管理类联考——数学——汇总篇——知识点突破——代数——数列——记忆

本篇思路：根据各方的资料，比如名师的资料，按大纲或者其他方式，收集/汇总考点，即需记忆点，在通过整体的记忆法，比如整体信息很多，通常使用记忆宫殿法，绘图记忆法进行记忆，针对局部/细节/组成的部分，可通过多种方法，比如联想记忆法、理解记忆法等进行进一步记忆。

考点

通过汇总各方大佬资料，作为收集考点/记忆点的信息输入：资料输入处，收集汇总如下：

记忆/考点汇总——按大纲

一、数列——整体：
核心信息/记忆关键点的汇总，可以通过绘图记忆法、记忆宫殿法等方式记忆

1.等差数列：项（通项，中项）、和（求和，下标和，连续等长片段和）、比（奇数项与偶数项和之差与之比、相同的奇数项和之比）、数列的判定、轮换对称性、最值——【绘图记忆法：很差的两只大象（项）过河（和）去比赛，（体力很差）遇到轮换最害怕】
2.等比数列：项（通项，中项）、和（求和、下标和，连续等长片段和、所有项和）、比（偶数项与奇数项和之比，求和之比）、数列的判定——【绘图记忆法：傻比的两只大象（项）过河（和）去比赛，】

二、数列——细节：
核心信息/记忆关键点的具体内容，或者是记忆关键点转换为具体考点的链接，可以通过联想、推导等方法记忆，重点在于建立考点与记忆关键点的联系，比如通过绘图记忆法记出记忆关键点，最后通过记忆关键点回忆出具体内容，才是最终目的

1.等差数列：项（通项，中项）、和（求和，下标和，连续等长片段和）、比（奇数项与偶数项和之差与之比、相同的奇数项和之比）、数列的判定、轮换对称性、最值

通项：$$a_n=\{\begin{array}{ll}{a}_1=S_1,& \text{n=1}\\ S_n-S_{n-1},& \text{n≥2}\end{array}$$$a_n=a_1+(n-1)d=a_k+(n-k)d=nd+a_1-d$——【类比记忆法：形如一次函数】
中项：$2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}（n\in N_{+}）$
求和：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n=n{a}_{\frac{n+1}{2}}（n为偶数时，可虚拟小数）$——【类比记忆法：梯形面积公式=首尾x相加乘以项数除以2，形如一个不含常数项的二次函数】
下标和：$m+n=p+q$，则$a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q（m,n,p,q\in Z^{+}）$
连续等长片段和：$S_n，S_{2n}-S_n，S_{3n}-S_{2n}......$仍成等差数列，新公差为$d{n}^2$——【对比记忆法：新公差为项数n的平方，新公比为项数n次方】
奇数项和与偶数项和之差与之比：若等差数列一共有$2n$项，则$S_{偶}-S_{奇}=nd，\frac{S_{偶}}{S_{奇}}=\frac{a_{n+1}}{a_n}$。若等差数列一共有$2n—1$项，则$S_{奇}-S_{偶}=a_n$，$\frac{S_{奇}}{S_{偶}}=\frac{n}{n-1}$，$S_{2n-1}=S_{奇}+S_{偶}=(2n-1)a_n$——
相同的奇数项和之比：等差数列{$a_n$}和{$b_n$}的前$2k-1$项和分别为$S_{2k-1}$和$T_{2k-1}$表示，则：$\frac{a_k}{b_k}$=$\frac{S_{2k-1}}{T_{2k-1}}$ ——【推导：由求和公式$S_n=n{a}_{\frac{n+1}{2}}$可得】
轮换对称性：
（1）若$a_m=n$，$a_n=m$，则$a_{m+n}=0$，此时$S_{m+n}$为最值。
（2）若$S_m=n$，$S_n=m(m\ne n)$，则$S_{m+n}=-(m+n)$。
（3）若$S_m=S_n$，则$S_{m+n}=0$，$S_{\frac{m+n}{2}}$为最值$（m+n=2k，k\in Z^{+}）$
最值：
1.等差数列前n项和$S_n$有最值的条件
（1）若$a_1<0，d>0$时，$S_n$有最小值。
（2）若$a_1>0，d<0$时，$S_n$有最大值。
2.求解等差数列$S_n$最值的方法
（1）一元二次函数法
等差数列的前n项和可以整理成一元二次函数的形式：$S_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$，对称轴为$n=-\frac{a_1-\frac{d}{2}}{2\times \frac{d}{2}}=\frac{1}{2}-\frac{a_1}{d}$，最值取在最靠近对称轴的整数处。
特别地，若$S_m=S_n$，即$S_{m+n}=0$时，对称轴为$\frac{m+n}{2}$。
（2）$a_n$=0法
最值一定在“变号”时取得，可令a=0，则有
① 若解得n为整数，则$S_n=S_{n-1}$均为最值。例如，若解得n=6，则$S_6=S_5$为其最值。
② 若解得n为非整数，则当n取其整数部分m（m=[n]）时，$S_m$取到最值。例如，若解得n=6.9，则$S_6$为其最值。

