大厂真题：【前缀和】米哈游2023秋招-米小游的极差之和

题目描述与示例

题目描述

米小游拿到了一个数组a，她用这个数组构造一个新数组b，其中ai代表b数组中有ai个i。

例如，若a = [2,3,1]，那么b = [1,1,2,2,2,3]，因为a1=2，代表b 数组中有2个1；a2=3，代表b数组中有3个2；a3 = 1，代表b数组中有1个3。

现在给定a数组，你需要帮米小游求出b数组中所有连续子数组的极差之和。由于答案可能过大，请对10^9+7 取模。

数组的极差指最大值减去最小值。

输入描述

第一行输入一个正整数n，代表a数组的元素数量。

第二行输入n 个正整数ai，代表a数组的元素。

1 ≤ n ≤ 10^5
1 ≤ ai ≤ 10^9

输出描述

一个整数，代表数组中所有区间的极差之和，对10^9+7取模的值。

示例

输入

2
2 1

输出

2

说明

a=[2,1]时，b数组为[1,1,2]。
此时b数组共有6个连续子数组：
[1]的极差为0。
[1]的极差为0。
[2]的极差为0。
[1,1]的极差为0。
[1,2]的极差为1。
[1,1,2]的极差为1。
因此答案是0+0+0+0+1+1=2。

解题思路

根据数据范围大小，显然不能将a数组展开回b数组求解，而应该直接从a数组出发解决问题。

注意到b数组实际上是一个单调非递减数组，其子数组也一定单调非递减数组。当子数组的最大值和最小值不相等（即最后一个元素和第一个元素）时，该子数组才对极差有贡献。

对于任意的两元组$$(i,j)$$满足$$1<=i<j<=n$$，a数组中均有ai个i和aj个j，根据乘法原理，这对二元组对总极差的贡献为$$\sum _{j=i+1}^n(j-i)a_j{a}_i$$。考虑所有的二元组，则总极差为为$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n(j-i)a_j{a}_i$$

如果直接对上式进行求和计算，需要使用双重循环，时间复杂度为O(n^2)，会出现部分用例超时的情况。故需要对上述式子进行恒等变换，再观察是否有降低复杂度的做法。

$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n(j-i)a_j{a}_i= \\ \sum _{i=1}^n{a}_i\cdot \sum _{j=i+1}^n(j-i)a_j= \\ \sum _{i=1}^n{a}_i\cdot \sum _{j=i+1}^n(j{a}_j-i{a}_j)= \\ \sum _{i=1}^n{a}_i\cdot (\sum _{j=i+1}^{n}j{a}_j-\sum _{j=i+1}^{n}i{a}_j) \end{gathered}$$

在最终的结果中，可以看出对于每一个i，其极差的情况都仅和j = i+1相关，对于式子中的两个与j相关的求和$$\sum _{j=i+1}^{n}j{a}_j$$和$$\sum _{j=i+1}^n{a}_j$$，我们可以用类似构建前缀和的方式，

令$$P_i=\sum _{j=1}^{i}j{a}_j$$，那么存在$$\sum _{j=i+1}^{n}j{a}_j=\sum _{j=1}^{n}j{a}_j-\sum _{j=1}^{i}j{a}_j=P_n-P_i$$

令$$Q_i=\sum _{j=1}^i{a}_j$$，那么存在$$\sum _{j=i+1}^n{a}_j=\sum _{j=1}^n{a}_j-\sum _{j=1}^i{a}_j=Q_n-Q_i$$

在O(1)的时间复杂度下求得这两个式子的结果了。（PS：严谨来说，这应该叫做后缀和才比较合适

代码

Python

# 题目：【前缀和】米哈游2023秋招-米小游的极差之和
# 作者：闭着眼睛学数理化
# 算法：前缀和
# 代码有看不懂的地方请直接在群上提问


from itertools import accumulate

n = int(input())
a_list = list(map(int, input().split()))

MOD = 10**9+7
# 分别构建p_list和q_list
p_list = [0] + list(accumulate(i*ai for i, ai in enumerate(a_list, 1)))
q_list = [0] + list(accumulate(ai for ai in a_list))
# 由于p_list和q_list的最后一个数需要反复用到，所以提前取出
pn = p_list[-1]
qn = q_list[-1]

ans = 0
# 遍历1到n的所有i，根据恒等式转换得到的结果进行计算
for i in range(1, n+1):
    # 注意这里i是从1开始，a_list中是从索引0开始的
    # 故取ai时，对应的是a_list[i-1]
    ans += a_list[i-1]*(pn-p_list[i]-(qn-q_list[i])*i)
    ans %= MOD

print(ans)

Java

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        long[] aList = new long[n];

        final long MOD = 1000000007;
        long ans = 0;

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            aList[i] = sc.nextLong();
        }

        long[] pList = new long[n + 1];
        long[] qList = new long[n + 1];

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            pList[i] = pList[i - 1] + (long) i * aList[i - 1];
            qList[i] = qList[i - 1] + aList[i - 1];
        }

        long pn = pList[n];
        long qn = qList[n];

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans += aList[i - 1] * (pn - pList[i] - (qn - qList[i]) * i);
            ans %= MOD;
        }

        System.out.println(ans);
    }
}

C++

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector a_list(n);

    const int MOD = 1000000007;
    long long ans = 0;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a_list[i];
    }

    vector p_list(n + 1, 0);
    vector q_list(n + 1, 0);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        p_list[i] = p_list[i - 1] + static_cast(i) * a_list[i - 1];
        q_list[i] = q_list[i - 1] + a_list[i - 1];
    }

    long long pn = p_list[n];
    long long qn = q_list[n];

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ans += static_cast(a_list[i - 1]) * (pn - p_list[i] - (qn - q_list[i]) * i);
        ans %= MOD;
    }

    cout << ans << endl;
    
    return 0;
}

时空复杂度

时间复杂度：O(N)。化简后，仅需一次遍历数组。

空间复杂度：O(N)。两个后缀和数组所占用空间。

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