【学习笔记】[集训队互测 2021] 数列重排

考虑怎么计算 f ( x ) f(x) f(x)

首先,区间 mex ≥ k \text{mex}\ge k mexk等价于 0 ∼ k − 1 0\sim k-1 0k1都在区间中出现过。只考虑 < k <k的数,因此任意数的出现次数相差不超过 1 1 1,因此存在方案排列这些数,使得对于任意长度为 k k k的子区间的 mex \text{mex} mex k k k,进而对于任意长度 ≥ k \ge k k的子区间都满足条件。

现在考虑插入 ≥ k \ge k k的数。你发现不是很好算,但是可以转化成计算插入一个数对答案的增量。具体的,每次可以看成是在长度为 k k k mex \text{mex} mex k k k的子区间前面插入一个数,设这个数前面已经插入了 x i x_i xi个数,插入前序列总长度为 l e n len len,那么答案为:

△ = l e n − 2 ( k − 1 ) − x i \triangle =len-2(k-1)-x_i =len2(k1)xi

然后令 x i x_i xi增加 1 1 1

现在我们考虑在两端插入数的情况。此时答案为:

△ = l e n − ( k − 1 ) − x i \triangle =len-(k-1)-x_i =len(k1)xi

因此,排除掉前面那部分固定的贡献,初始将两端的 x i : = k − 1 x_i:=k-1 xi:=k1,其余的置为 0 0 0,我们可以将问题抽象成:每次选择一个数 x i x_i xi,令答案加上 x i x_i xi,然后 x i x_i xi减少 1 1 1

暴力计算即可。复杂度 O ( m ) O(m) O(m)

remark \text{remark} remark 对于这种纯贪心的题目,大胆猜结论。大多数情况下这样做都是对的,细节留到最后考虑。

其实还有几道纯贪心的题目:

CF887F Row of Models

CF1806F2 GCD Master (hard version)

CF1891E Brukhovich and Exams(第一次ak div2)

反正我的感觉是结论基本都猜得到,但是有些细节考虑不到。比如GCD Master那道题就没有想到对于相同的数怎么处理。

#include
#define ll long long
#define pb push_back
#define inf 0x3f3f3f3f
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int mod=998244353;
const int N=1e7+5;
int m,l,r,X;
ll sm[N],ans;
string str;
ll calc(ll l,ll r){
    l%=mod,r%=mod;
    return (r+l)*(r-l+1)%mod*(mod+1>>1)%mod;
}
void add(ll &x,ll y){
    x=(x+y)%mod;
} 
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>m>>l>>r>>X>>str;
    for(int i=1;i<=m;i++)sm[i]=sm[i-1]+X+str[i-1]-'0';
    if(l==0){
        ll x=sm[m]%mod;
        ll y=x*(x+1)%mod*(mod+1>>1)%mod;
        ans=y;
    }
    ll mul=1;int mi=X+1;
    for(int i=1;i<=r;i++){
        mul=mul*233%mod;
        if(str[i-1]=='0')mi=X;
        if(i>=l){
            ll len=sm[i],x=sm[m]-sm[i],res=0;
            add(res,calc(1,len-i+1));
            add(res,calc(len,len+x-1));
            add(res,-2*(i-1)*x);
            if(x<=2*(i-1)){
                ll a=x/2,b=x%2;
                add(res,2*calc(i-a,i-1));
                add(res,b*(i-1-a));
            }
            else{
                x-=2*(i-1);
                ll a=x/(mi+1),b=x%(mi+1);
                add(res,2*calc(1,i-1));
                add(res,-calc(1,a-1)*(mi+1));
                add(res,-a*b);
            }
            res=res*mul%mod;
            res=(res+mod)%mod;
            ans^=res;
        }
    }cout<<ans;
}

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