管理类联考——数学——汇总篇——知识点突破——几何——解析几何——记忆

本篇思路：根据各方的资料，比如名师的资料，按大纲或者其他方式，收集/汇总考点，即需记忆点，在通过整体的记忆法，比如整体信息很多，通常使用记忆宫殿法，绘图记忆法进行记忆，针对局部/细节/组成的部分，可通过多种方法，比如联想记忆法、理解记忆法等进行进一步记忆。

考点

通过汇总各方大佬资料，作为收集考点/记忆点的信息输入：XX，收集汇总如下：

汇总考点的必要，或者说，汇总记忆的内容的必要，不言而喻，首先，你要记忆东西，得有东西，所以你要梳理出你需要记忆的全部东西，其次，在收集多个大佬的梳理的考点，又可以找出各条逻辑帮助记忆考点，所以，梳理考点是很有必要的，是记忆的基础，是记忆宫殿里面的物品，是我们最后考试需要去找到的解题物品。

记忆/考点汇总——按大纲

——点——
两点中点坐标：两点$P_1(x_1,y_1)$与$P_2(x_2,y_2)$的中点坐标为($\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}$)
两点距离公式：两点$A(x_1,y_1)$与$B(x_2,y_2)$之间的距离$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$——【理解记忆法：三角形勾股定理推出两点距离公式】
两点斜率公式：设直线$l$上有两个点$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，则直线$l$的斜率$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x_1\ne x_2)$
——线——
斜率：$k=tan\alpha$，$(\alpha \ne \frac{\pi }{2})$，当$\alpha \in [0,\frac{\pi }{2})$时，$k\in [0,+\infty )$；当$\alpha =\frac{\pi }{2}$时，直线的斜率不存在；当$\alpha \in (\frac{\pi }{2},\pi )$时，$k\in (-\infty ,0)$。直线的斜率反映了直线对x轴的倾斜程度。
常见斜率：$k=tan30^{。}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；$tan45^{。}=1$；$tan60^{。}=\sqrt{3}$；$tan90^{。}=\infty$；$tan120^{。}=-\sqrt{3}$；$tan135^{。}=-1$；$tan150^{。}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。
斜率正负：当$0^{。}＜\alpha ＜90^{。}时，k＞0$；当$\alpha =0^{。}时，k=0$；当$90^{。}＜\alpha ＜180^{。}时，k＜0$。
斜率变化：直线顺时针旋转斜率变小，直线逆时针旋转斜率变大。（以$90^{。}$的竖直直线为分界线）
斜率与倾斜角：倾斜角从$0^{。}$增大到$90^{。}$时，斜率从0增大到正无穷；倾斜角从$90^{。}$增大到$180^{。}$时，斜率从负无穷增大到0。
直线方程斜截式：若已知斜率k和y轴截距b，直线可表示为$y=kx+b$——【固定做题法：表示直线方程用斜截式】
直线方程点斜式：若已知斜率k和某点（$x_0，y_0$），直线可表示$y=y_0+k(x-x_0)$或$\frac{y-y_0}{x-x_0}=k$——【固定做题法：求直线方程用点斜式】
直线方程截距式：若已知x轴和y轴截距分别为a，b，直线可表示为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$
直线方程两点式：若已知两点坐标（$x_1,y_1$），（$x_2,y_2$），直线可表示为$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$
直线方程一般式：$ax+by+c=0$（a,b不全为零）——【一次函数】——【固定做题法：涉及点到直线距离公式时用一般式】

