高中奥数 2022-03-17

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P056 习题05）

若,求证:

证明

设,,则.故

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P056 习题06）

设实数、满足,求证:,并确定等号成立的条件.一般地,对任意实数、,求证:

证明

(1)设,,则.因此不等式右端左边,故不等式成立,且当时等号才成立.

(2)当时,由于,结论仍成立.此时等号成立,仅当;

当时,,故不等式右端,所以不等式也成立,此时等号当或时取到.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P056 习题07）

设,,求证:

证明

令,,则原不等式等价于

即.

上式等价于.

注意,故此式成立,原不等式得证.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P056 习题08）

已知、、、、为正数,且.求证:

证明

令,,,,,,则等式等价于

两边同加5,再乘以3,上式等价于

利用Cauchy不等式,上式是显然的.