管理类联考——数学——汇总篇——知识点突破——代数——函数、方程——记忆

本篇思路：根据各方的资料，比如名师的资料，按大纲或者其他方式，收集/汇总考点，即需记忆点，在通过整体的记忆法，比如整体信息很多，通常使用记忆宫殿法，绘图记忆法进行记忆，针对局部/细节/组成的部分，可通过多种方法，比如联想记忆法、理解记忆法等进行进一步记忆。

考点

通过汇总各方大佬资料，作为收集考点/记忆点的信息输入：XX，收集汇总如下：

汇总考点的必要，或者说，汇总记忆的内容的必要，不言而喻，首先，你要记忆东西，得有东西，所以你要梳理出你需要记忆的全部东西，其次，在收集多个大佬的梳理的考点，又可以找出各条逻辑帮助记忆考点，所以，梳理考点是很有必要的，是记忆的基础，是记忆宫殿里面的物品，是我们最后考试需要去找到的解题物品。

记忆/考点汇总——按大纲

——一元二次函数——【图像→交点】
——【$a{x}^2+bx+c=y$二次函数核心在于“图像”：整体可以由： 图像（形状，上下，交点） $⟹$ $△$ $⟹$ 抛物线与x轴交点 $⟹$ 交点图形】
——【固定做题法：
$⟹$ 一看开口方向：（注意自然语言的表达以决定对二次项系数a是否等于0进行分类讨论）二次函数，二次方程，二次不等式，抛物线（默认a≠0）；函数，方程，不等式（需要对a是否等于0进行分类讨论）
$⟹$ 二看判别式：$△=b^2-4ac$
$⟹$ 三看对称轴：$x=-\frac{b}{2a}$
$⟹$ 四看交点值：顶点坐标：$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。当$△=b^2-4ac>0$时，函数图象与x轴有两个不同的交点$M_1(x_1,0),M_2(x_2,0)$，则$|M_1{M}_2|=|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{△}}{|a|}$。】
1.三种函数形式：
一般式：$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$
配方式/顶点式：$y=a(x+\frac{b}{2a}{)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
两根式：$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，$x_1,x_2$是函数的两个根，对称轴为$x=\frac{x_1+x_2}{2}$

2.图像特点：
图像形状：二次函数$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$的图像是一条抛物线。——【图像的全身】
开口方向：由a决定，当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。——【图像的嘴巴】
对称轴：以$x=-\frac{b}{2a}$为对称轴。——【图像的比例】
顶点坐标：$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。——【图像的头部】
y轴截距：c，c决定抛物线与y轴交点的位置，影响顶点高度。
定义域：一般隐藏在判别式大于等于零中。
最值：当a＞0（a＜0）时，有最小（大）值$\frac{4ac-b^2}{4a}$，无最大（小）值。——【需验证对称轴是否在定义域内，在则可套用顶点坐标求最值】
单调性：当a>0时，抛物线开口向上，函数在$(-\infty ,-\frac{b}{2a}]$上递减，在$[-\frac{b}{2a},+\infty )$上递增，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$f(x{)}_{min}=\frac{4ac-b^2}{4a}$；当$a＜0$时，抛物线开口向下，函数在$(-\infty ,-\frac{b}{2a}]$上递增，在$[-\frac{b}{2a},+\infty )$上递减，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$f(x{)}_{max}=\frac{4ac-b^2}{4a}$。——【】
交点图像：当$△=b^2-4ac>0$时，函数图象与x轴有两个不同的交点$M_1(x_1,0),M_2(x_2,0)$，则$|M_1{M}_2|=|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{△}}{|a|}$。——【图像的内部】

3.参数含义：二次函数$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$
a：当a＞0（a＜0）时，有最小（大）值$\frac{4ac-b^2}{4a}$，无最大（小）值。
b：影响对称轴位置，因以$x=-\frac{b}{2a}$为对称轴。
c：代表图像在y轴上的截距（纵截距），影响顶点高度，因顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。