——距离——
两点距离公式：两点$A(x_1,y_1)$与$B(x_2,y_2)$之间的距离$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$——【三角形的勾股定理可以推出解析几何的点到直线距离公式】
点到直线的距离公式：$l:ax+by+c=0$，点($x_0,y_0$)到$l$的距离为$d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$——【理解记忆法：法向量】
两平行直线之间的距离公式：$l_1:ax+by+c_1=0$；$l_2:ax+by+c_2=0$，那么$l_1$与$l_2$之间的距离为$d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$——【只有平行的直线间才存在距离】
点与直线的对称点坐标公式：$l:ax+by+c=0$，点($x_0,y_0$)关于$l$的对称点的坐标公式：$(x_0-2a\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2},y_0-2b\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2})$，汉化版：$所求对称点＝()$——【与点到直线距离公式类似，但是分母没有根号，分子又多了2a/b，还是差，又很不一样】
直线关于直线对称直线公式：直线$ax+by+c=0$关于直线$Ax+By+C=0$的对称直线公式为$\frac{ax+by+c}{Ax+By+C}=\frac{2aA+2bB}{A^2+B^2}＝\frac{2(Aa+Bb)}{A^2+B^2}$，汉化版：$所求对称直线＝\frac{已知对称直线}{对称轴直线}＝\frac{2倍的(未知数x系数乘积加未知数y系数乘积)}{对称轴直线直线系数平方和}$——【秒杀应用法】
两直线间的夹角公式：设两直线的斜率分别为$k_1，k_2$，两直线夹角为α，则$tan\alpha =|\frac{k_1-k_2}{1+k_1{k}_2}|$

——直线——位置——
两直线位置关系：斜截式：$l_1:y=k_{1}x+b_1$，$l_2:y=k_{2}x+b_2$
重合：$l_1//l_2$ $⟺$ $k_1=k_2，b_1=b_2$——【重合为两条直线斜率相等且截距相等】——【求平行直线方程时，易忘记排除重合的情况】
平行：$l_1//l_2$ $⟺$ $k_1=k_2，b_1\ne b_2$ ——【平行为两条直线斜率相等但截距不相等】
相交：$k_1\ne k_2$——【相交为两条直线的斜率不相等】
垂直：$l_1\perp l_2$ $⟺$ $k_1{k}_2=-1$或者$k_1=0$，$k_2$不存在（$l$垂直与$x$轴）——【垂直分两种，一是斜率存在且乘积为-1；二是一条斜率不存在，一条斜率为0，即一条平行x轴，一条平行y轴】——【容易漏掉垂直的特殊情况】

两直线位置关系：一般式：$l_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$，$l_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$
重合：$l_1//l_2$ $⟺$ $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$
平行：$l_1//l_2$ $⟺$ $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$ $⟺$ $a_1{b}_2-a_2{b}_1=0(c_1\ne c_2)$，平行线间距离：$d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
相交：$\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}$
垂直：$l_1\perp l_2$ $⟺$ $\frac{a_1}{b_1}\cdot \frac{a_2}{b_2}=-1$ $⟺$ $a_1{a}_2+b_1{b}_2=0$，汉化版：两直线斜率相乘为负－，两直线x系数相乘和y系数相乘之和为0——【横扫千军的垂直公式】

点与直线位置关系：点（$x_0,y_0$），直线$l:y=kx+b$
$$y_0=\{\begin{array}{ll}＞k{x}_0+b,& \text{点在直线上方}\\ =k{x}_0+b,& \text{点在直线上}\\ ＜k{x}_0+b,& \text{点在直线下方}\end{array}$$
判定两点在直线同侧或异侧：
若两点为$M(x_1,y_2),N(x_2,y_2)$，直线为$ax+by+c=0$(a,b不全为零)。
同侧：$(a{x}_1+b{y}_1+c)(a{x}_2+b{y}_2+c)>0$
异侧：$(a{x}_2+b{y}_1+c)(a{x}_2+b{y}_2+c)<0$
判定某点在直线上方或下方：
某点为$P(x_0,y_0)$，直线为$ax＋by+c=0(b>0)$
上方：$a{x}_0+b{y}_0+c>0$
下方：$a{x}_0+b{y}_0+c<0$