2.等比数列：项（通项，中项）、和（求和、下标和，连续等长片段和、所有项和）、比（偶数项与奇数项和之比，求和之比）、数列的判定
通项：$a_n=a_1{q}^{n-1}=a_k{q}^{n-k}=\frac{a_1}{q}{q}^n$
中项：$a_{n+1}^2=a_n{a}_{n+2}(n\in N_{+})$
求和：$$S_n=\{\begin{array}{ll}n{a}_1,& \text{q=1}\\ \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_{n}q}{1-q}=\frac{a_1-a_{n+1}}{1-q},& \text{q不=1}\end{array}$$——【】
下标和：$m+n=p+q$，则$a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q（m,n,p,q\in Z^{+}）$
连续等长片段和：$S_n，S_{2n}-S_n，S_{3n}-S_{2n}，......$仍成等比数列，新公比为$q^n$——【新公比为旧公比的q的n次方】
所有项和：当$n\to +\infty$，且$|q|＜1$，$q\ne 0$时，$S=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1}{1-q}$，有时候虽然n并没有趋近于正无穷，但只要n足够大，也可以用这个公式进行估算。【注意】只有对于无穷递缩等比数列$（|q|<1，q\ne 0）$，才存在所有项和，等差数列不存在所有项和。——【推导：当$n\to +\infty$，且$|q|＜1$，$q\ne 0$时，得$q^n\to 0$】
偶数项和与奇数项和之比：若等比数列一共有$2n$项，则$\frac{S_{偶}}{S_{奇}}=q$。——【推导：$a_2+a_4+a_6+\dots +a_{2n}=a_{1}q+a_{3}q+a_{5}q+\dots +a_{2n-1}q=(a_1+a_3+a_5+...+a_{2n-1})q\Rightarrow \frac{S_{偶}}{S_{奇}}=q$】。若等比数列一共有$2n一1$项，则$S_{奇}$与$S_{偶}$之间的关系无规律。
求和之比：当$q\ne 1$时，$\frac{S_n}{S_m}=\frac{1-q^n}{1-q^m}$

3.等差等比综合
组合数列：若数列{$a_n$}满足$a_n=b_n\times c_n$，其中{$b_n$}为等差数列，{$b_n$}为等差数列，{$c_n$}为等比数列，则可使用错位相减法。

