MIT-18.06-线性代数（第十讲）

第十讲 —— 四个基本子空间

本讲将讲解矩阵的四个基本子空间（subspace）。研究四个子空间及其关系是线性代数的核心内容。

四个基本子空间

是矩阵，有

• 列空间 Column space ，是的子空间
• 零空间 Null space ，是的子空间
• 行空间 Row space ，是的子空间
• 左零空间 Left null space ，是的子空间

基和维度

• 列空间，它的一组基就是主列，维数是秩。

• 零空间，它的一组基就是其特解，维数是。

• 行空间，行空间与列空间有相同的维数，也是。
  举例矩阵 ——> ——> ——> ，化简后，，列空间发生变化，而行变换不会对行空间产生影响。行空间的一组基，无论对还是对来说，都是行最简形式的前行。进一步思考，为什么的各行都是这个基的线性组合，通过各行消元的逆操作，可以从倒推回，因此各行是各行的线性组合，反之亦然。它们的行空间相同，它们的基也相同。行空间在行最简形式中以最佳形式表现出来。

• 左零空间，维数是。
  如果有，那么向量就在的零空间中。进行转置，有，即以对进行左乘，这也是把其称作左零空间的原因。采用高斯-若尔当（Gauss-Jordan）方法， ——> ，设消元矩阵为，则有。而对于矩阵这个例子，基于上面的变换，可得，即。通过，可求左零空间的维数和基。根据左零空间的维数，即，得到左零空间是一维的。存在一个线性组合使这三行的结果为零行，这个线性组合可以确定左零空间的基。左零空间的基只有一个向量，它就在的最后一行，即。

新向量空间

新向量空间 (new vector space) ，叫作所有的矩阵，把矩阵看作向量，每个矩阵都是一个“向量”。的子空间包括：所有的上三角矩阵，所有的对称矩阵，所有的对角矩阵。
对角矩阵子空间是前两者的交集，其维数为3，一组基为。