——圆——
圆的方程标准式：圆心为（$x_0,y_0$），半径为r的圆可表示为$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$——【若有圆，先将圆的一般方程转化为标准方程（标出圆心坐标和半径）】
圆的方程一般式：$x^2+y^2+ax+by+c=0$，可将其配方变为标准式：$(x+\frac{a}{2}{)}^2+(y+\frac{b}{2}{)}^2=\frac{a^2+b^2-4c}{4}$$=(\frac{\sqrt{a^2+b^2-4c}}{2}{)}^2$，圆心坐标($-\frac{a}{2}$,$-\frac{b}{2}$)，半径$r=\frac{\sqrt{a^2+b^2-4c}}{2}＞0$——【圆的一般方程仅仅在设方程时用到（仅作了解即可），其他情况请一概将圆的一般方程化为圆的标准方程进行解题】

$$\{\begin{array}{ll}{a}^2+b^2-4c＞0,& \text{方程表示一个圆}\\ a^2+b^2-4c=0,& \text{方程表示一个点}\\ a^2+b^2-4c＜0,& \text{方程无意义}\end{array}$$
——圆——位置——
点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外。设点$P(x_0,y_0)$，圆：$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，则有：
$$\{\begin{array}{ll}(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2＜r^2,& \text{点在圆内}\\ (x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2=r^2,& \text{点在圆上}\\ (x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2＞r^2,& \text{点在圆外}\end{array}$$

直线与圆的位置关系：——【本质是圆心到直线的距离】
相切：求圆的切线方程时，常设切线的方程为$Ax+By+C=0$或$y=k(x-a)+b$，再利用点到直线的距离等于半径，即可确定切线方程。过圆$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$上的一点$P(x_0,y_0)$作圆的切线，则切线方程为$(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2$。若点P在圆外，则上述方程为过点P作圆的两条切线，形成的两个切点所在的直线的方程。
or
过圆$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$上的一点$P(x_0,y_0)$作圆的切线：切线方程为$(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2$。
若点$P(x_0,y_0)$在圆外，过点$P$作圆的两条切线，切点为A，B：A，B所在直线方程为$(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2$。——【秒杀】
相交：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则直线与圆相交时，直线被圆截得的弦长为$l=2\sqrt{r^2-d^2}$
相离：圆上的点与直线之间的距离问题，一般是求满足条件的点的个数，点的个数通常有4种，为1个点，2个点，3个点，4个点。其中，1个点，3个点的情况是临界点，优先考虑临界点的情况。
坐标：已知圆的一般方程：$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，根据此式整理出圆的标准方程为$(x+\frac{D}{2}{)}^2+(y+\frac{E}{2}{)}^2=\frac{D^2+E^2-4F}{4}$，即圆心坐标为（$-\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$），半径为$r=\sqrt{\frac{D^2+E^2-4F}{4}}$，故圆与坐标轴的关系为
①圆与x轴相切：圆心纵坐标的绝对值为r，即$|-\frac{E}{2}|=\sqrt{\frac{D^2+E^2-4F}{4}}$
②圆与y轴相切：圆心横坐标的绝对值为r，即$|-\frac{D}{2}|=\sqrt{\frac{D^2+E^2-4F}{4}}$
③圆与坐标轴无交点：圆心纵坐标的绝对值大于r且横坐标的绝对值大于r。
平移：对曲线进行平移，其方程有如下变化：
①曲线$y=f(x)$，向上平移a个单位（$a＞0$），方程变为$y=f(x)+a$；
②曲线$y=f(x)$，向下平移a个单位（$a＞0$），方程变为$y=f(x)-a$；
③曲线$y=f(x)$，向左平移a个单位（$a＞0$），方程变为$y=f(x+a)$；
④曲线$y=f(x)$，向右平移a个单位（$a＞0$），方程变为$y=f(x-a)$。——【歌诀记忆法：上加下减，左加右减】

