Acwing - 算法基础课 - 笔记（数据结构 · 一）

数据结构（一）

本节讲解的是

1. 链表与邻接表
2. 栈与队列
3. 看毛片（kmp）算法

链表

使用数组模拟单链表，双链表

使用数组模拟的链表，为静态链表，对单链表，开2个数组，其中1个用来存每个链表节点的值，另1个数组用来存每个节点的next指针。

对双链表，开3个数组，其中1个用来存每个链表节点的值，另外2个数组用来存每个节点的prev和next指针

单链表，用到比较多的是邻接表，邻接表经常用来存储图和树。（会在后续第三章讲图论时带出）

单链表练习题：Acwing - 826: 单链表（静态链表）

#include
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int head = -1, idx; // head指针指向第一个节点, idx表示当前用了的下标
int e[N], ne[N]; // 其中 e 存放链表节点的值, ne 存放链表节点的next指针

// 插入到头节点
void add_to_head(int x) {
    e[idx] = x;
    ne[idx] = head; 
    head = idx;
    idx++;
}

// 删除第k个插入的数后面的数
void del_after_k(int k) {
    // 第k个插入的数的下标为k - 1
    if(k == 0) head = ne[head]; // 删除头节点
    else ne[k - 1] = ne[ne[k - 1]];
}

// 在第k个插入的数后面插入一个
void add_after_k(int k, int x) {
    e[idx] = x;
    ne[idx] = ne[k - 1];
    ne[k - 1] = idx;
    idx++;
}

int main() {
    int m;
    cin >> m;
    while(m--) {
        char op;
        cin >> op;
        if(op == 'H') {
            int x;
            cin >> x;
            add_to_head(x);
        } else if(op == 'D') {
            int k;
            cin >> k;
            del_after_k(k);
        } else if(op == 'I') {
            int k, x;
            cin >> k >> x;
            add_after_k(k, x);
        }
    }
    
    //输入完毕, 输出链表
    for(int i = head; i != -1; i = ne[i]) {
        printf("%d ", e[i]);
    }
    return 0;
}

双链表练习题：Acwing - 827: 双链表

// C++
#include
#include
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int l[N], r[N], e[N], idx, head = 0, tail = 1;

void init() {
    // 头节点下标为0, 尾节点下标为1, idx固定从2开始
	l[0] = -1;
	r[0] = 1;
	l[1] = 0;
	r[1] = -1;
	idx = 2;
}

void add(int k, int x) {
	// 在下标为k的位置后面, 插入一个数x
	e[idx] = x;
	l[idx] = k;
	r[idx] = r[k];
	l[r[k]] = idx;
	r[k] = idx;
	idx++;
}

void del(int k) {
	// 删除下标为k的数
	r[l[k]] = r[k];
	l[r[k]] = l[k];
}

int main() {
	init();
	int m;
	cin >> m;
	for(int i = 0; i < m; i++){
		string op;
		cin >> op;
		int k, x;
		if(op == "L") {
			cin >> x;
			add(0, x); // 在链表头插入
		} else if(op == "R") {
			cin >> x;
			add(l[1], x);
		} else if(op == "D") {
			// 删除第k个插入的数, 第1个插入的数, 下标是2
			cin >> k;
			del(k + 1);
		} else if(op == "IL") {
			cin >> k >> x;
			add(l[k + 1], x);
		} else if(op == "IR") {
			cin >> k >> x;
			add(k + 1, x);
		}
	}
	for(int i = r[head]; i != 1; i = r[i]) {
		printf("%d ", e[i]);
	}
	return 0;
}

// Java
import java.util.Scanner;

/**
 * @Author yogurtzzz
 * @Date 2021/5/8 14:51
 **/
public class Main {

	static int[] l, r, e;
	static int head = 0, tail = 1, idx = 0;

	static void init(int n) {
		l = new int[n + 10];
		r = new int[n + 10];
		e = new int[n + 10];
		l[0] = -1;
		r[0] = 1;
		l[1] = 0;
		r[1] = -1;
		idx = 2;
	}

	static void add(int k, int x) {
		e[idx] = x;
		l[idx] = k;
		r[idx] = r[k];
		l[r[k]] = idx;
		r[k] = idx;
		idx++;
	}

