    dp[1] = 2;
    for(int i = 2; i < n; i++)
    	//状态转移方程
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    return dp[n - 1];
}

C++

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
    	//当n=1时，如果执行dp[1]=2的语句会报错（数组下标越界）
        if(n == 1)
            return 1;
        vector<int>dp(n);
        //初始状态
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 2;
        for(int i = 2; i < n; i++)
        	//状态转移方程
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        return dp[n-1];
    }
};

这个算法时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。我们可以使用滚动数组的方式优化空间复杂度，可以参考之间文章746. 使用最小花费爬楼梯。

还有个可以实现上述算法的方式递归法。但是这个方法在n过大的时候会超时，我们大概看看递归法的实现就可以了，这里不详细描述。
C语言

int climbStairs(int n){
    if(n == 1)
        return 1;
    else if(n == 2)
        return 2;
    else
        return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
}

C++

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(n == 1)
            return 1;
        else if(n == 2)
            return 2;
        else
            return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
    }
};

上面就是今天分享的所有内容啦！下一文章见！
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