圆与圆的位置关系：——【本质是两个圆心之间的距离，两个圆心间距离本质是两点间距离公式，所以解决圆与圆的位置关系第一步：将圆的一般方程化为圆的标准方程，第二步：利用圆心距和半径关系判断】
圆$O_1$：$(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2=r_1^2$；圆$O_2$：$(x-x_2{)}^2+(y-y_2{)}^2=r_2^2$（不妨$r_1＞r_2$）；d为圆心$(x_1,y_1)$与$(x_2,y_2)$的圆心距，$d=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$
相切：两圆位置关系→公共内切线条数→公共外切线条数：外离→2→2；外切→1→2；相交→0→2；内切→0→1；内含→0→0。
当$d>r_1+r_2$两圆外离，有四条公切线（4）
当$d=r_1+r_2$两圆外切，有三条公切线（3）
当$r_1-r_2<d<r_1+r_2$，两圆相交，有两条公切线（2）
当$d=r-r$两圆内切，有一条公切线（1）
当$d<r-r$两圆内含，无公切线（0）——【离切交切含，43210，间距从远到近，从4到0，外比内多】

相交：求两个相交的圆的公共弦方程（过这两个圆交点的直线方程），只需将两圆的方程相减即可。
外离：
①外公切点的距离：$AB=\sqrt{d^2-(r_1-r_2{)}^2}$$(O_1{O}_2=d,AC=r_1-r_2)$
②内公切点的距离：$AB=\sqrt{d^2-(r_1+r_2{)}^2}$$(O_1{O}_2=d,AC=r_1+r_2)$——【图形结合法】

——图像——
图像的判断
直线过象限题：
两条直线的判断：①若方程$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$所表示的图像是两条直线，则可利用双十字相乘法化为$(A_{1}x+B_{1}y+C_1)(A_{2}x+B_{2}y+C_2)=0$的形式。②$|ax+by|=c$可化简为$ax+by=\pm c$，图像是两条关于原点对称的平行直线。
圆的判断：方程$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$表示圆的前提为$D^2+E^2-4F＞0$
半圆的判断：若圆的方程为$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，则
①右半圆的方程为$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2(x\ge a)$或者$x=a+\sqrt{r^2-(y-b{)}^2}$；
②左半圆的方程为$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2(x\le a)$或者$x=a-\sqrt{r^2-(y-b{)}^2}$；
③上半圆的方程为$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2(y\ge b)$或者$y=b+\sqrt{r^2-(x-a{)}^2}$；
④下半圆的方程为$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2(y\le b)$或者$y=b-\sqrt{r^2-(x-a{)}^2}$；
四边形的判断：若$|Ax-a|+|By-b|=C$，则当$A=B$时，函数的图像所围成的图形是正方形；当$A\ne B$时，函数的图像所围成的图形是菱形；无论是正方形还是菱形，面积均为$S=\frac{2C^2}{AB}$；$|xy|+ab=a|x|+b|y|$表示$x=\pm b,y=\pm a$的四条直线所围成的矩形，面积为$S=4|ab|$。当$a=b$时，直线所围成的图形是正方形，面积为$S=4a^2$。

——对称——
点关于直线的对称：
点P($x_1，y_1$)关于直线$l$：$ax+by+c=0$的对称点Q的坐标为($x_2,y_2$)，
方法一：满足两个条件：线段PQ与直线$l$垂直，即线段PQ的斜率与直线l的斜率之积为$-1$；线段PQ的中点在直线$l$上。因此Q的坐标可由以下方程组求得：
$$\{\begin{array}{ll}\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\times (-\frac{a}{b})=-1,& \text{垂直：两点斜率与该直线垂直}\\ a\times \frac{x_1+x_2}{2}+b\times \frac{y_1+y_2}{2}+c=0,& \text{平分：两点中点过该直线}\end{array}$$——【“两点连线的斜率×对称直线的斜率=-1”且“两点的中点在对称直线上”】——【两点连线为对称直线的中垂线，即两线垂直且平分】——【A.两点的中点过该直线；B.两点所成直线的斜率与已知直线垂直。】
方法二：$x_2=x_1-2A\frac{A{x}_1+B{y}_1+C}{A^2+B^2}$，$y_2=y_1-2B\frac{A{x}_1+B{y}_1+C}{A^2+B^2}$
方法三：①若对称轴斜率为$\pm 1$，可采用代入法求解；②若对称轴斜率不为$\pm 1$，可采用公式法求解，即$Q(x_1-2A\frac{A{x}_1+B{y}_1+C}{A^2+B^2}$，$y_1-2B\frac{A{x}_1+B{y}_1+C}{A^2+B^2})$