	static void del(int k) {
		r[l[k]] = r[k];
		l[r[k]] = l[k];
	}

	public static void main(String[] args) {
		Scanner scanner = new Scanner(System.in);
		int n = scanner.nextInt();
		init(n);
		while(n-- > 0) {
			String op = scanner.next();
			if ("L".equals(op)) {
				int x = scanner.nextInt();
				add(0, x);
			} else if ("R".equals(op)) {
				int x = scanner.nextInt();
				add(l[1], x);
			} else if ("D".equals(op)) {
				int k = scanner.nextInt();
				del(k + 1);
			} else if ("IL".equals(op)) {
				int k = scanner.nextInt(), x = scanner.nextInt();
				add(l[k + 1], x);
			} else if ("IR".equals(op)) {
				int k = scanner.nextInt(), x = scanner.nextInt();
				add(k + 1, x);
			}
		}
		for(int i = r[head]; i != 1; i = r[i]) {
			System.out.printf("%d ", e[i]);
		}
		System.out.println();
	}
}

栈和队列

栈，特性是后进先出，逻辑上可以理解为只有一个开口的桶，

队列，特性是先进先出，逻辑上可以理解为在两端有开口的桶，只能从其中一端插入，另一端取出，就像排队一样，先排队的会先被服务，后排队的后被服务。

这两个数据结构都非常简单，不细说。

数组模拟栈，练习题：Acwing - 828: 模拟栈

#include
#include
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int stack[N];
int top;

void push(int x) { stack[++top] = x; }

void pop() { top--; }

int query() { return stack[top]; }

bool empty() { return top <= 0; }

int main() {
	int n, x;
	cin >> n;
	while(n--) {
		string op;
		cin >> op;
		if(op == "push") {
			cin >> x;
			push(x);
		} else if(op == "pop") {
			pop();
		} else if(op == "empty") {
			if(empty()) printf("YES\n");
			else printf("NO\n");
		} else if(op == "query") {
			printf("%d\n", query());
		}
	}
	return 0;
}

栈的应用，练习题：Acwing - 3302: 表达式求值

这道题是用栈来模拟树的中序遍历，从而求解中缀表达式的值，题解参考https://www.acwing.com/solution/content/69284/，核心思想是双栈（操作数栈，运算符栈），加上运算符优先级。相对应的，后缀表达式的求值就非常简单，只需要一个操作数栈即可。

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

// 运算符优先级
unordered_map<char, int> p = {{'+', 1}, {'-', 1}, {'*', 2}, {'/', 2}};

stack<int> num;
stack<char> op;

bool is_digit(char c) {
	return c >= '0' && c <= '9';
}

// 执行计算, 弹出2个操作数和1个运算符, 直接计算, 并将结果重新压栈
void eval() {
	int b = num.top(); num.pop();
	int a = num.top(); num.pop();
	char c = op.top(); op.pop();
	int res = 0;
	if(c == '+') res = a + b;
	else if(c == '-') res = a - b;
	else if(c == '*') res = a * b;
	else res = a / b;
	num.push(res);
}

int main() {
	string s;
	cin >> s;
	int res = 0;
	for(int i = 0; i < s.size(); i++) {
		if(is_digit(s[i])) {
		    // 提取连续的数字
			int x = 0, j = i;
			while(j < s.size() && is_digit(s[j])) {
				x = x * 10 + s[j] - '0';
				j++;
			}
			num.push(x);
			i = j - 1;
		} else if(s[i] == '(') op.push(s[i]);
		else if(s[i] == ')') {
			while(op.top() != '(') eval();
			op.pop();
		} else {
			while(!op.empty() && p[op.top()] >= p[s[i]]) eval();
			op.push(s[i]);
		}
	}
	while(!op.empty()) eval();
	printf("%d\n", num.top());
	return 0;
}

数组模拟队列，练习题：Acwing - 829: 模拟队列

#include
#include
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int queue[N];
int head = 0, tail = -1;

void push(int x) { queue[++tail] = x; }

void pop() { head++; }

bool empty() { return head > tail; }

int query() { return queue[head]; }

int main() {
	int n, x;
	cin >> n;
	while(n--) {
		string op;
		cin >> op;
		if(op == "push") {
			cin >> x;
			push(x);
		} else if(op == "pop") {
			pop();
		} else if(op == "empty") {
			if(empty()) printf("YES\n");
			else printf("NO\n");
		} else if(op == "query") {
			printf("%d\n", query());
		}
	}
	return 0;
}

