AM@重极限@多元函数增量@二元函数连续

abstract

• 多元函数重极限
• 多元函数的增量:全增量和偏增量
• 二元函数连续

重极限

• 借助$n$维空间邻域的概念可以定义出$n$元函数的极限,称为$n$重极限
• 这里主要讨论二元函数对应的二重极限

二重极限

• 和一重极限(一元函数的极限)类似地可以用$ϵ-\delta$语言描述二重极限,重点在于$x\to \ast$的路径要求是任意路径
• 二元函数的二重极限表示为
  • $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)$或$\underset{x\to x_0,y\to y_0}{\lim }f(x,y)$或$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{\lim }f(x,y)$
  • 选定趋近路径后
    • 若选$y=\varphi (x)$可以表示为$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ y=\varphi (x)\end{array}}{\lim }f(x,y)$=$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,\varphi (x))$(化为一元函数的极限问题)
    • 类似的,可以选定$x=\psi (y)$,$\underset{\begin{array}{c}x=\psi (y)\\ y\to y_0\end{array}}{\lim }f(x,y)$=$\underset{y\to y_0}{\lim }f(\psi (y),y)$
    • $\varphi (x),\psi (x)$都可能是常数
• 二重极限实质上和一重极限相同,单前者在自变量趋近方式上比后者复杂,因此判断和计算二重极限的问题上也要更加复杂
  • 当为二重极限选定某一趋近方式后,二重极限转换为一重极限计算
  • 例如,$f(x,y)$=$\frac{xy}{x^2+y^2}$;则$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)$(1)是否存在?
  • 若选定趋近路径为($xOy$上的直线)$y=kx$,表示为
    • $\underset{(x,y=kx)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)$=$\underset{x\to 0}{\lim }f(x,kx)$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x(kx)}{x^2+(kx{)}^2}$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{k}{1+k^2}$=$\frac{k}{1+k^2}$(2)
    • 这是一个与$k$的取值有关的极限值,当$k$取不同值时,对应的趋近方式$y=kx$也就不同,相应的极限值也会不同
    • 这说明所求二重极限不存在
  • 当选定好某一路径后(对于二重极限,趋近路径为二元函数定义域平面上的某一曲线或直线对应的函数),可以选好的路径以函数代入的方式表示,如式(2)的方式那样

趋近方式(路径)

• 在一元函数中,自变量$x\to x_0$实质上仅有两种趋近方式,即$x\to x_0^{-1}$和$x\to x_0^{+}$

• 在二元函数中,自变量$(x,y)\to (x_0,y_0)$的趋近方式是无穷无尽的,比如,它可可以沿着某一直线,或任何曲线,任何方向的趋近于$(x_0,y_0)$

• 显然,若想要通过选取有限个趋近方式(路径)求极限判断一个二元函数的二重极限是否存在,是不靠谱的

重极限不存在的判定

• 但如果能够找到某两个趋近方式下极限不都存在或者不相等,则可以断定该极限不存在
• 对于某些函数,可以通过求其绝对值函数的极限,或经过放大等手法,结合重极限的定义来证明(验证)二重极限值
  • $f(x,y)⩽|f(x,y)|$

常用路径选择

• $x=x_0$
• $y=kx$
• $y=x^2$
• $\cdots$

例

• 设$f(x,y)$=$(x^2+y^2)\sin \frac{1}{x^2+y^2}$,证明$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x)$=0(0)
  • 观察到$f(x,y)$中有一个有界函数因子$|\sin \frac{1}{x^2+y^2}|⩽1$,
  • $|f(x,y)|⩽|x^2+y^2|$
• $\forall ϵ>0$,欲使$|f(x,y)-0|⩽ϵ$(1),放大为$|f(x,y)-0|⩽|x^2+y^2|⩽ϵ$(1-1),只要取$\delta =\sqrt{ϵ}$,则当$0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta =\sqrt{ϵ}$时,总满足(1-1),也就满足(1),所以结论(0)成立

例

• 证明函数$f(x,y)$=$\frac{xy}{x^2+y^2}$,$(x,y)\ne (0,0)$;$f(x,y)=0$,$(x,y)=(0,0)$在点$(0,0)$处的极限$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)$不存在(0)
  • 只要找到两条趋近$(0,0)$的路径不满足极限相等,即可证明结论(0)
  • 路径1:直线$x=0$,即$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)$=$\underset{x=0,y\to 0}{\lim }f(x,y)$=$\underset{y\to 0}{\lim }f(0,y)$=$\underset{y\to 0}{\lim }0$=0
  • 路劲2:直线$y=x$,即$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)$=$\underset{x\to 0,y=x}{\lim }f(x,y)$=$\underset{x\to 0}{\lim }f(x,x)$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{x^2+x^2}$=$\frac{1}{2}$
  • 显然两个路径下得到的极限值不相等,因此结论(0)成立