记忆/考点汇总——按特点

利用大多数公式都有$a_n$或$S_n$，进行关键字提炼，然后将关键字放到对应记忆桩中，利用桩内物品，记忆扩展后的句子或者关键句。

1. $a_n$：
   （1）等差通项：$a_n=a_1+(n-1)d=a_k+(n-k)d=nd+a_1-d$；
   （2）等比通项：$a_n=a_1{q}^{n-1}=a_k{q}^{n-k}=\frac{a_1}{q}{q}^n$。
2. $a_n相加$：
   （1）等差中项：在等差数列{${\alpha }_n$}中，$2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}(n\in N_{+})$。
   （2）下标和定理：若数列{$a_n$}是等差数列，$m,n,p,q,w$都是正整数，$m+n=p+q=2w$，则$a_m+a_n=a_p+a_q=2a_w$。
3. $a_n相减$：类等差用累加法。
4. $a_n相除$：类等比用累乘法。
5. $a_n相乘$：
   （1）等比中项：在等比数列{${\alpha }_n$}中，$a_{n+1}^2=a_n{a}_{n+2}(n\in N_{+})$。
   （2）下标和定理：若数列{$a_n$}是等比数列，$m,n,p,q\in Z^{+}$，$m+n=p+q$，则$a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q$。
6. $a_n和S_n$：等差口诀：d为最高次项系数和次数的乘积，$a_1$为各项系数之和。
7. $S_n$：
   （1）等差求和：$S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}\cdot n^2+(a_1-\frac{d}{2})n$；
   （2）等比求和：$$S_n=\{\begin{array}{ll}n{a}_1,& \text{q=1}\\ \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_{n}q}{1-q}=\frac{a_1-a_{n+1}}{1-q},& \text{q不=1}\end{array}$$
8. $S_n相减$：
   （1）等差数列{$a_n$}的连续等长片段和仍成等差数列，如$S_m，S_{2m}-S_m，S_{3m}-S_{2m}$仍成等差数列，新公差为$m^{2}d$。
   （2）等比数列{$a_n$}的连续等长片段和仍成等比数列，如$S_m，S_{2m}-S_m，S_{3m}-S_{2m}$仍成等比数列，新公比为$q^m$。
9. $S_n相除$：
   （1）等差数列求和之比：等差数列{$a_n$}和{$b_n$}的前$2n-1$项和分别为$S_{2n-1}$和$T_{2n-1}$表示，则：$\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}$。
   （2）等比数列求和之比：当$q\ne 1$时，$\frac{S_n}{S_m}=\frac{1-q^n}{1-q^m}$ 。
10. $S_n奇偶$：
    （1）共有偶数项：若等差数列一共有$2n$项，则$S_{偶}-S_{奇}=nd，\frac{S_{偶}}{S_{奇}}=\frac{a_{n+1}}{a_n}$。
    （2）共有奇数项：若等差数列一共有$2n—1$项，则$S_{奇}-S_{偶}=a_n=a_{中间项}$，$\frac{S_{奇}}{S_{偶}}=\frac{n}{n-1}$，所有项之和$S_{2n-1}=(2n-1)a_n$。
    （3）共有偶数项：若等比数列一共有$2n$项，则$\frac{S_{偶}}{S_{奇}}=q$。【推导：$a_2+a_4+a_6+\dots +a_{2n}=a_{1}q+a_{3}q+a_{5}q+\dots +a_{2n-1}q=(a_1+a_3+a_5+...+a_{2n-1})q\Rightarrow \frac{S_{偶}}{S_{奇}}=q$】
    （4）共有奇数项：若等比数列一共有$2n一1$项，则$S_{奇}$与$S_{偶}$之间的关系无规律。
11. $S没有n$： 只有对于无穷递缩等比数列（ lq|<1，q≠0)，才存在所有项和。当$n\to \infty$时，$q^n\to 0$，所以$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\to S=\frac{a_1}{1-q}$。【注意】等差数列不存在所有项和。
12. $S_n最值$：
    （1）等差数列{$a_n$}

整体

记忆宫殿法

记忆内容：记忆/考点汇总——按大纲
记忆方法：记忆宫殿法，参考https://blog.csdn.net/stqer/article/details/133806265
记忆步骤：
1.确认记忆桩：由于数列是代数的一部分，所以它需要放到代数的宫殿中，故先确定代数的宫殿，数列的宫殿是代数的宫殿的一部分。可以多找不同的记忆桩，找到更合适的记忆桩，有利于更深的记忆。

绘图记忆法

记忆内容：记忆/考点汇总——按大纲
记忆方法：使用字头歌诀法+绘图记忆法：参考https://blog.csdn.net/stqer/article/details/133803817

记忆步骤：
1.记忆信息化繁为简，字头歌诀：
（1）1.等差数列：项（通项，中项）、和（求和，下标和，连续等长片段和）、比（奇数项与偶数项和之差与之比、相同的奇数项和之比）、数列的判定、轮换对称性、最值——【绘图记忆法：很差的两只大象（项）过河（和）去比赛，（体力很差）遇到轮换最害怕】
2.绘制图画记忆：

局部

重点记忆法

抓住一个重点，去推导，去联想。

$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n=n{a}_{\frac{n+1}{2}}（n为偶数时，可虚拟小数）$——【类比记忆法：梯形面积公式，形如一个不含常数项的二次函数】
其中，数列的项的序号本应取正整数，但有时可虚拟一个小数0.5，求解会更简便。将公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$转化为$S_n=n{a}_{\frac{n+1}{2}}$（n为偶数时，可虚拟小数），比如$S_{10}=10a_{5.5}$。同样，有$a_m+a_n=2a_{\frac{m+n}{2}}$，比如$a_3+a_8=2a_{5.5}$。尤其是做选择题时，不需要参考解题过程评分，利用这样的方式来处理更准、更快。

$S_n=n{a}_{\frac{n+1}{2}}（n为偶数时，可虚拟小数）$又称为等差数列求和大招公式

等差数列 $⟹$ 通项公式$a_n=a_1+(n-1)d=a_k+(n-k)d=nd+a_1-d$ $⟹$ 求和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n=n{a}_{\frac{n+1}{2}}（n为偶数时，可虚拟小数）$ 其中， $S_n=n{a}_{\frac{n+1}{2}}$ $⟹$ 相同的奇数项和之比$\frac{a_k}{b_k}$=$\frac{S_{2k-1}}{T_{2k-1}}$ $⟹$ 等差中项