单调栈

应用场景：给定一个序列，对于序列中的每个数，求解它左边离他最近且比它小的数（或者右边，或者比它大）

比如对于序列[3, 4, 2, 7, 5]，求解每个数左边最近的且比它小的数（不存在则返回-1），答案是

[-1, 3, -1, 2, 2]

考虑的方法和双指针类似，先想一下暴力做法，再进行优化

暴力做法就是，先枚举i = 0~n，然后枚举j，j从i-1开始到0

int a[n] = {3, 4, 2, 7, 5};
for(int i = 0; i < n; i++) {
    for(int j = i - 1; j >= 0; j--) {
        if(a[i] > a[j]) {
            printf("%d ", a[j]); // 输出
            break; // 跳出循环, 继续对下一个i进行处理
        }
    }
}

如果采用栈来做的话，就是对于i = 0~n，用一个栈来存i前面所有的数，而我们观察发现，有的数是不会作为答案的。对于 i 前面的数，比如 m 和 n 都小于i ，假设 m < n，则a[m]在a[n]的左边，如果a[m] ≥ a[n]，则a[m]是不会作为答案输出的。因为i往左寻找，最多找到n这个位置，而a[n]要比a[m]更小，所以不会再往左找到m。于是，我们只需要保证栈中的元素有单调性即可。

即，若m < n，且a[m] >= a[n]，则往栈中压入a[n]时，会删除先前压入的a[m]。最后保证栈中的元素是升序排列的。

而当需要找第i个数的左边最近的且比它小的数时，先将a[i]和栈顶元素比较，若栈顶元素≥a[i]，则弹出栈顶元素。因为对i后面的数，答案最多取到a[i]，所以此时的栈顶对i后面的数是无用的，直接删除。一直删除栈顶元素，直到栈顶元素＜a[i]，此时的栈顶就是答案，再把a[i]压入栈，继续下一个位置的判断。

练习题：Acwing - 830: 单调栈

#include
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int stack[N];
int n, top;

void stack_push(int x) {
    stack[++top] = x;
}

void stack_pop() {
    top--;
}

int stack_top() {
    return stack[top];
}

bool stack_empty() {
    return top <= 0; // top == 0 时表示栈为空
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    int t;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        // 无需先读入数组再进行操作
        // 可以同时读入数组并生成答案
        scanf("%d", &t);
        while(!stack_empty()) {
            int e = stack_top();
            // 当栈非空时, 查看栈顶元素和a[i]的关系
            if(e >= t) stack_pop();
            else {
                printf("%d ", e);
                stack_push(t);
                break;
            }
        }
        if(stack_empty()) {
            printf("-1 ");
            stack_push(t);
        }
            
    }
    return 0;
}

更简短的代码

// 每个元素都只有一次压栈和出栈的机会，所以时间复杂度是O(n)
#include
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int stk[N];
int top;

int main() {
    int n, t;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &t);
        while(top > 0 && stk[top] >= t) top--; // 保持栈为单调递增
        if(top <= 0) printf("-1 "); // 栈空
        else printf("%d ", stk[top]);
        stk[++top] = t; // 入栈
    }
    return 0;
    
}

另一道练习题：Acwing - 131: 直方图中最大的矩形

核心思路是，对于每个位置的矩形，分别向左向右扩展，找到能扩展的左右边界，所组成的大矩形，就是当前位置的最大矩形。
假设直方图的下标为i，每个位置的矩形高度为h[i]。
则对于一个位置i，其左边界一定是第一个比h[i]高度小的位置，其右边界一定是第一个比h[i]小的位置。所以问题就变成了，对于每个i，求解其左侧第一个小于h[i]的位置，和其右侧第一个小于h[i]的位置。左右边界之间的长度就是这个大矩形的长，而h[i]就是大矩形的高。

#include
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e5 + 10;

int a[N], l[N], r[N], stk[N];


int main() {
	while(true) {
		int n;
		scanf("%d", &n);
		if(n == 0) break;
		for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);

		// 计算每个位置左侧第一个比其小的

		int top = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			while(top > 0 && a[stk[top]] >= a[i]) top--;
			if(top > 0) l[i] = stk[top];
			else l[i] = 0;
			stk[++top] = i;
		}