直线关于直线的对称：
（1）平行直线的对称
$l_1//l$，因为$l_1$与$l_2$关于$l$对称，由对称的性质易知$l_1//l_2$，且$l$到$l_1$与$l_2$的距离$d_1$与$d_2$相等。
若$l_1$的方程为$ax+by+c_1=0$，$l$的方程为$ax+by+c=0$，则可设$l_2$的方程为$ax+by+c_2=0$，根据距离相等得到$l_2$的方程为：$ax+by+(2c-c_1)=0$——【对称轴到两直线的距离相等，得$2c=c_1+c_2$】/已知直线为$ax+by+c=0$，关于$ax+by+d=0$对称的直线可设为$ax+by+e=0$，则两条直线到对称直线的距离相等，则有$\frac{|c-d|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|d-e|}{\sqrt{a^2+b^2}}$。
（2）相交直线的对称
方法一：由$l_1\cap l=P$，可求出交点坐标。再找出$l_1$上任意一点（点Р除外）关于$l$对称的点的坐标（用点关于直线对称的方法)，再根据两点式求出直线$l_2$的方程。/①求两直线的交点坐标A；②在已知直线上取任意点B($x_1,y_1$)；③求该任意点关于直线对称的点的坐标$B_1(x_2,y_2)$；④$A{B}_1$联立直线方程就是对称直线。
方法二：由对称性可知$l_1$到$l$的角与$l$到$l_2$的角相等，且$l_2$过$l_1$与$l$的交点$Р$，由到角公式求出$l_2$的斜率，再求出交点$P$的坐标后，可由点斜式求得直线$l_2$的方程。
（3）直线关于直线对称的万能公式（此公式适用于平行线，相交线两种情况）
已知对称轴$l_0$：$Ax+By+C=0$；已知直线$l_1$：$ax+by+c=0$；则对称直线$l_2$为$\frac{ax+by+c}{Ax+By+C}=\frac{2Aa+2Bb}{A^2+B^2}$——【万能公式】

圆关于直线对称：实质是点（圆心）关于直线问题，半径保持不变。
两直线关于特殊直线的对称：已知曲线的方程$f(x,y)=0$
对称轴：直线$x+y+c=0$，对称曲线的方程$f(-y-c,-x-c)=0$——【把原式中的x替换为-y-c，把原式中的y替换为-x-c】
对称轴：直线$x-y+c=0$，对称曲线的方程：$f(y-c,x+c)=0$——【把原式中的x替换为y-c，把原式中的y替换为x+c】
对称轴：x轴（直线y=0），对称曲线的方程：$f(x,-y)=0$——【把原式中的y替换为-y】
对称轴：y轴（直线x=0），对称曲线的方程：$f(-x,y)=0$——【把原式中的x替换为-x】
对称轴：直线$x=a$，对称曲线的方程：$f(2a-x,y)=0$——【把原式中的x替换为2a-x】
对称轴：直线$y=b$，对称曲线的方程：$f(x,2b-y)=0$——【把原式中的y替换为2b-y】

两点关于特殊直线对称和两直线关于特殊直线对称的对照表：
对称方式 $⟼$ $P(m,n)$ $⟼$ $Ax+By+C=0$
关于x轴 $⟼$ $P(m,-n)$ $⟼$ $Ax+B(-y)+C=0$
关于y轴 $⟼$ $P(-m,n)$ $⟼$ $A(-x)+By+C=0$
原点$(0,0)$ $⟼$ $P(-m,-n)$ $⟼$ $A(-x)+B(-y)+C=0$
$y=x$ $⟼$ $P(n,m)$ $⟼$ $Ay+Bx+C=0$
$y=-x$ $⟼$ $P(-n,-m)$ $⟼$ $A(-y)+B(-x)+C=0$
$y=x+b$ $⟼$ $P(n-b,m+b)$ $⟼$ $A(y-b)+B(x+b)+C=0$
$y=-x+b$ $⟼$ $P(b-n,b-m)$ $⟼$ $A(b-y)+B(b-x)+C=0$