数字编码法

学习记忆——记忆宫殿——编码——数字编码和字母编码——两位数
学习记忆——记忆宫殿——编码——数字编码——数字声母

连续等长片段和

连续等长片段和：$S_n，S_{2n}-S_n，S_{3n}-S_{2n}......$仍成等差数列，新公差为$n^{2}d$——【等长片段=每个数列个数相同；n的平方d】
连续等长片段和：$S_n，S_{2n}-S_n，S_{3n}-S_{2n}，......$仍成等比数列，新公比为$q^n$——【q的n次方】

n为门，2为鸭，d为弟弟，q为企鹅

连续等长片段和：等差是门上有只鸭子，门旁站着弟弟。等比是企鹅头上顶着门。

理解记忆法

公式推导掌握数学公式

等差数列通项和求和公式

1.等差数列通项$a_n$
$a_n=a_1+(n-1)d=a_k+(n-k)d=nd+a_1-d=An+B$，∴$A=d，B=a_1-d$
评注：若已知两个元素，要会求公差$d=\frac{a_n-a_m}{n-m}$
2.等差数列前n项和$S_n$
$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}\cdot n^2+(a_1-\frac{d}{2})n=C{n}^2+Dn$，∴$C=\frac{d}{2}，D=a_1-\frac{d}{2}$
由1和2可得：
$S_n$的二次项系数是$a_n$一次项系数的一半
$a_n$的一次项系数是$S_n$二次项系数的二倍
$A＋B=C＋D$

$S_n=n{a}_{\frac{n+1}{2}}$

$S_n=n{a}_{\frac{n+1}{2}}$有求和公式和等差中项所得：
∵中项：$2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}（n\in N_{+}）$
求和：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$
∴$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{2a_{\frac{n+1}{2}}}{2}=n{a}_{\frac{n+1}{2}}$

等差数列奇数项和与偶数项和之差与之比

推导：求和公式（首尾相加乘以项数除以2）+ 等差中项

等比数列偶数项和与奇数项和之比

推导：求和公式

归类记忆法

歌诀记忆法

等差数列系数

等差数列$a_n$的系数特征：一次项系数是公差；系数之和是首项。
等差数列$S_n$的系数特征：二次项系数是半公差，系数之和是首项。
等比数列正负性：同奇同偶项，正负性一样。

数列

等差等比两数列，通项公式N项和。

两个有限求极限，四则运算顺序换。

数列问题多变幻，方程化归整体算。

数列求和比较难，错位相消巧转换，

取长补短高斯法，裂项求和公式算。

归纳思想非常好，编个程序好思考：

一算二看三联想，猜测证明不可少。

还有数学归纳法，证明步骤程序化：

首先验证再假定，从K向着K加1，

推论过程须详尽，归纳原理来肯定。

对比记忆法

连续等差片段和

连续等长片段和：$S_n，S_{2n}-S_n，S_{3n}-S_{2n}......$仍成等差数列，新公差为$n^{2}d$——【等长片段=每个数列个数相同；d乘以n的平方】
连续等长片段和：$S_n，S_{2n}-S_n，S_{3n}-S_{2n}，......$仍成等比数列，新公比为$q^n$——【q的n次方】
由上对比可得：连续等长片段和中，新公差为：旧公差d$\ast$项数n的平方；新公比为：旧公比q$\ast$项数n次方。再次提炼，连续等差片段和的新公差（比）与旧公差（比）和项数有关，区别是新公差需要项数的平方，新公比需要项数次方。（注意不是项数的次方，项数次方）

奇数项和偶数项和

1.等差数列的奇数项和与偶数项和之差与之比：
（1）若等差数列一共有$2n$项，则$S_{偶}-S_{奇}=nd，\frac{S_{奇}}{S_{偶}}=\frac{a_n}{a_{n+1}}$，$S_{2n}=S_{奇}+S_{偶}=n(a_n+a_{n+1})$。
（2）若等差数列一共有$2n—1$项，则$S_{奇}-S_{偶}=a_n$，$\frac{S_{奇}}{S_{偶}}=\frac{n}{n-1}$，$S_{2n-1}=S_{奇}+S_{偶}=(2n-1)a_n$。——【推导：求和公式+等差中项】。

2.等比数列的偶数项和与奇数项和之比：
（1）若等比数列一共有$2n$项，则$\frac{S_{偶}}{S_{奇}}=q$。——【推导：$a_2+a_4+a_6+\dots +a_{2n}=a_{1}q+a_{3}q+a_{5}q+\dots +a_{2n-1}q=(a_1+a_3+a_5+...+a_{2n-1})q\Rightarrow \frac{S_{偶}}{S_{奇}}=q$】。
（2）若等比数列一共有$2n一1$项，则$S_{奇}$与$S_{偶}$之间的关系无规律。