4.图像与x轴的位置：
已知函数$y=a{x}^2+bx+c$与x轴交点的个数，可知
（1）若函数与x轴有2个交点，则$a\ne 0和△=b^2-4ac＞0$；——【【易错点】此类题易忘掉一元二次函数（方程、不等式）的二次项系数不能为0。要使用$△=b^2-4ac$，必先看二次项系数是否为0。】
（2）若函数与x轴有1个交点，即抛物线与x轴相切或图像是一条直线，则$a\ne 0和△=b^2-4ac=0$；或$a=0和b\ne 0$；
（3）若函数与轴没有交点，则$a\ne 0和△=b^2-4ac＜0$或$a=b=0和c\ne 0$。
（4）图像始终位于x轴上方，则$a＞0和△=b^2-4ac＜0$
（5）图像始终位于x轴下方，则$a＜0和△=b^2-4ac＜0$

5.图像与一次函数的交点：
二次函数$y=a{x}^2+bx+c$与一次函数$y=kx＋m$的交点情况有三种，利用数形结合思想，令两函数值相等，得到新的一元二次方程$a{x}^2+bx＋c-(kx+m)=0$。
（1）2个交点：新的一元二次方程$△＞0$。
（2）1个交点：①一次函数与二次函致相切，新的一元二次方程$△=0$。特别地，在顶点处相切时，$k=0$，一次函数为$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$。②一次函数垂直于x轴，k不存在。
（3）0个交点：新的一元二次方程$△＜0$

——其他函数——【记图像可辅助记忆性质】
正比例函数：$y=kx(k\ne 0)$，定义域为$R$，值域为$R$，单调性为$k＞0$时，单调递增；$k＜0$时，单调递减，图像是“一条直线”。
反比例函数：$y=\frac{k}{x}(k为常数，k\ne 0)$，定义域为{$x|x\ne 0$}，单调性为k＞0时，在区间$(-\infty ,0),(0,+\infty )$上单调递减；k＜0时，在区间$(-\infty ,0),(0,+\infty )$上单调递增，值域为{$y|y\ne 0$}，图像是“两条圆心对称的圆弧”。
对勾函数：$y=x+\frac{1}{x}$，定义域为{$x|x\ne 0$}，值域为$(-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )$，单调性为在区间$(-\infty ,-1),(1,+\infty )$上单调递增；在区间$(-1,0),(0,1)$上单调递减，图像是“两条圆心对称的耐特勾”。
指数函数：$y=a^x(a＞0,a\ne 1)$，定义域为$(-\infty ,+\infty )$，值域$(0,+\infty )$，单调性为当$a＞1$时，是增函数；当$0＜a＜1$时，是减函数。图像恒过点$(0,1)，是“一条弧线”$。——【$a＞0$和$0＜a＜1$两图像形成交叉于$(0,1)$的文字yi乂】
对数函数：$y=lo{g}_{a}x(a＞0,a\ne 1)$，定义域为$(0,+\infty )$，值域$全体实数R$，单调性为当$a＞1$时，是增函数；当$0＜a＜1$时，是减函数。图像恒过点$(1,0)，是“一条弧线”$。它与$y=a^x$互为反函数。——【$a＞0$和$0＜a＜1$两图像形成交叉于$(1,0)$的躺着的文字yi乂】
指数运算：$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$；$a^m÷a^n=a^{m-n}$；$(a^m)n=a^{mn}$；$a^0=1$；$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$；$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$
对数运算：当$a＞0$且$a\ne 1$时，$m＞0$，$n＞0$，则$lo{g}_{底}真$：——【乘除变加减，指数提到前】
同底对数：$lo{g}_{a}m+lo{g}_{a}n=lo{g}_{a}mn$；
同底对数：$lo{g}_{a}m-lo{g}_{a}n=lo{g}_a\frac{m}{n}$；
幂运算：$lo{g}_{a^m}{b}^n=\frac{n}{m}lo{g}_{a}b$；$m=1$时，$lo{g}_a{b}^n=nlo{g}_{a}b$；$m=n$时，$lo{g}_{a^m}{b}^n=lo{g}_{a}b$；$lo{g}_a\sqrt[n]{M}=\frac{1}{n}lo{g}_{a}M$；
换底公式：$lo{g}_{a}b=\frac{lo{g}_{c}b}{lo{g}_{c}a}=\frac{lgb}{lga}=\frac{lnb}{lna}$，$lo{g}_{a}b=\frac{1}{lo{g}_{b}a}$，$lo{g}_{a}M=lo{g}_{b}M÷lo{g}_{b}a(b＞0且b\ne 1)$，一般c取10或e。——【换底公式，真数在上，底数在下】
常用对数：以10为底的对数，$lo{g}_{10}N$，简记为$lgN$；
自然对数：以无理数e（e=2.71828…）为底的对数，$lo{g}_{e}N$，简记为$lnN$。
特殊对数：$lo{g}_{a}1=0$，$lo{g}_{a}a=1$，负数和零没有对数，$a^{lo{g}_{a}b}=b$，$lo{g}_a{a}^s=s$——【$a^{lo{g}_{a}b}=b$】
最值函数：
最大值函数：$max${$x,y,z$}表示$x,y,z$中最大的数；本质为：$max${$a,b,c$}$\ge a$且$max${$a,b,c$}$\ge b$且$max${$a,b,c$}$\ge c$。对于函数而言，$max${$f(x),g(x)$}表示各函数图像中最高的部分。
最小值函数：$min${$x,y,z$}表示$x,y,z$中最小的数。本质为：$min${$a,b,c$}$\le a$且$min${$a,b,c$}$\le b$且$min${$a,b,c$}$\le c$。对于函数而言，$min${$f(x),g(x)$}表示各函数图像中最低的部分。
对于max函数图像，先画出各函数图像，然后取图像位于上方部分；对于min函数图像，先画出各函数图像，然后取图像位于下方部分。
绝对值函数：
$y=|ax+b|$先画$y=ax+b$的图像，再将x轴下方的图像翻到x轴上方。
$y=|a{x}^2+bx+c|$的图像，再将x轴下方的图像翻到x轴上方。
$y=a{x}^2+b|x|+c$先画$y=a{x}^2+bx+c$的图像，再将y轴左侧图像删掉，替换成y轴右侧对称过来的图像。
$|ax+by|=cb$表示两条平行的直线$ax+by=\pm c$，且两者关于原点对称。
$|ax|+|by|=c$，当$a=b$时，表示正方形，当$a\ne b$时，表示菱形。
$|xy|+ab=a|x|+b|y|$，$|xy|+ab=a|x|+b|y|$ $⟹$ $|xy|-a|x|-b|y|+ab=0$ $⟹$ $|x|(|y|-a)-b(|y|-a)=0$$⟹$ $(|x|-b)(|y|-a)=0$ $⟹$ $|x|=b$或$|y|=a$， 故表示由$x=\pm b,y=\pm a$围成的图形，当$a=b$时，表示正方形，当$a\ne b$时，表示矩形。