关于点的对称/中心对称：
点关于点对称：①已知点和对称点的中点就是关于这个点的坐标；②此问题一概利用中点坐标公式求解。
一直线关于点对称：$ax+by+c=0$关于点$(x_0,y_0)$的对称直线是$a(2x_0-x)+b(2y_0-y)+c=0$
两直线关于点对称：两直线关于某点对称，那么这两条直线一定是平行直线，并且这一点到两条直线的距离相等。解题方法：例如可设直线$ax+by+c=0$关于点$(x_0,y_0)$对称的直线方程设为$ax+by+d=0$。根据这一点到两条直线距离相等，则有：$\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2}}$。——使用点到两平行线的距离相等求解——两条直线平行。
圆关于点对称：使用中点坐标公式求解

——最值——
斜率型最值：求$\frac{y-b}{x-a}$最值：设$k=\frac{y-b}{x-a}$，转化为求定点$(a,b)$和动点$(x,y)$相连所成直线的斜率范围。
截距型最值=动点在多边形上运动求最值：求$ax\pm by$最值：设$ax\pm by=c$，即$y=-\frac{a}{b}x\pm \frac{c}{b}$，转化为求动直线截距的最值。或者，边界点处取最值，逐一验证多边形顶点。
两点间距离型最值=动点在多边形上运动求最值：求$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2$最值：设$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，此时，要求的式子可看作是圆的半径的平方。由于$d=\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}$，故所求式子$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2$可转化为求定点$(a,b)$到动点$(x,y)$的距离的平方。
对称求最值=动点在直线上运动求最值：①同侧求最小（考查形式：已知A、B两点在直线l的同侧，在$l$上找一点$P$，使得$PA+PB$最小；解法：作点A（或点B）关于直线$l$的对称点$A_1$，连接$A_{1}B$，交直线$l$于点$P$，则$A_{1}B$即为所求的最小值，有$(PA+PB{)}_{min}=A_{1}B$）；②异侧求最大（考查形式：已知A、B两点在直线l异侧，在$l$上找一点$P$，使得$PA-PB$最大；解法：作点A（或点B）关于直线l的对称点$A_1$，连接$A_{1}B$，交直线$l$于点$P$，则$A_{1}B$即为所求的最大值，即$(PA-PB{)}_{max}=A_{1}B$）——【同侧加和求最小值，异侧相减求最大值】
圆心求最值=动点在圆上运动求最值：
①求圆外或圆内一点A到圆上距离的最值：$max=OA+r；min=|OA-r|$
②直线与圆相离，求圆上点到直线距离的最值：求出圆心到直线的距离d，则距离最大值为$d+r$，最小值为$d-r$；直线与圆相切，最大值为$2r$，最小值为0；直线与圆相交，最大值为$d+r$，最小值为0。
③两圆相离，求两圆上的点的距离的最值：求出圆心距$O_1{O}_2$，则距离最大值为$O_1{O}_2+r_1+r_2$，最小值为$O_1{O}_2-r_1-r_2$。
④过圆内一点最长或最短的弦，最长的弦为过该点的直径；最短的弦是以该点为中点的弦（与最长弦垂直）——【①求圆上的点到直线距离的最值求出圆心到直线的距离，再根据圆与直线的位置关系，求解。一般是距离加半径是最大值，距离减半径是最小值。②求两圆上的点的距离的最值。求出圆心距，再减半径或加半径即可。】