由上对比可得：
（1）等差方面，当项数为2n时，$S_{奇}=n{a}_n$，$S_{偶}=n{a}_{n+1}$。当项数为2n-1时，$S_{奇}=n{a}_n$，$S_{偶}=(n-1)a_n$
（2）等比方面，等比数列偶数项和与奇数项和之比为q，连续等长片段和新公比为$q^n$

区别：对于等差数列的奇数项和偶数项问题，主要看两者相差多少个公差；对于等比数列的奇数项和偶数项问题，主要看两者相除得到公比的次方。

转成图像法

学习记忆——数学篇——转图像记忆法

等比求和公式

$$S_n=\{\begin{array}{ll}n{a}_1,& \text{q=1}\\ \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_{n}q}{1-q}=\frac{a_1-a_{n+1}}{1-q},& \text{q不=1}\end{array}$$

等傻比求和，就如同：桥底下，拿笔和箭给企鹅；桥上，左边有颗苹果屁股被笔插着，右边拿笔和箭给被门砸到头的企鹅。

等沙比求和，就如同：桥底有一件（箭）企鹅（皮肤），桥上有第一个苹果和一件（箭）被门砸头的企鹅（皮肤）
为什么分号上是一件被门砸的企鹅，分号下是一件企鹅，因为企鹅比较矮，需要爬上桥，才能被门砸到，或者，桥底有桥保护，桥上没有遮挡物。

等沙比求和，需要桥底放1件企鹅，桥上放第一个苹果和被门砸到的意见企鹅。

秒杀技巧法

等差数列$a_n$与$S_n$的快速转换

在已知$a_n$(或$S_n$)的表达式时，可以快速写出$S_n$(或$a_n$)的表达式，不用每次都先算出$a_1$和d的值，方法如下:
（1）若已知$a_n$的表达式为$a_n=An＋B$，求$S_n$的表达式，只需两步：
第一步，$S_n$的二次项系数是$a_n$一次项系数的一半，即$C=\frac{A}{2}$；
第二步，利用$A＋B=C＋D$求出D，即$D=A＋B-C$。
（2）若已知$S_n$的表达式为$S_n=C{n}^2+Dn$，求$a_n$的表达式，只需两步：
第一步，$a_n$的一次项系数是$S_n$二次项系数的二倍，即A=2C；
第二步，利用$A＋B=C＋D$求出B，即$B=C＋D-A$。

推导：
1.通项$a_n$
$a_n=a_1+(n-1)d=a_k+(n-k)d=nd+a_1-d=An+B$，∴$A=d，B=a_1-d$
评注：若已知两个元素，要会求公差$d=\frac{a_n-a_m}{n-m}$
2.前n项和$S_n$
$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\times n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}\cdot n^2+(a_1-\frac{d}{2})n=C{n}^2+Dn$，∴$C=\frac{d}{2}，D=a_1-\frac{d}{2}$

轮换对称性公式

等差数列中除了通过计算首项$a_1$，与公差d的方式进行求解，还有一些结论性秒杀公式。若已知项的下标与数值反复出现，则称其为“轮换对称性公式”，有如下三种情况：
（1）若$a_m=n$，$a_n=m$，则$a_{m+n}=0$，此时$S_{m+n}$为最值。
（2）若$S_m=n$，$S_n=m(m\ne n)$，则$S_{m+n}=-(m十n)$。
（3）若$S_m=S_n$，则$S_{m+n}=0$，$S_{\frac{m+n}{2}}$为最值$（m+n=2k，k\in Z^{+}）$。

设等差数列为常数列

在等差数列的题干中，若无明显表述或无法分析得出数列的单调性——递增性或递减性，则可直接将数列特殊化处理，即设为常数列$a_n=a_1$，则由$S_n=n{a}_1$可进行快速求解。

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1. 特殊值秒解数列
   当数列题目中只有一个条件时，在不违背题意的条件下，可以直接利用特殊值， 令其公差为0或公比为1。
   注意：一定要检验是否符合题意，题目中如果出现公差不为0或公比不为1，则慎用此法。

2. 找规律秒解年份题
   当出现与年份相关的数列题目时，题目本身难度比较大。比如，出现2021，2022，2023类似这样的数字，我们完全可以通过逐个分析选项，根据规律判断选项是否符合题意，来决定哪个选项正确，从而“化腐朽为神奇”。