二元函数连续

• 设二元函数$z=f(x,y)$在点$P(x_0,y_0)$处的某一邻域内有定义,若$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)$=$f(x_0,y_0)$(1),则称$f(x,y)$点$P_0(x_0,y_0)$处连续,$P_0(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的$f(x,y)$的连续点
• 否则称$P_0$为$f(x,y)$的不连续点或间断点

全增量

• 设二元函数$z=f(x,y)$的自变量$x,y$在$x_0,y_0$处分别有增量$\Delta x,\Delta y$时,称相应的函数$z$的增量为$\Delta z$=$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$-$f(x_0,y_0)$为函数$f(x,y)$在$P_0(x_0,y_0)$处的全增量

偏增量

• 函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$处对$x$的偏增量为${\Delta }_{x}z$=$f(x_0+\Delta x,y_0)$-$f(x_0,y_0)$
• 类似的,在$P_0$处对$y$的偏增量为${\Delta }_{y}z$=$f(x_0+\Delta x,y_0)$-$f(x_0,y_0)$

连续的增量式定义

• 令$x=x_0+\Delta x$;$y=y_0+\Delta y$;则$x\to x_0,y\to y_0$分别对应有$\Delta x\to 0$;$\Delta y\to 0$
• 若$\underset{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}{\lim }[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]$,即$\underset{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}{\lim }\Delta z$=0时,$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$处连续

区域上连续@连续函数

• 若$f(x,y)$在区域$D$上的每一点都连续,则称该函数在区域$D$上连续,或者称$f(x,y)$为$D$上的连续函数
• 由二元函数极限运算法则,可以证明二元函数的四则运算(和差积商,在分母不为0处)仍然为连续函数
  • 二元连续函数的复合函数也是连续函数

二元初等函数

• 与一元函数类似,由两个不同自变量的基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算构成的可以用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数
• 一切二元初等函数在其定义区域内(包含在定义域内的区域或闭区域)都是连续的

由连续计算极限

• 直接由极限的定义计算二元函数$f(x,y)$在某处的极限是不容易的,即便是验证极限值猜想,也是不容易

• 而若知道二元函数$f(x,y)$在某区间上是连续的,则由连续的定义可知,可以通过求函数在$P_0(x_0,y_0)$处的函数值$f(x_0,y_0)$来得到函数$f$在$P_0$处的极限,即$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)$=$f(x_0,y_0)$(2)

• 例

  • $f(x,y)$=$\frac{1}{x^2+y^2-1}$是初等函数,其在定义域$\{(x,y)\mid x^2+y^2-1\ne 0\}$上是连续函数,其间断点是整个圆周$\{(x,y)\mid x^2+y^2-1=0\}$
  • $\underset{x\to 1,y\to 2}{\lim }(x^2+xy+y^2)$=$(1+2+4)$=7,直接应用上述公式(2)

• 有时需要通过变形来应用公式(2)

  • $f(x,y)$=$\frac{2-\sqrt{xy+4}}{xy}$;求$\underset{x\to 0,y\to 1}{\lim }f(x,y)$
    • $f(x,y)$=$\frac{(2-\sqrt{xy+4})(2+\sqrt{xy+4})}{xy(2+\sqrt{xy+4})}$=$\frac{-1}{2+\sqrt{xy+4}}$,可知$f(x,y)$在$(0,1)$处连续
    • $\underset{x\to 0,y\to 1}{\lim }f(x,y)$=$\frac{-1}{2+\sqrt{0+4}}$=$-\frac{1}{4}$

小结

• 从连续的定义可以看出,判断函数在某点处连续与否,取决于在该点处是否存在对应的极限,即连续问题就是极限问题
• 反之,利用已知连续的结论,可以求某些极限问题

有界闭区域上二元连续函数的性质

• 和一元连续函数的性质类似,在**有界闭区域$D$**的二元连续函数具有如下性质:有界性和最值定理;介值定理

有界性和最值定理

• 有界闭区域$D$上的二元连续函数,必定在$D$上有界,且能取得它的最大值和最小值

介值定理

• 有界闭区域$D$上的二元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值