学习笔记|构建一元线性回归模型|方差分析|方差齐性|检验残差正态性|规范表达|《小白爱上SPSS》课程：SPSS第二十讲： 一元线性回归分析怎么做?

学习目的

SPSS第二十讲： 一元线性回归分析怎么做?

软件版本

IBM SPSS Statistics 26。

原始文档

《小白爱上SPSS》课程
#统计原理

一元线性回归分析

一元线性回归是指分析两个变量间（自变量x和因变量y）数量依存关系和影响的统计分析方法。
对于只涉及一个自变量的一元线性回归模型可表示为：
y= b0+b1 X+ϵ
Y：回归模型中的因变量，即样本的预测值。
X：回归模型中的自变量，即样本的特征数值。
ε：回归模型中的误差项，即不能被x与y之间线性关系解释的变异性。
b0：是常量。
b1: 回归系数。

一、实战案例

小白想了解下大侠的人均月收入能否预测他们年体育消费额，试构建一元线性回归模型，并检验其显著性。
读数据：

GET 
  FILE='E:\E盘备份\recent\小白爱上SPSS\小白数据\第二十讲：一元线性回归分析.sav'.

该案例主要研究人均月收入与体育消费额的关系，从专业知识上可认为人均月收入是可以预测他们的年体育消费额。

二、统计策略

针对上述案例，扪心六问。
Q1：本案例研究目的是什么？
A：关联研究，在理论上认为变量之间存在因果关系，即月收入可预测体育消费额。
Q2：本案例属于什么研究设计？
A：调查性研究。
Q3：分析数据有多少组？
A：两组数据。
Q4：有几个变量？
A：有两个变量，两变量均为连续性变量
自变量为人均月收入
因变量为体育年消费额。
Q5：变量之间是否相关？
A：变量之间需要满足线性相关，呈现线性趋势。
Q6：残差是否具有独立性、方差齐性和正态分布？
A：需要检验残差是否满足独立性、方差齐性和正态性
概括而言，如果数据满足以下条件，则可适用一元线性回归分析。

三、SPSS操作

Step1：根据散点图初步判断数据的趋势：依次点击“图形——旧对话框——散点图/点图”。
Step2: 在弹出的对话框中选择“简单散点图”，点击“定义”。将“体育年消费额”放进Y轴中，并将“人均月收入”放进X轴中，并添加标题“人均月收入与体育年消费额的关系”。
命令行：

GRAPH 
  /SCATTERPLOT(BIVAR)=人均月收入 WITH 体育年消费额 	/*X轴 WITH Y轴*/
  /MISSING=LISTWISE 
  /TITLE='人均月收入与体育年消费额的关系'.

根据散点图可得出，人均月收入和他们的年体育消费额存在较为正相关关系，适合建立一元线性回归模型。
Step3：依次点击“分析——回归——线性”
Step4：在弹出“线性回归”对话框中，将“年体育消费额”放入因变量框中，将“人均月收入”变量放入自变量框中，方法默认选择“输入”。
Step5：然后单击线性回归右侧的“统计”，在弹出的选项对话框中勾选“估算值”、“模型拟合”、“描述”和“德宾-沃森，单击“继续”。

Step6：在弹出“线性回归：图”对话框中将 “*ZRESID”（标准化残差）放入Y轴中，将“*ZPRED”（标准化预测值）放入X轴中，勾选“直方图”和“正态概率图”，单击“继续”。点击“确定”。

命令行：

REGRESSION 
  /DESCRIPTIVES MEAN STDDEV CORR SIG N 
  /MISSING LISTWISE 
  /STATISTICS COEFF OUTS R ANOVA 
  /CRITERIA=PIN(.05) POUT(.10) 
  /NOORIGIN 
  /DEPENDENT 体育年消费额 
  /METHOD=ENTER 人均月收入 
  /SCATTERPLOT=(*ZRESID ,*ZPRED) 
  /RESIDUALS DURBIN HISTOGRAM(ZRESID) NORMPROB(ZRESID)	/*德宾残差（默认值），直方图、正态概率图*/.