$y=|f(x)|$上翻下型：先画$y=f(x)$图像，再将图像位于x轴下方的部分翻到x轴上方。
$y=f(|x|)$右翻左型：先画$y=f(x)$的图像，保留y轴右侧部分；再将右侧的部分翻转到y轴左侧。

分段函数：
分段函数：对于其定义域内的自变量x的不同值，不能用一个统一的解析式表示，而是要用两个或两个以上的式子表示。分段函数表示不同的取值范围对应不同的表达式。对于分段函数，根据不同取值区间，选择不同的表达式代入求解。
模型识别：自变量在不同取值范围内有不同的对应法则。
解题方法：求分段函数的函数值$f(x_0)$时，应该首先判断$x_0$所属的取值范围，然后把$x_0$代入到相应的解析式中进行计算。
复合函数：
（1）定义：已知函数$y=f(u)$，又$u=g(x)$，则称函数$y=f(g(x))$为函数$y=f(u)$与$u=g(x)$的复合函数。其中y称为因变量，x称为自变量，u称为中间变量。
（2）求复合函数的定义域
①复合函数的定义域，是函数$y=f[g(x)]$中x的取值范围；
②若函数$f(x)$的定义域为$(a,b)$，则复合函数$y=f[g(x)]$的定义域由$a＜g(x)＜b$求出；
③若函数$y=f[g(x)]$的定义域为$(a,b)$，则$f(x)$的定义域为$g(x)$在$a＜x＜b$上的值域。
注意：$g(x)$的值域对应$y=f(u)$的定义域。对于复合函数，可以将内部的函数看成一个整体进行分析。此外，内部函数的值域对应外部函数的定义域。
（3）复合函数的单调性——【同增异减】

