Day44｜动态规划part06：完全背包、518. 零钱兑换II、377. 组合总和IV
完全背包理论基础
视频链接：带你学透完全背包问题！ (opens new window)
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。
同样leetcode上没有纯完全背包问题，都是需要完全背包的各种应用，需要转化成完全背包问题，所以我这里还是以纯完全背包问题进行讲解理论和原理。
在下面的讲解中，我依然举这个例子：
背包最大重量为4。
物品为：
重量 价值
物品0 1 15
物品1 3 20
物品2 4 30
每件商品都有无限个！
问背包能背的物品最大价值是多少？
01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上，所以本文就不去做动规五部曲了，我们直接针对遍历顺序经行分析！
对于01背包，遍历的顺序如下：
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。
而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：
// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
为什么遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环？
01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。
在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！
因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。
不过谁在前在后，最后出答案的顺序都是这样的：
完整的C++测试代码如下：
// 先遍历物品，在遍历背包
void test_CompletePack() {
vector weight = {1, 3, 4};
vector value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
vector dp(bagWeight + 1, 0);
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_CompletePack();
}
518.零钱兑换II
leetcode链接：力扣题目链接(opens new window)
视频链接：装满背包有多少种方法？组合与排列有讲究！| LeetCode：518.零钱兑换II
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。
请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。
假设每一种面额的硬币有无限个。
题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。
示例 1：
输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
示例 2：
输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。
示例 3：
输入：amount = 10, coins = [10]
输出：1
本题就是完全背包变体，零钱就是物品，金额就是value，总重量就是amount，也就是value的总和。
动规五部曲
- 确定DP数组下标及其含义
dp[j]表示amount为j时所凑零钱的方法的总数。
- 确定递推公式
dp[j] += dp[j - coins[i]]；
也就是遍历到coins[i]时，去找没有这个coins[i]是的总数，这样加上coins[i]时就是当前amount的总数了。
- dp数组的初始化
dp[0] = 1；因为当amount为0时，什么都不取也是一种方法。
- 确定遍历顺序
先遍历物品（硬币），再遍历背包（amount）,背包从前往后遍历。
本题不能跟完全背包一样两种顺序都可以，因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！
而本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序。
我们先来看 外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。
代码如下：
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。
那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。
所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！
如果把两个for交换顺序，代码如下：
for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。
此时dp[j]里算出来的就是排列数！
这题选择的应该是组合数。
- 模拟打印dp数组
最终代码如下：
class Solution {
public:
int change(int amount, vector<int>& coins) {
vector<int> dp(amount + 1, 0);
dp[0] = 1;
for(int i = 0; i < coins.size(); i++){
for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
return dp[amount];
}
};
377. 组合总数IV
leetcode链接：力扣题目链接
视频链接：装满背包有几种方法？求排列数？| LeetCode：377.组合总和IV
给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。
题目数据保证答案符合 32 位整数范围。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。
示例 2：
输入：nums = [9], target = 3
输出：0
- 确定dp数组下标及其含义
dp[j]表示和为j时的组合种数
- 确定递推公式
跟上题找零钱一样，dp[j] += dp[j - nums[i]]
- dp数组的初始化
这里将dp[0]初始化为1，其实按照实际逻辑来说是说不通的，其实没有意义，所以我也不去强行解释它的意义了，因为题目中也说了：给定目标值是正整数！ 所以dp[0] = 1是没有意义的，仅仅是为了推导递推公式。
dp[0] = 1
- 遍历顺序
上题是组合，元素没有顺序，而这题是排列，元素有顺序，因此应该先遍历背包（amout）再遍历物品（nums）
- 打印dp数组
最终代码：
class Solution {
public:
int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
vector<int> dp(target + 1, 0);
dp[0] = 1;
for(int j = 0; j <= target; j++){
for(int i = 0; i < nums.size(); i++){
if(j - nums[i] >= 0 && dp[j] < INT_MAX - dp[j- nums[i]]){
dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
}
return dp[target];
}
};
这里要添加dp[j] < INT_MAX - dp[j- nums[i]的条件，因为C++测试用例有两个数相加超过int的数据，所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。
总结
- 完全背包元素可以重复选，因此也不需要考虑前后顺序遍历的问题；
- for循环内外的顺序关系到元素是组合还是排序的问题；