反码加法循环进位与补码加法的理解

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反码与补码的加法，从大一的时候学大学计算机基础，就很迷，逻辑上总是不能说服自己。最近自学计算机组成原理，又碰到这个问题。看到书中的一句话，突然豁然开朗，摘录如下：

"我常说：当你能衡量你正在谈论的东西并能用数字加又表达时，你才真的对它有了充分子解；而当你还不能衡量，也不能用数字表达时，你的了解就是肤浅的和不能令人满意的。尽管了解也许是认知的开始，但在思想上很难说你已经进入了科学的阶段。" -- Lord Kelvin

理解这个问题，首先引入位置表示法的定义：

位置表示法的定义

• 一个 位的整数 会按下面的形式书写：

  • 其中 是与基数 的幂相乘的系数，即有下式成立

  • 对于负数，则会在其前面加上负号 ，即

  • 对于二进制，则

    • 例：十进制数 ， 表示为 位二制数分别为： ，

• 人们一般习惯在位置码上进行运算，但计算机不习惯，而且计算机底层不可能用负号来表示负数，更不可能让负号参与运算，因此引入了原码，反码和补码的概念

原码的定义

• 原码的定义主要是为了引入符号位

• 此时设一个位的二进制数， 其按位置表示法为，则其原码定义如下：

  • 对于用位二进制表示的 来说，其原码计算为

  • 需要注意的是，位置表示法中的负号也会参与运算

反码的定义

• 反码的定义如下：

  • 对于用位二进制表示的 来说，其反码计算为

补码的定义

• 补码的定义如下：

  • 对于用位二进制表示的 来说，其补码计算为

反码加法的循环进位推导

• 设有两个位的二进制数， 其按位置表示法分别为
  则其反码运算为 ，为了取得与位置表示法运算等效的结果，需要满足下式

  • 依据此式，即可进行分类讨论

1. , 此时 (1) 式中左右两边显然成立
2. 异号，此时：

• 若 ， 则
  • 此时 (2) 式会溢出，舍去其最高位（相当于减去）， 再加上，即可得到对应的结果，跟循环进位的操作匹配
• 若 , 则 ，与 (2) 式对应
  • 由于 ，此时(2) 式不会产生进位

3. ， 此时有

而

• 此时(4)式会溢出，将(4)式加 再舍掉进位 ，即可得到(3)式中的结果

综合 1， 2， 3 即可得到反码加法的循环进位规则

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• 补码加法与原码加法的推导基本相同，可得出补码加法与位置表示法的加法相同
• 虽然推导时是按加法，但是由于 没有预设符号，所以易证对减法也等效
• 按照相同的推导方法，也可以得出用原码加减法时，负数符号位会参与运算，从而很难与原位置表示法的加减法对应起来

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