——一元二次方程——【核心为“根”：求根，根的多少/判别式，根与系数，根的正负，根的范围/区间】
一元二次方程：只含一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程，“元”是指方程中所含未知数的个数，“次”是指方程中未知数最高的指数。——【类比记忆法：一元二次方程其实是一元二次函数的函数值为0时的情况】

根的求解/求根解法：
（1）十字相乘因式分解法：先用十字相乘进行分解，分解后可以求出方程的根。
（2）求根公式法：如果无法用十字相乘分解，可以套用求根公式：$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$——
【根判别式$△$ $⟹$ 求根公式：$x_{1,2}$=$\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}$
$⟹$ 韦达定理为$x_1+x_2=\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}＋\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}=-\frac{b}{a}$
$⟹$ 韦达定理为$x_1\cdot x_2=\frac{-b＋\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ast \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a}$
$⟹$ 弦长公式为$|x_1-x_2|=|\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}|=\frac{\sqrt{△}}{|a|}$
$⟹$ 顶点△面积为$\frac{1}{2}\cdot |y|\cdot |x_1-x_2|=|\frac{－△}{4a}|\ast \frac{\sqrt{△}}{|a|}=\frac{(\sqrt{△}{)}^3}{8a^2}$】

根的多少/判别式：
$△=b^2-4ac$称为一元二次方程根的判别式
当$△＞0$时，方程有两个不相等的实根；当$△=0$时，方程有两个相等的实根；当$△＜0$时，方程没有实根。
方程$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$有两个不相等的实数根 $⟺$ 函数$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$与x轴有两个交点 $⟺$ $△＞0$。——【要$a\ne 0$&$△＞0$】
方程$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$有两个相等的实数根 $⟺$ 函数$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$与x轴有一个交点 $⟺$ $△=0$。——【要$a\ne 0$&$△=0$】
方程$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$没有实数根 $⟺$ 函数$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$与x轴没有交点 $⟺$ $△＜0$。——【要$a\ne 0$&$△＜0$】
——【 $△$判别式
$⟹$ $b^2-4ac$
$⟹$ $△$＞0，方程有两根，即求根公式$x_{1,2}$=$\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}$，图像抛物线与x轴有两个交点 $⟹$ 韦达定理
$⟹$ $△$＝0，方程有一根，$x$为$-\frac{b}{2a}$，图像抛物线与x轴有一个交点
$⟹$ $△$＜0，方程无根，图像抛物线与x轴没有交点
$⟹$ $y$的最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$ ＝$\frac{－△}{4a}$
$⟹$ $△$＞0，图像的弦长公式为$\frac{\sqrt{△}}{|a|}$
$⟹$ $△$＞0，图像的顶点△面积为$\frac{(\sqrt{△}{)}^3}{8a^2}$】

判别式$△$的不同表达：
（1）$△=0$
A.方程有两个相等的实根
B.函数抛物线与x轴有且仅有一个交点（只有一个公共点）
C.函数抛物线与x轴相切
D.函数抛物线在x轴上的截距为0
E.函数是一个完全平方式
F.方程具有重实根
G.直线与曲线（抛物线）有一个交点
H.存在x的值使得$a{x}^2+bx+c=0$成立
（2）$△＞0$
A.方程有两个不相等的实根
B.函数抛物线与x轴相交
C.函数抛物线与x轴有两个交点
D.方程有两个零点
E.直线与曲线（抛物线）有两个交点
（3）$△＜0$
A.方程没有实数根
B.函数抛物线与x轴没有交点
C.函数抛物线与x轴相离
D.函数抛物线在轴上的截距不存在
E.直线与曲线（抛物线）没有交点
F.函数没有零点

判别式$△$的常见思维误区：
A.方程有两个实数根
B.方程有两个正根
C.方程有两个负根
D.方程有根
这四句话的意思是判别式大于等于零，而非大于零，因为存在两个相等的根和两个不相等的根两种情况，记住：一元二次方程永远是有两个根的。