——面积——
三条直线-直线相关面积：①一条直线$ax+by+c=0$与两坐标围成的面积为$S=\frac{c^2}{|2ab|}$——【】；②两条直线与坐标轴围成三角形，则利用交点公式确定底和高，进而求面积。
四条直线-正方形或菱形面积：$|ax\pm b|+|cy\pm d|=e$（当$a=c$时，表示正方形。当$a\ne c$时为菱形），围成的面积均为$S=\frac{2e^2}{ac}$，其中，b，d只影响图形的中心位置，不影响图形的面积。画图可用描点法，分别令$|ax\pm b|$和$|cy\pm d|$为0，即可计算出四个点的坐标，将四个点连线即可得到该四边形。
四条直线-正方形或矩形面积：$|xy|-ax-b|y|+ab=0$或$|xy|+ab=a|x|+b|y|$，其中a，b都大于0，当a = b时，该式子表示一个正方形，当a≠b时，该式子表示一个矩形，面积均为$S=4ab$。——【$|xy|+ab=a|x|+b|y|$$⟹$$(|x|-b)(|y|-a)=0$】——【$|xy|+ab=a|x|+b|y|$画出了长2a，宽2b的四边形】

整体利用目录大纲/记忆宫殿

目录大纲

借鉴各大佬的目录，分为如下：
分类1：平面直角坐标系、直线方程与圆的方程、两点间距离公式与点到直线的距离公式
分类2：平面直角坐标系、点、直线、圆
分类3：位置问题、面积问题、对称问题、最值问题
分类4：六大位置关系、五大对称关系（点关于点，点关于直线，直线关于点，相交直线对称，平行直线对称）、

圆与圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含。

记忆宫殿

学习记忆——宫殿篇——记忆宫殿——地点桩——记忆清朝十二个皇帝

从点出发

通过“点”，从1到无数，逐渐引出知识来，但是只能引出关键字，所以还是要按照这个顺序（从1到无数），放到宫殿来，利用宫殿的物品，勾画出对应精华知识。

一个点：无东西
两个点：中点坐标（算术平均值）、距离公式（勾股定理），对称关系
两点成线→直线：直线方程（斜截，点斜，截距，两点，一般）、位置关系（平行，相交，垂直），
一个点与一条直线（三个点）：距离公式，位置关系，对称关系，
一条直线与一条直线（四个点）：距离公式（两平行直线（相交无距离）），对称关系，
圆（无数点）：圆方程（标准式，一般式）
一个点与一个圆（1+无数点）：位置关系，对称关系
一条直线与一个圆（2+无数点）：位置关系，对称关系
一个圆与一个圆（无数+无数点）：位置关系，对称关系

从点出发

点数	对象	公式	位置	对称	最值
1个点	-	-	-	-	-
2个点	一个点与一个点；直线	中点坐标，两点间距离公式；直线的k，直线的方程	-	点关于点对称	斜率型，截距型，两点距离型，利用对称、圆心
3个点	一个点与一条线(两点成线)	点到直线距离公式		点关于直线对称；直线关于点对称
4个点	一条直线与一条直线	平行直线间距离公式	重合，平行，相交，垂直	直线关于直线对称
无数点	圆	圆方程（标准，一般）	-	-	-
无数+1点	一个点与一个圆		点在圆内，上，外	圆关于点对称
无数+2点	一条线与一个圆	圆上的点与直线的距离	相离，相切，相交	圆关于直线对称；曲线关于特殊直线对称
无数+无数点	一个圆与一个圆		外离，外切，相交，内切，内含

局部用各种方法

数字编码法

学习记忆——记忆宫殿——编码——数字编码和字母编码——两位数
学习记忆——英语——字母编码
学习记忆——记忆宫殿——编码——数字编码——数字声母

1. 特殊角度的正切值
   
   转换图像法
   
   常见斜率：$k=tan30^{。}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；$tan45^{。}=1$；$tan60^{。}=\sqrt{3}$；$tan90^{。}=\infty$；$tan120^{。}=-\sqrt{3}$；$tan135^{。}=-1$；$tan150^{。}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。

2. 两圆位置关系：外离，外切，相交，内切，内含
   （1）公共内切线条数：2，1，0，0，0
   （2）公共外切线条数：2，2，2，1，0

0呼啦圈；1树，蜡烛；2鹅；

0是D；1是Y；2是Z。

注意，顺序是：从外到内，最最重要的，职业道德的两个呼啦圈。
外离，外切，相交，内切，内含
外：22210，zzzyd，最最重要的
内：21000，zyddd，职业道德的