		// 计算每个位置右侧第一个比其小的
		top = 0;
		for(int i = n; i >= 1; i--) {
			while(top > 0 && a[stk[top]] >= a[i]) top--;
			if(top > 0) r[i] = stk[top];
			else r[i] = n + 1;
			stk[++top] = i;
		}

		LL res = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			int left = l[i] + 1;
			int right = r[i] - 1;
			res = max(res, (LL)a[i] * (right - left + 1));
		}
		printf("%lld\n", res);
	}
	return 0;
}

单调队列

最经典的应用：求解滑动窗口中的最大值和最小值

也是先想一个暴力的做法，然后考虑一下能删掉那些元素，是否能得到单调性。

练习题：Acwing - 154: 滑动窗口

这道题的思路和上面的单调栈思路类似，不再赘述。注意队列里存放的是下标，而不是数组元素的值。这是因为随着窗口的滑动，需要移除左边的元素，此时存放下标会更加方便。

#include
using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int n, k;
int a[N], q[N]; // 其中a数组存放原始的数据, q数组用来做单调队列

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &k);
	for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]);

	// 找出滑动窗口的最小值
	int hh = 0, tt = -1; // hh是队头, tt是队尾
	for(int i = 0; i < n; i++) {
		// 队列非空, 且对头下标在滑动窗口左边界的左侧时, 移除队头
		while(hh <= tt && q[hh] < i - k + 1) hh++;
		while(hh <= tt && a[q[tt]] >= a[i]) tt--; // 当队尾元素 >= 当前元素时, 移除队尾
		q[++tt] = i; // 队列里从队头到队尾, 是单调递增的, 队头元素就是当前滑动窗口的最小值
		if(i >= k - 1) printf("%d ", a[q[hh]]); // 从第k个位置开始, 进行输出
	}
	printf("\n");

	// 找出滑动窗口的最大值
	hh = 0, tt = -1;
	for(int i = 0; i < n; i++) {
		while(hh <= tt && q[hh] < i - k + 1) hh++;
		while(hh <= tt && a[q[tt]] <= a[i]) tt--;// 当队尾元素 <= 当前元素时, 移除队尾
		q[++tt] = i; // 队列里从队头到队尾, 是单调递减的,  队头元素就是当前滑动窗口的最大值
		if(i >= k - 1) printf("%d ", a[q[hh]]);
	}
	return 0;
}

KMP算法

时间复杂度O(n)的模式匹配算法。详解可参考我的这篇文章一文看懂KMP算法

练习题：Acwing - 831 : KMP字符串

#include
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 1e6 + 10;
char p[N], s[M];
int ne[N]; // 针对模式串P的next数组
int n, m;

int main() {
    // 字符串的起始下标从1开始, 方便处理边界
    cin >> n >> p + 1 >> m >> s + 1;
    /* 如果用scanf读入的话
    scanf("%d", &n);
    scanf("%s", p + 1);
    scanf("%d", &m);
    scanf("%s", s + 1);
    */
    // 先求解 next 数组
    // 下标从1开始取, next[i] 的值, 表示以 i 为右端点的字串, 最大的前缀和后缀的长度, 这个长度不能超过 i
    // 故 next[1] 的 值不能超过1, 故 next[1] = 0, 从下标 2 开始计算 next数组
    for(int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {
        // 错开一位进行匹配, 每次匹配 i 和 j + 1 位, 第一次则匹配 2 和 1 
        while(j > 0 && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j]; // 当前面有匹配上的位时, 看看当前位是否匹配, 若不匹配, 需要回溯 j 
        if(p[i] == p[j + 1]) j++; // 该位匹配上了, 则 j 往后移动一位, 并且当前位置的 next[i] = j;
        ne[i] = j;
    }
    // 求解完毕 next 数组, 开始进行模式匹配
    for(int i = 1, j = 0; i <= m; i++) {
        while(j > 0 && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j]; // 回溯 j
        if(s[i] == p[j + 1]) j++; // 当前位匹配, 后移j
        if(j == n) {
            // 匹配完成, 开始下一次可能的匹配
            printf("%d ", i - n);
            j = ne[j];
        }
    }
    return 0;
}