根的关系/根与系数关系/韦达定理：
$x_1,x_2$是方程$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0且△\ge 0)$的两根 $⟹$ $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$，$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$。
一元三次方程$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$的韦达定理$⟹$ $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$，$x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$，$x_1{x}_3+x_2{x}_3+x_1{x}_3=\frac{c}{a}$
韦达定理使用前提：——【条件充分性问题判断】
（1）方程$a{x}^2+bx+c=0$的二次系数$a\ne 0$；
（2）一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0$根的判别式$△=b^2-4ac\ge 0$
——【 求根公式：
$x_{1,2}$=$\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}$
$⟹$ 韦达定理为$x_1+x_2=\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}＋\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}=-\frac{b}{a}$
$⟹$ 韦达定理为$x_1\cdot x_2=\frac{-b＋\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ast \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a}$
$⟹$ 弦长公式为$|x_1-x_2|=|\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}|=\frac{\sqrt{△}}{|a|}$ 【$|x_1-x_2|$中文表达：方程两根之差的绝对值=方程两根之间的距离=函数抛物线在x轴上的截距=函数抛物线截x轴的长度=函数抛物线与两坐标轴围成的三角形的底边长】
$⟹$ 顶点y为求根公式的另一半，上面开方下面乘2=$-\frac{△}{4a}$
$⟹$ 顶点△面积为$\frac{1}{2}\cdot |y|\cdot |x_1-x_2|=|\frac{－△}{4a}|\ast \frac{\sqrt{△}}{|a|}=\frac{(\sqrt{△}{)}^3}{8a^2}$】
PS：韦达定理是由求根公式推导而来，因此使用韦达定理求解参数值或取值范围要满足上述两个条件。
韦达定理拓展/根的高次幂：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=-\frac{b}{c}$
$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2}{(x_1{x}_2{)}^2}=\frac{b^2-2ac}{c^2}$
$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2}=\sqrt{{x_1+x_2}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$——【$|x_1-x_2|$中文表达：方程两根之差的绝对值=方程两根之间的距离=函数抛物线在x轴上的截距=函数抛物线截x轴的长度=函数抛物线与两坐标轴围成的三角形的底边长】
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=\frac{b^2-2ac}{a^2}$
$x_1^2-x_2^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2)$
$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2)=(x_1+x_2)[(x_1+x_2{)}^2-3x_1{x}_2]$
根的高次幂问题：先通过迭代将次法，将所求代数式降低次数，再利用韦达定理求值。——【遇到复杂的整式或者分式时，将其分解为韦达定理能用的式子为止。】

根的符号/正负：——【两看：根个数看△，正负看韦达定理/abc符号】——【根的分布：正负根、区间根、有理根、整数根】
（1）方程有两个正根——【等价于：ab异号、ac同号且△≥0】$$\{\begin{array}{ll}{x}_1+x_2＞0& \\ x_1{x}_2＞0& \\ △\ge 0& \text{两个不等正根为△＞0}\end{array}$$
（2）方程有两个负根——【等价于：a、b、c同号且△≥0】$$\{\begin{array}{ll}{x}_1+x_2＜0& \\ x_1{x}_2＞0& \\ △\ge 0& \text{两个不等正根为△＞0}\end{array}$$
（3）方程有一正一负根——【等价为：a、c异号=ac＜0】$$\{\begin{array}{ll}{x}_1\cdot x_2＜0& \\ △＞0& \text{ac＜0此时必有△＞0，此条件可不写}\end{array}$$
若再要求$|正根|＞|负根|$，有——【等价为：a、c异号；a、b异号】$$\{\begin{array}{ll}{x}_1\cdot x_2＜0& \text{⟺ac＜0}\\ x_1+x_2＞0& \text{⟺ab＜0}\end{array}$$
若再要求$|负根|＞|正根|$，有——【等价为：a、c异号；a、b同号】$$\{\begin{array}{ll}{x}_1\cdot x_2＜0& \text{⟺ac＜0}\\ x_1+x_2＜0& \text{⟺ab＞0}\end{array}$$

