300. 最长上升子序列（Python）

题目

难度：★★★☆☆
类型：数组
方法：动态规划，二分法

传送门

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。
说明:
可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。
进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?

解答

解法1：动态规划

这里跟以往不一样的是，需要注意一下上升子序列的定义，这里的子序列可以是间断的，这就加大了这个问题的难度。

我们用动态规划来解决这个问题，定义数组dp，长度与输入数组nums保持一致，dp[i]所代表的含义是以nums[i]结尾的所有上升子序列的最大长度。例如在数组[1, 7, 2, 3, 4, 9]中，[1, 2, 3, 9]为一个到9的上升子序列，[1, 7, 9]也是一个到9的上升子序列，但是前者更长。

定义初始状态，以dp[i]（0<=i

递归关系式：为了求得到达数组中特定位置dp[i]的最长上升子序列的长度，我们需要考虑到在此之前的所有最长上子序列，也就是dp[i]的计算需要依据dp[j]（j<=0

dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)，条件是 nums[j] < nums[i]

为什么dp[j]+1可以算作到达dp[i]的一个上升子序列的长度？因为当nums[i]

最终结果：由于我们并不知道最长上升子序列在什么位置结尾，因此需要对dp中所有元素取最大值。

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums):
        if not nums:
            return 0
        dp = [1 for _ in range(len(nums))]
        for i in range(1, len(nums)):
            for j in range(i):
                if nums[j] < nums[i]:
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
        return max(dp)

贪心算法。

贪心算法有一个思路，就是最长上升子序列一定是上升最慢的方向。

准备一个数组d用于存储上升子序列，每当获取一个元素，我们判断一下这个元素和d中最后一个元素谁更大，如果该元素更大，则添加到d数组中，否则，找到数组d中该元素的位置并插入，数组d始终是有序的，所以可以使用二分查找。

from bisect import bisect_left
class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums):
        d = []
        for n in nums:
            if not d or n > d[-1]:
                d.append(n)
            else:
                d[bisect_left(d, n)] = n
        return len(d)

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