Leetcode 剑指 Offer II 051. 二叉树中的最大路径和

题目难度: 困难

原题链接

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题目描述

路径 被定义为一条从树中任意节点出发，沿父节点-子节点连接，达到任意节点的序列。同一个节点在一条路径序列中 至多出现一次 。该路径 至少包含一个 节点，且不一定经过根节点。

路径和 是路径中各节点值的总和。

给定一个二叉树的根节点 root ，返回其 最大路径和，即所有路径上节点值之和的最大值。

示例 1：

• 输入：root = [1,2,3]
• 输出：6
• 解释：最优路径是 2 -> 1 -> 3 ，路径和为 2 + 1 + 3 = 6

示例 2：

• 输入：root = [-10,9,20,null,null,15,7]
• 输出：42
• 解释：最优路径是 15 -> 20 -> 7 ，路径和为 15 + 20 + 7 = 42

提示：

• 树中节点数目范围是 [1, 3 * 10^4]
• -1000 <= Node.val <= 1000

题目思考

1. 最大路径和可能有哪些情况?

解决方案

思路

• 根据题目描述, 最大路径和无外乎两种情况: 1) 经过根节点; 2) 不经过根节点
• 我们先来考虑经过根节点的情况, 这里又包含几种可能性:
  1. 只包含根节点自身 (左右子树的路径和都是负值时)
  2. 左子树<->根
  3. 右子树<->根
  4. 左子树<->根<->右子树
• 以上几种情况的最大值, 就是经过根节点的最大路径和
• 而对于不经过根节点的情况, 它一定会经过某个子树的根节点, 这样就可以同样利用刚才的分析了
• 具体实现时, 我们可以利用 DFS, 传入当前节点, 然后返回以当前节点为根的子树的单向最大路径和 (也就是除了情况 4)
• 这样在处理它的父节点时, 就可以利用得到的返回值, 计算以父节点为根的子树的单向最大路径和了
• 这样一直递归下去, 就可以得到情况 1~3 的所有可能路径的最大值了
• 上面之所以返回子树的单向最大路径和, 而不包含情况 4, 是因为那样的话, 父节点就不能利用子节点的返回值来计算了, 以题目的示例 2 为例:
  • 对于节点 20 所在的子树, 其情况 4 对应的路径是 15<->20<->7
  • 如果我们的返回值也考虑它, 那么在处理节点-10 时, 它的右子树对应的最大路径就是 15<->20<->7
  • 但该路径不能再加上节点-10 了, 因为那样会违反题目的要求: 同一个节点在一条路径序列中至多出现一次
• 所以子树返回的路径只能是单向路径, 不能是情况 4 那样, 穿过子树根节点
• 由于返回值只考虑了前三种情况, 所以我们需要额外维护一个全局最大路径和, 然后在遍历某个节点时, 将其对应的情况 4 也考虑进去, 这样最终遍历完成时, 那个全局最大路径和即为所求
• 下面代码中有详细的注释, 方便大家理解

复杂度

• 时间复杂度 O(N): 每个节点只会被遍历一次
• 空间复杂度 O(H): 递归调用最多使用 O(H) 栈空间, H 是树的高度

代码

class Solution:
    def maxPathSum(self, root: TreeNode) -> int:
        gmx = -float("inf")

        def getSinglePathMaxSum(node):
            # 返回以node为根的子树的单向路径最大和
            nonlocal gmx
            if not node:
                return -float("inf")
            # lmx和rmx分别是左右子树的单向路径最大和
            lmx = getSinglePathMaxSum(node.left)
            rmx = getSinglePathMaxSum(node.right)
            # 求当前节点单向路径最大和, 注意它可能只包含当前节点自身 (例如左右子树路径和都是负数的情况)
            # 注意单向路径不包含左子树+根+右子树的情况!!!
            mx = max(node.val, lmx + node.val, rmx + node.val)
            # 更新全局路径最大和gmx, 这里需要额外考虑左子树+根+右子树的路径
            gmx = max(gmx, mx, lmx + rmx + node.val)
            return mx

        getSinglePathMaxSum(root)
        return gmx

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