2021-06-23-01
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 集合的性质 P64 习题11）
平面上不含零向量的集合,若其至少有三个元素,且对任意,存在,使,,则称具有性质.证明:
(1)对任意,存在具有性质的向量集;
(2)具有性质的有限向量集合都至少有6个元素.
证明
(1)对进行归纳.
当时,考虑及、、、、、.对于具有性质的元集合,设其非零向量为.设、是的两个不同向量与的夹角是中各向量之间的最小角.则,否则与最小性矛盾.因此,有个元素,且满足性质.
(2)考虑一个均由为始点的具有性质的向量集合,若与不平行,且使得或平行于中的一个向量或中的一个向量.记,对向量分解,.实数集合具有类似于的性质.设中的最大数为.显然,,存在、,使得,.否则,不是中的最大元素.同理,对于中的最小元素,存在,且、,,使得.由此得出中的6个不同元素.
2021-06-23-02
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 集合的性质 P64 习题12）
平面上的点集称为是好的,如果中任意3个点都存在一条对称轴,使得这3个点关于这条对称轴对称.证明:
(1)一个好的集合不一定是轴对称的;
(2)如果一个好的集合中恰有2003个点,则这2003个点在一条直线上.
证明
(1)如图1,、、均为等腰三角形,、、也共线.所以,任意三个点皆有一条对称轴.故它是一个好的集合.但是、、、不是轴对称的.
(2)反证法.假设结论不成立.于是,不可能有集合中的6个点共线.否则,在这条直线外必有1个属于集合的点,过点作此直线的垂线,则此直线上必有至少3个点在这条垂线的同侧,记为、、(如图2).因为,所以,.由于、、有对称轴,则.同理,,矛盾.
故不可能有集合中的6个点共线.不妨设、为这个集合中距离最短的两个点(如图3).则其余2001个131点有以下4种情况:
(i)在线段中垂线上;
(ii)在所在直线上;
(iii)在以为圆心、长为半径的圆上;
(iv)在以为圆心、长为半径的圆上.
由前面的证明可知,(i)、(ii)两种情况点的总数不超过10个.又因为的距离最小,所以(i)、(iv)两种情况点的总数不超过10个.故10+10+2<2003.矛盾.
2021-06-23-03
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 集合的性质 P64 习题13）
一个正整数的集合称为“好集”,是指对任何整数,都存在着,,使得数与不是互质的数.证明:如果一个好集的元素之和为2003,则存在一个,使得集合仍是一个“好集”.
证明
设是C中两个数的差的所有可能的质因子.假定对每个,都存在一个剩余,使得中至多有一个数关于模与同余.利用中国剩余定理(即孙子定理)可得,存在一个整数,满足.利用题中的条件可得,存在某个和某个,使得整除与.于是,和关于模与同余.这与的假定矛盾.
由此可以断定关于模的每个剩余,在的数的剩余中至少出现两次.假定每个剩余都恰好出现两次,则中元素的和等于,,这与2003是质数矛盾.因此,一定存在某个剩余,它至少出现三次.将具有这种性质的中的元素删除一个,就得到了一个新的“好集”.
2021-06-23-04
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 集合的性质 P64 习题14）
试证:存在一个具有如下性质的正整数的集合,使对任何由无限多个素数组成的集合,都存在自然数,及,和均为中个不同元素的乘积.
证明
设 是全体素数从小到大排成的数列,即有,,,,,, .令,.一般地,对正整数,令.最后再令.
设是由无限多个素数组成的集合,其中 .于是有,,, .设,.于是,.可见,只要取就可以了.
2021-06-23-05
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 集合的性质 P64 习题15）
求最小的正整数,使得的每个元子集都含有4个两两互质的数(已知中共有35个素数).
解
考虑中2或3或5的倍数的个数,有.当时,可以全取2或3或5的倍数,所以在这个子集里无论如何也找不到4个两两互素的数.因此,.
合乎要求.为此构造如下6个数组:,,,,,.令.上述每一个中至少有4个元素并且两两互素,且,.这样,若从中取出111个数,则中至少被取出19个数,由抽屉原则必有某被选出4个,而这四个数是两两互素的.