理解SLAM中的概念

概率论基础

• 标准正态分布
  单位阵服从标准正态分布
• 高斯过程
• SMW恒等式

线性高斯系统的状态估计

• BCH 公式

• 为什么要有bch公式？

• 标量的指数乘法可以直接转化为系数的加法，而使用ＢＣＨ公式可以使得矩阵的指数可以相乘，
  ＢＣＨ公式是无穷级数，广义的ＢＣＨ公式保留了前面几项（该几项相加），也即是等于矩阵的指数乘法。进而可以对旋转和姿态的扰动求雅阁比。

• 变换为李乘积公式

矩阵和李群

李群

• 首先，为什么要研究群？可以更加方便，直观，紧凑的表达对象的性质。群是一种集合加上一种运算的代数结构（群、环、域），也可以认为是某种集合的线性表示，群所描述的集合必须要有代数结构，我们最常见的一种代数结构就是群（整数群，有理数群，可逆矩阵群，旋转矩阵群，欧式变换群等）， 这就是通常所说的线性表示。
• 群所含的元素个数称为群的阶，无限群较为多用。
• 数学结构包含如下
  1.代数结构：由集合及其上的运算组成，如群、环、域、线性空间等。
  2.序结构：由集合及其上的序关系组成，如偏序集、全序集、良序集。
  3.拓扑结构：由集合及其上的拓扑组成，如拓扑空间、度量空间、紧致集、列紧空间等。

群运算必须要满足下面4个性质（“凤姐咬你”）：

• 封闭性：也即是矩阵的乘法操作，最常用性质之一；
• 结合律：
• 幺元：也即是单位元（单位阵），与任意李群相乘，结果还是该李群，最常用性质，换个角度，$R(t)R(t{)}^T=I$，可以利用该性质快速求出对旋转矩阵对时间t求导数；
• 存在逆：

$SO(3)$和$SE(3)$一些概念

$R^{3\ast 3}$向量空间 >>—减少自由度—>> $SO(3)$矩阵李群>>—再减少自由度—>>四元素

• 旋转矩阵
  旋转量构成的集合（特殊正交群$SO(3)$，特殊欧式群$SE(3)$）并非是线性代数的向量空间，它是一种自带约束的数学结构：非交换群（或称为非阿贝尔群，交换律不成立的群），它仅仅符合一部分向量空间性质。

• 四个性质（“凤姐咬你”）

• 封闭性：也即是矩阵的乘法操作，最常用性质之一；

• 结合律：

• 幺元：也即是单位元（单位阵），与任意李群相乘，结果还是该李群，最常用性质，换个角度，$R(t)R(t{)}^T=I$，可以利用该性质快速求出对旋转矩阵对时间t求导数；

• 存在逆：

• 同时，李群在向量空间中是光滑的，其运算是无限可微，甚至解析的（泰勒级数可以无限逼近精确数值解）也即是在群运算中对输入做微小的改变，相应的输出也会发送微小的改变，矩阵不是一个有效的李群， $SO(3)$并不是$R^{3\ast 3}$的一个子空间（向量空间），因为他的自由度从9降低到了3；同理$SE(3)$也不是$R^{4\ast 4}$的一个子空间。