数据结构（四）——二叉搜索树和平衡二叉树

1. 二叉排序树（BST）

1.1 二叉排序树的定义

• 左子树上所有节点的值小于根节点的值。
• 右子树上所有节点的值大于根节点的值。
• 对二叉排序树进行中序遍历，可以获得递增的有序序列。

1.2 查找

（1）思想
二叉排序树的查找是从根节点开始，自顶向下比较的过程。

• 若相等，则查找成功。
• 当根节点非空时，若小于根节点的值，则在左子树上查找。如大于根节点的值，则在右子树上查找。
• 函数返回正确节点或NULL值。

/*二叉搜索树的查找（非递归版本）*/
BSTNode* BST_Search(BSTNode* T, int key)
{
	while(T != NULL && T->val != key){
		if(T->val >key)	T = T->rchild;
		else T = T->lchild;
	}
	return T;		// NULL 或 查找到的节点
}

（2）查找效率分析

• 最好情况下：即AVL树，n个节点的二叉树最小高度为$[{\log }_{2}n]+1$，平均查找长度为$O({\log }_{2}n)$。
• 最坏情况，每个节点只有一个分支，树高$h=n$，平均查找长度为$O(n)$。
  

1.3 插入

（1）思想
二叉搜索树的插入本质上是查找的过程。

• 若成功找到与插入值相同的节点，则插入失败。
• 否则成功找到插入位置，在该位置插入新节点。

/*二叉搜索树的插入（递归）*/
int BST_Insert(BSTNode* T, int key)
{
	if(T == NULL)	// 找到插入位置
	{
		 T = new BSTNode(key);
		 T->lchild = T->rchild = NULL;
		 return 1;
	}
	if(T->val == key)
		return 0;	
	if(T->val > key)
		BST_Insert(T->lchild, key);
	else 
		BST_Insert(T->rchild, key);
}

1.4 构造

二叉搜索树的构造就是将给定序列值当作节点插入的过程。

BSTNode* Create_BST(int str[], int n)
{
	BSTNode* root = NULL;
	int i = 0;
	while(i <n){
		BST_Insert(root, str[i]);
		i++;
	}
	return root;
}

1.5 删除

从二叉搜索树中删除一个节点时，不能将该结点为根节点的子树一起删掉。
（1）思想

• 当删除节点z为叶节点时，则直接删除。
• 当删除节点z只有一颗左子树或右子树时，则让节点z的子树替代，并删除z节点。
• 当删除节点z既有左子树又有右子树时，有两种方案：
  ①用右子树中的最小节点（最左下） 替换节点z，并删除该最小节点。
  ②用左子树中的最大节点（最右下） 替换节点z，并删除该最大节点。
  注意： 因为删除的最左下或最有下的节点不会同时具有左右两颗子树，因此将问题转化为了1、2两种情况。
  

2. 二叉平衡树（AVL）

2.1 平衡二叉树的定义

• 平衡因子： 结点左子树和右子树的高度差。
• AVL： 树中的任意结点的左右子树高度差不超过1.
• 最小不平衡子树： 插入路径上离插入节点最近的平衡因子大于1的节点作为根的子树。

2.2 插入

（1）思想
与BST插入思路类似，首先找到节点插入的位置。插入节点后，判断插入路径上的节点是否因为插入操作不平衡。若导致不平衡，则调整最小不平衡子树。

（2）4种调整规律
总的规律如下：左子树上节点右旋，右子树上节点左旋。
假设A为最小不平衡子树的根节点。

• LL： 插入前A左子树的深度比右子树多1。在A的左孩子的左子树上插入了新节点，导致以A为根的子树失去平衡。
  方法： （右旋） 将A的左孩子B右上旋替代A成为根节点，A右下旋成为B的右孩子，B的右孩子称为A的左孩子。
  
• RR： 插入前A左子树的深度比右子树深度少1.在A的右子树的右子树上插入新节点，导致以A为根的子树失去平衡。
  方法： （左旋） 将A的右孩子B左上旋替代A成为根节点，A左下旋成为B的左孩子，B的左孩子成为A的右孩子。
  
• LR： 插入前A左子树的深度比右子树深度多1。在A的左子树的右子树上插入新节点，导致以A为根节点的树失去平衡。
  方法： （先左旋后右旋） 插入节点的父亲C先左上旋替代B成为A的左孩子，B左下旋成为C的左孩子，C的左孩子成为B的左孩子。然后节点C右上旋替代A成为根节点，A右下旋成为C的右孩子，C的右孩子成为A的左孩子。
  
• RL： 插入前A左子树的深度比右子树深度少1。在A的右子树的左子树上插入新节点，导致以A为根节点的树失去平衡。
  方法： （先右旋后左旋） 插入节点的父亲C先右上旋替代B，B右下旋成为C的右孩子，C的右孩子成为B的左孩子。接着C左上旋替代A成为根节点，A左下旋成为C的左孩子，C的左孩子成为A的右孩子。