根的区间：——【根的分布：正负根、区间根、有理根、整数根】
——【根的区间 $⟹$ 端点
$⟹$ 两根位于不同区间，仅看四个端点；
$⟹$ 两根位于相同区间，需看两点=顶点+端点】
若一元二次方程的两根分布在某一特定区间内，则把一元二次方程转化为一元二次函数，结合一元二次函数的图像的抛物线来解决问题。即设一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0$为$f(x)$，根为$x_1,x_2$。为了讨论方便，我们只讨论$a＞0$的情况，考试时，如果a的符号不定，则需要先讨论开口方向。
（1）两根位于同一区间——【需看“两点”，即看顶点（横坐标相当于看对称轴，纵坐标相当于看△）、看端点（根所分布区间的端点）】——【同一区间反而更不自由，相比不同区间，少了两个端点，所以找了对称轴和△来帮忙】
① 若$a＞0$，两根都大于$m$，则有
$$\{\begin{array}{ll}f(m)＞0& \text{(看端点)}\\ -\frac{b}{2a}＞m& \text{(看顶点)}\\ △\ge 0& \text{(定相交)}\end{array}$$
②若$a＞0$，两根都小于$m$，则有
$$\{\begin{array}{ll}f(m)＞0& \text{(看端点)}\\ -\frac{b}{2a}＜m& \text{(看顶点)}\\ △\ge 0& \text{(定相交)}\end{array}$$
③ 若$a＞0$，两根都在$(m,n)$上，则有
$$\{\begin{array}{ll}f(m)＞0& \text{(看端点)}\\ f(n)＞0& \text{(看端点)}\\ m＜-\frac{b}{2a}＜n& \text{(看顶点，只依赖端点，会出现顶点不在区间内，在区间左边，也可以满足上述两端点的要求，所以需要对称轴进行限制)}\\ △\ge 0& \text{(图像可能不与x轴相交，所以需要△进行限制)}\end{array}$$

（2）两根位于不同区间——【仅看端点（根所分布区间的端点）】——【根的区间需要端点，四个端点不需要顶点】
① 若$a>0$，方程的一根大于$k$，另外一根小于$k$，即$x_1＜k＜x_2$，则有$f(k)＜0$(看端点)。
② 若$a＞0$，一根在$(m,n)$内，另外一根在$(a,b)$内则有：
$$\{\begin{array}{ll}f(m)＞0& \\ f(n)＜0& \text{(看端点)}\\ f(a)＜0& \\ f(b)＞0& \end{array}$$
or 精简为：
$$\{\begin{array}{l}f(m)\cdot f(n)＜0\\ f(a)\cdot f(b)＜0\end{array}$$
说明：此处需要将方程转换成函数，图形结合进行理解，即结合一元二次函数的图像抛物线解决问题。
技巧：画出题干条件中的图像，然后根据区间，再讨论端点函数值与零的关系，列不等式求解。

根的有理根：——【根的分布：正负根、区间根、有理根、整数根】
$a,b,c$均为有理数，$△=k^2$（k为有理数）
有理系数一元二次方程有两个有理根的条件为：$△$为完全平方

根的整数根：——【根的分布：正负根、区间根、有理根、整数根】
$a,b,c$均为整数，$$\{\begin{array}{ll}△为完全平方数& \\ x_1+x_2=-\frac{b}{a}\in Z& \text{即a是b,c的公约数}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}\in Z& \end{array}$$

根的倒数根：——【理解记忆法：由韦达定理可推导】
若方程$a{x}^2+bx+c=0$有两根$e，f(其中a\ne 0，c\ne 0)$，则有
（1）方程$a{x}^2-bx+c=0$的两根为$-e，-f$；
（2）方程$c{x}^2+bx+a=0$的两根为$\frac{1}{e}，\frac{1}{f}$；
（3）方程$c{x}^2-bx+a=0$的两根为$-\frac{1}{e}，-\frac{1}{f}$。

根 y的最值：
若已知方程$a{x}^2+bx+c=0$的两根为$x_1,x_2$，则$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$的最值为$f(\frac{x_1+x_2}{2})$。