四、结果解读

测量的结果有多个表格，在此讲解几个重点表格。

第一个表格为模型摘要

a. 预测变量：(常量), 人均月收入
b. 因变量：体育年消费额
①R是回归的多重相关系数。当简单线性回归中只有一个自变量时，R值与因变量和自变量的皮尔逊相关系数相同，代表两者之间的相关程度。如该研究中R=0.515，提示月收入与体育消费额存在中等相关。但实际上，简单线性回归并不关注R值。
②***R2（R Square）***代表回归模型中自变量对因变量变异的解释程度，是分析回归结果的开始。本研究中，R2=0.266，提示自变量（月收入）可以解释26.6%的因变量（体育消费额）变异。但是，R2是会夸大自变量对因变量变异的解释程度，如果模型中增加一个自变量，即使这个自变量在统计上并不显著，R2也会增大。
③调整 R2，是指剔除了自变量个数的影响，这使得调整R2永远小于R2，且调整R2的值不会由于自变量个数的增加而越来越接近1。本研究中，调整 R2=0.209，小于R2=0.266，校正了R2对于总体自变量对因变量变异解释程度的夸大作用。所以，当多个自变量，一般报告调整R2。
④德宾-沃森（D-W）检验，一般检验值分布在0-4之间，越接近2，观测值相互独立的可能性越大。本例子中D-W=2.327，可以认为符合线性回归独立性的条件。

第二表格为方差分析表

a. 因变量：体育年消费额
b.预测变量：(常量), 人均月收入
由表中可知，F=4.704，P=0.049<0.05，具有统计意义，不支持原假设，即回归方程的线性关系显著。表明人均月收入是影响体育年消费额的显著性因素。

第三个表格为模型系数

a. 因变量：体育年消费额
①是回归系数b值，本例中常数和人均月收入的系数分别为-7567.916和2.002。可得出一元线性回归模型：y ̌=-7567.916+2.002×人均月收入
②是回归系数的抽样误差，即标准误。
③Beta值（β值），是标准化b值，标准化回归系数。可以用来比较各个自变量x对y的影响程度的。本例的标准化回归方程：y=0.515×人均月收入。
④t值，是各个回归系数进行假设检验的检验统计量，线性回归检验统计量为t值。
⑤显著性：即P值。P<0.05说明自变量与因变量回归关系成立，有关系，有影响。本例中回归系数达到显著水平（P<0.05），t=2.169, p=0.049。
上面一行是常量的t和p值，一般不用关注。

第四张散点图（主要检验方差齐性）

如果方差齐，不同预测值对应的残差应大致相同。即图中各点均匀分布，无特殊的分布形状。如果残差点分布不均匀，形成漏斗或者扇形，那么就方差不齐（如下图）。

本研究结果显示，标准化残差与标准化预测值的散点图中各点均匀分布，虽然在头部相对集中，但不是十分严重，因此认为满足方差齐。
当然，如果不满足方差齐性假设，我们也可以通过一些统计手段进行矫正。比如，采用加权最小二乘法回归方程，改用更加稳健的分析方法以及转换数据等。

第五张直方图和P-P图（检验残差正态性）

（1）标准化残差的直方图

从图中可以看出，标准化残差近似正态分布。
（2）残差的P-P图

P-P图各点分布离对角线越近，提示数据越接近于正态分布；如果各点刚好落在对角线上，那么数据就是正态分布。简单线性回归仅要求回归残差接近于正态分布，因此根据上图，我们认为该数据满足近似正态性。
综上检验可知，本案例的数据满足独立性、方差齐性和正态性三个条件。

五、规范表达

规范报告有多种方式，本公众号只提供一种方式供参考。

1、规范表格

2、规范文字

采用线性回归分析结果显示，人均月收入可显著预测体育消费额，β=0.515，t=2.169, p=0.049。人均月收入可解释体育消费额的26.6%的方差。

六、划重点

1、回归分析本质上是探讨变量之间相关关系，只有在理论上满足自变量与因变量之间存在因果关系，才可开展回归分析。此外，即使回归分析显著，在解释因果关系也需谨慎。
2、一元线性回归分析需要满足变量之间存在线性关系，如果不是，则不能采用线性回归分析，这可通过散点图来判断线性关系。
3、回归分析还需满足独立性、方差齐性和正态性。独立性采用德宾-沃森（D-W）残差相关性检验；方差齐性采用残差散点图来检验；正态性采用残差正态分布图和P-P图来判断。
4、如果回归分析只是建立自变量与因变量之间关系，无须根据自变量预测因变量的容许区间和可信度等，则方差齐性和正态性可以适当放宽。
5、回归分析一般要报告回归系数（b或β值）以及显著性（P值）、R2（或调整R2）和回归模型的方差分析结果（F值和P值）。