【洛谷】P1993 小K的农场

题目地址:

https://www.luogu.com.cn/problem/P1993

题目描述:
小K在MC里面建立很多很多的农场,总共 n n n个,以至于他自己都忘记了每个农场中种植作物的具体数量了,他只记得一些含糊的信息(共 m m m个),以下列三种形式描述:
农场 a a a比农场 b b b至少多种植了 c c c个单位的作物;
农场 a a a比农场 b b b至多多种植了 c c c个单位的作物;
农场 a a a与农场 b b b种植的作物数一样多。
但是,由于小K的记忆有些偏差,所以他想要知道存不存在一种情况,使得农场的种植作物数量与他记忆中的所有信息吻合。

输入格式:
第一行包括两个整数 n n n m m m,分别表示农场数目和小K记忆中的信息数目。
接下来 m m m行:
如果每行的第一个数是 1 1 1,接下来有三个整数 a , b , c a,b,c a,b,c,表示农场 a a a比农场 b b b至少多种植了 c c c个单位的作物;
如果每行的第一个数是 2 2 2,接下来有三个整数 a , b , c a,b,c a,b,c,表示农场 a a a比农场 b b b至多多种植了 c c c个单位的作物;
如果每行的第一个数是 3 3 3,接下来有两个整数 a , b a,b a,b,表示农场 a a a种植的的数量和 b b b一样多。

输出格式:
如果存在某种情况与小 K 的记忆吻合,输出 Yes,否则输出 No

数据范围:
对于 100 % 100\% 100%的数据,保证 1 ≤ n , m , a , b , c ≤ 5 × 1 0 3 1 \le n,m,a,b,c \le 5 \times 10^3 1n,m,a,b,c5×103

差分约束问题,可以用最短路或者最长路来解决。考虑有 n + 1 n+1 n+1个点的最短路问题,点的编号为 0 , 1 , . . . , n 0,1,...,n 0,1,...,n 0 0 0是超级源点,以其为源点考虑最短路问题。对于 1 1 1类型的不等式,即有 a − b ≥ c a-b\ge c abc,等价于 b ≤ a + ( − c ) b\le a+(-c) ba+(c),可以从点 a a a到点 b b b连一条长度为 − c -c c的有向边;对于 2 2 2类型的不等式,即有 a − b ≤ c a-b\le c abc,等价于 a ≤ b + c a\le b+c ab+c,可以从 b b b a a a连一条长度为 c c c的有向边;对于 3 3 3类型的不等式,即有 a = b a=b a=b,可以将 a a a b b b之间互相连一条长度为 0 0 0的有向边。最后从超级源点 0 0 0向其余每个点连一条长度为 0 0 0的有向边,最后解以 0 0 0为源点的最短路问题即可。如果存在负环,则不存在最短路,说明无解,否则说明有解。判断负环的问题可以用SPFA,并且将队列改为栈更适合判断负环。代码如下:

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 5e3 + 10, M = N << 1;
int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
int dist[N], cnt[N];
bool vis[N];

void add(int a, int b, int c) {
  e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

bool spfa() {
  stack<int> stk;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    stk.push(i);
    vis[i] = true;
  }

  while (stk.size()) {
    int t = stk.top(); stk.pop();
    vis[t] = false;
    for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
      int v = e[i];
      if (dist[v] > dist[t] + w[i]) {
        dist[v] = dist[t] + w[i];
        cnt[v] = cnt[t] + 1;
        if (cnt[v] > n - 1) return false;
        if (!vis[v]) {
          stk.push(v);
          vis[v] = true;
        }
      }
    }
  }

  return true;
}

int main() {
  memset(h, -1, sizeof h);

  scanf("%d%d", &n, &m);
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    int type, a, b, c;
    scanf("%d", &type);
    if (type == 3) {
      scanf("%d%d", &a, &b);
      add(a, b, 0), add(b, a, 0);
    } else {
      scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
      if (type == 1) add(a, b, -c);
      else add(b, a, c);
    }
  }

  if (spfa()) puts("Yes");
  else puts("No");
}

时间复杂度 O ( n m ) O(nm) O(nm),空间 O ( n ) O(n) O(n)

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