复合函数的极限与连续

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复合函数的极限运算法则

复合函数的连续性

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大背景：复合函数极限的运算法则这一节中，着重介绍的是函数极限的运算，故在这节中考虑的是函数极限的存在，并没有去涉及到后面所讲到的复合函数的连续性。

复合函数的极限运算法则

解释

简单总结：满足以上条件时，复合函数的极限是外函数的极限

几何示意图

说明为什么定义中是g(x)≠u0所举的反例
例子：
g(x)=1 (x∈R)，f(u)为分段函数：当u≠1时，f(u)=u；当u=1时，f(u)=2，
取x0=1，则u0=1，【g(x)=u0】=1，lim(u→1)f(u)=1=A，lim(x→1)f(g(x))=f(1)=2，而2≠1，
即lim(x→1)f(g(x))≠A，即定理6的结论不成立。
所以，一定要有条件“g(x)≠u0”。

复合函数的连续性

之前复合函数极限的计算中，并不考虑外函数在u0处是否有定义，仅仅考虑在u0处是否有极限，而复合函数的连续性则考虑f(u)在u0处连续

总结：连续的复合函数的极限可以由内函数求极限后代入外函数计算得到

推论：连续函数的复合函数仍然为连续函数