数据结构与算法_06_跳表

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        我们知道，在有序数组中，我们可以通过二分查找，通过O(logn)的时间复杂度快速查找数据，而链表只能从头节点逐一往后遍历。那么有没有一种数据结构能够支持链表的类二分查找效果呢？答案是肯定的，这就是我们今天要讲的，通过跳表来完成。

一、跳表是什么？

对于一个单链表来讲，即便链表中存储的数据是有序的，如果我们要想在其中查找某个数据，也只能从头到尾遍历链表。这样查找效率就会很低，时间复杂度会很高，是 O(n)。

那怎么来提高查找效率呢？如果像图中那样，对链表建立一级“索引”，查找起来是不是就会更快一些呢？每两个结点提取一个结点到上一级，我们把抽出来的那一级叫做索引或索引层。

如果我们现在要查找某个结点，比如 16。我们可以先在索引层遍历，当遍历到索引层中值为 13 的结点时，我们发现下一个结点是 17，那要查找的结点 16 肯定就在这两个结点之间。然后我们通过索引层结点的 down 指针，下降到原始链表这一层，继续遍历。这个时候，我们只需要再遍历 2 个结点，就可以找到值等于 16 的这个结点了。这样，原来如果要查找 16，需要遍历 10 个结点，现在只需要遍历 7 个结点。

上面是增加一层索引减少的查找次数，如果增加多层，自然也就相应减少更多了。如下图，遍历到62，我们只需要查找11个节点

总结：这种链表加多级索引的结构，就是跳表

二、跳表时间复杂度分析

按照我们刚才讲的，每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级索引的结点个数大约就是 n/2，第二级索引的结点个数大约就是 n/4，第三级索引的结点个数大约就是 n/8，依次类推，也就是说，第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的 1/2，那第 k级索引结点的个数就是 n/(2k)。

假设索引有 h 级，最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式，我们可以得到 n/(2h)=2，从而求得 h=log2n-1。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是 log2n。我们在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都要遍历 m 个结点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是 O(m*logn)。

那这个 m 的值是多少呢？按照前面这种索引结构，我们每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点，也就是说 m=3，为什么是 3 呢？我来解释一下。

假设我们要查找的数据是 x，在第 k 级索引中，我们遍历到 y 结点之后，发现 x 大于 y，小于后面的结点 z，所以我们通过 y 的 down 指针，从第 k 级索引下降到第 k-1 级索引。在第 k-1 级索引中，y 和 z 之间只有 3 个结点（包含 y 和 z），所以，我们在 K-1 级索引中最多只需要遍历 3 个结点，依次类推，每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点。

通过上面的分析，我们得到 m=3，所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是 O(logn)。这个查找的时间复杂度跟二分查找是一样的。

三、跳表空间复杂度分析

跳表的空间复杂度分析并不难，我在前面说了，假设原始链表大小为 n，那第一级索引大约有 n/2 个结点，第二级索引大约有 n/4 个结点，以此类推，每上升一级就减少一半，直到剩下 2 个结点。如果我们把每层索引的结点数写出来，就是一个等比数列。

这几级索引的结点总和就是 n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以，跳表的空间复杂度是 O(n)。也就是说，如果将包含 n 个结点的单链表构造成跳表，我们需要额外再用接近 n 个结点的存储空间。

我们前面都是每两个结点抽一个结点到上级索引，如果我们每三个结点或五个结点，抽一个结点到上级索引。

示例，每三个节点建立索引，相应通过等比数列求和公式，总的索引结点大约就是 n/3+n/9+n/27+...+9+3+1=n/2。尽管空间复杂度还是 O(n)，但比上面的每两个结点抽一个结点的索引构建方法，要减少了一半的索引结点存储空间。

实际上，在软件开发中，我们不必太在意索引占用的额外空间。在讲数据结构和算法时，我们习惯性地把要处理的数据看成整数，但是在实际的软件开发中，原始链表中存储的有可能是很大的对象，而索引结点只需要存储关键值和几个指针，并不需要存储对象，所以当对象比索引结点大很多时，那索引占用的额外空间就可以忽略了

四、高效的动态插入和删除

跳表这个动态数据结构，不仅支持查找操作，还支持动态的插入、删除操作，而且插入、删除操作的时间复杂度也是 O(logn)。这个主要体现了链表的优势，当知道相应的位置之后，只需要做对应的链接就行。

五、跳表索引动态更新

如果我们频繁操作跳表，比如在某个端插入大量的节点，那么跳表的索引效果会降低，极端情况会退化为链表。

面对这个问题，跳表采用：随机函数来维护前面提到的“平衡性”。

我们通过一个随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值 K，那我们就将这个结点添加到第一级到第 K 级这 K 级索引中。

六、跳表的应用场景

redis的有序列表就会使用到跳表作为底层的数据结构。经过有面试题会问，为什么redis有序表要用跳表，而不是红黑树？

要分析原因，那么我们得回到其使用的场景

1、插入一个数据；

2、删除一个数据；

3、查找一个数据；

4、按照区间查找数据（比如查找值在[100, 356]之间的数据）；

5、迭代输出有序序列。

应对上面的场景，红黑树也可以做到O(logn)的时间复杂度。但是由于树的结构不太好顺序查找，因此，“按照区间查找数据（比如查找值在[100, 356]之间的数据）”使用跳表效率更高。对于按照区间查找数据这个操作，跳表可以做到 O(logn) 的时间复杂度定位区间的起点，然后在原始链表中顺序往后遍历就可以了。这样做非常高效。

除此之外，Redis 之所以用跳表来实现有序集合，还有其他原因，比如，跳表更容易代码实现。虽然跳表的实现也不简单，但比起红黑树来说还是好懂、好写多了，而简单就意味着可读性好，不容易出错。还有，跳表更加灵活，它可以通过改变索引构建策略，有效平衡执行效率和内存消耗。

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