四次方程或绝对值方程的根：
判断形如$a|x{|}^2+b|x|+c=0(a\ne 0)$或者$a{x}^4+b{x}^2+c=0(a\ne 0)$的方程根的情况（相等的根算作1个）。
解题方法：
换元法，令$t=|x|$或$t=x^2$，则原式化为$a{t}^2＋bt+c=0(a\ne 0)$，其中$t\ge 0$，则有：
（1）关于x的方程有4个不等实数 $⟺$ 关于t的方程有2个不等正根；
（2）关于x的方程有3个不等实根 $⟺$ 关于t的方程有1个根是0，另外1个根是正数；
（3）关于x的方程有2个不等实根 $⟺$ 关于t的方程有2个相等正根，或者有1个正根1个负根(负根应舍去)；
（4）关于x的方程有1个实根 $⟺$ 关于t的方程的根为0，或者1个根为0，另外一个根是负数(应舍去)；
（5）关于x的方程无实根 $⟺$ 关于t的方程无实根，或者根为负数(应舍去)。
这样，就转化成了正负根问题。

——其他方程——
分式方程
求解步骤：
第一步：移项，通分，将原方程转化为标准形式$\frac{f(x)}{g(x)}=0$；
第二步：去分母，使$f(x)=0$，解出$x=x_0$；
第三步：验根：将$x=x_0$代入$g(x)$，若$g(x_0)$=0，则$=x_0$为增根，应舍去；若$g(x_0)\ne 0$，则$x=x_0$为原方程的根。
无解陷阱：
解分式方程的过程中，若方程无解，则需考虑两种情况：
（1）去分母后的方程无解；
（2）去分母后的方程的解是增根。常见易错点是漏掉（1）的情况。

根式方程
求解步骤：关键在于去根号和考虑根式是否有意义
$\sqrt{f(x)}=g(x)$型根式方程：解方程组$f(x)=g^2(x)$&$f(x)\ge 0$&$g(x)\ge 0$；
$f(\sqrt{x})=0$型根式方程：①令$\sqrt{x}=t(t\ge 0)$；②原方程转化为$f(t)=0$的形式并求解得到t的值（注意$t＜0$的值要舍去）；③原方程的解为$x=t^2$。

指数方程
（1）同底去底法：$a^{f(x)}=a^{g(x)}$ $⟺$ $f(x)=g(x)$；
（2）化成对数式：$a^{f(x)}=b$ $⟺$ $a^{f(x)}=a^{lo{g}_{a}b}$ $⟺$ $f(x)=lo{g}_{a}b$；——【$a^{lo{g}_{a}b}=b$】
（3）取同底对数：$a^{f(x)}=b^{g(x)}$ $⟺$ $lg{a}^{f(x)}=lg{b}^{g(x)}$ $⟺$ $f(x)lga=g(x)lgb$。
对数方程
（1）同底去底法：$lo{g}_{a}f(x)=lo{g}_{a}g(x)$ $⟺$ $f(x)=g(x)$；
（2）化成指数式：$lo{g}_{a}f(x)=b$ $⟺$ $lo{g}_{a}f(x)=lo{g}_a{a}^b$ $⟺$ $f(x)=a^b$；
（3）取同底指数：$lo{g}_{a}f(x)=b$ $⟺$ $a^{lo{g}_{a}f(x)}=a^b$ $⟺$ $f(x)=a^b$。

绝对值方程
常用处理绝对值的方法：
（1）分段讨论法
根据绝对值的正负情况来分类讨论，其缺点是运算量较大，只有当绝对值比较简单时，才分段讨论求解。
（2）平方法
采用平方来去掉绝对值，利用公式$|x{|}^2=x^2$来分析求解，平方法的缺点是次方升高，一般结合平方差公式来转移此缺点。
（3）图像法

解题步骤：
（1）$|f(x)|=a(a\ge 0)$ $⟹$ $f(x)=\pm a$
（2）$|f(x)|=g(x)$ $⟹$ $g(x)\ge 0$且$f(x)=\pm g(x)$
（3）$|f(x)|=|g(x)|$ $⟹$ $f(x)=\pm g(x)$或$f^2(x)=g^2(x)$
（4）分类讨论法去绝对值符号，再解方程

整体+局部

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