归类记忆法

数学知识有一个最显著的特点，就是系统性很强。数学知识之间有着内在的联系，我们可以按照它们的特性，恰当归类，使之条理化、系统化，组成一个便于记忆的知识网络。

重点记忆法

抓住一个重点，去推导，去联想。

点到直线距离公式 $⟹$ 两直线关于点对称$⟹$ 两平行直线距离公式 $⟹$ 两直线关于直线A对称 $⟹$ 直线与圆的位置关系——【一点一线用“点到直线距离公式”】

$d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$⟹$ 进行对称的点到两直线距离相等$\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ $⟹$ $d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ $⟹$ 两直线到直线A距离相等$\frac{|c-d|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|d-e|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ $⟹$ 本质是圆心（点）到直线的距离 $⟹$

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两点距离公式 $⟹$ 圆与圆的位置关系——【两点距离用“两点距离公式”】
$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$ $⟹$ 本质是两个圆心之间的距离，两个圆心间距离本质是两点间距离公式

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中点坐标公式 $⟹$ 点关于点对称 $⟹$ 两点关于直线对称 $⟹$ 圆关于点对称——【两点对称用“中点坐标公式”】
($\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}$) $⟹$ 已知点和对称点的中点就是关于这个点的坐标$⟹$ 两点的中点过该直线，$a\times \frac{x_1+x_2}{2}+b\times \frac{y_1+y_2}{2}+c=0$ $⟹$ 本质是圆心（点）关于点对称

理解记忆法

点到直线距离公式推导：https://zhuanlan.zhihu.com/p/26307123

法向量

法向量$\overline{n}=\frac{(A,B)}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{A^2+B^2}(A,B)$

歌决记忆法

1. 平移问题：上加下减，左加右减 $\Rightarrow$
   （1）曲线$y=f(x)$，向上平移α个单位（a>0），方程变为$y=f(x)＋a$；
   （2）曲线$y=f(x)$，向下平移α个单位（a>0），方程变为$y=f(x)-a$；
   （3）曲线$y=f(x)$，向左平移α个单位（a>0)，方程变为$y=f(x+a)$；
   （4）曲线$y=f(x)$，向右平移α个单位（a>0)，方程变为$y=f(x-a)$。

2. 对称求最值：同侧加和求最小值，异侧相减求最大值。

3. 垂径定理：有弦先连弦心距，垂直平分用勾股。

两直线位置

重合、平行、相交、垂直
宠幸脚趾
两个等号，一个等一个不等，一个不等，一个负一，或者灵不存在

特殊角度的正切值

常见斜率：$k=tan30^{。}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；$tan45^{。}=1$；$tan60^{。}=\sqrt{3}$；$tan90^{。}=\infty$；$tan120^{。}=-\sqrt{3}$；$tan135^{。}=-1$；$tan150^{。}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。
三角函数的口诀是“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根号不能删。”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值。

弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3。最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉。如$tan60^{。}=\frac{\sqrt{27}}{3}$，$tan45°\frac{\sqrt{9}}{3}=1$。这种方法有趣、简单、易记。

秒杀应用法

【【高考数学】8.5 速求直线关于直线对称】https://mbd.baidu.com/ma/s/AMHO4sPJ

固定做题法

关于直线问题的固定做题体系

在所有的涉及直线的问题中，请同学们按照以下固定套路进行：
A. 表示直线方程用斜截式
B. 求直线方程用点斜式
C. 涉及点到直线距离公式时用一般式

圆

如果有圆，先将圆的一般方程化为标准方程（标出圆心坐标和半径）
注意：圆的方程自带定义域

直线方程

1.求直线方程用点斜式；
2.表示直线方程用斜截式；
3.涉及点到直线距离公式时，用直线的一般式。

PS.需要熟记的公式
1.斜率公式；
2.直线方程的四种形式：点斜式，