最长公共子序列
最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）是动态规划中的经典问题。顾名思义，即求两个序列最长的公共子序列（可以不连续）。让我们来探讨一下这个问题。
在本文中，我们规定用 s [ − 1 ] s_{[-1]} s[−1] 表示序列 s s s 的最后一个元素，用 s [ : − 1 ] s_{[:-1]} s[:−1] 表示 s s s 去掉最后一个元素后的子序列。 L C S ( s 1 , s 2 ) \mathrm{LCS}(s_1, s_2) LCS(s1,s2) 表示 s 1 s_1 s1 和 s 2 s_2 s2 的LCS的长度。
现在，假设我们有两个字符串： s 1 = "abdcbab" s_1 = \text{"abdcbab"} s1="abdcbab" 和 s 2 = "bdcbabb" s_2 = \text{"bdcbabb"} s2="bdcbabb"。我们要如何求它们的LCS呢？
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状态转移：
- 如果两个序列的最后一个元素相同，比如 s 1 = "abecbab" s_1 = \text{"abecbab"} s1="abecbab" 和 s 2 = "bdcbabb" s_2 = \text{"bdcbabb"} s2="bdcbabb"，那么它们的LCS长度就是 s 1 [ : − 1 ] s_1[:-1] s1[:−1] 和 s 2 [ : − 1 ] s_2[:-1] s2[:−1] 的LCS长度加上1。这是因为， s 1 s_1 s1 和 s 2 s_2 s2 的任何公共子序列 S S S 去掉最后一个元素后，都是 s 1 [ : − 1 ] s_{1[:-1]} s1[:−1] 和 s 2 [ : − 1 ] s_{2[:-1]} s2[:−1] 的公共子序列，所以 S S S 的长度不会大于 L C S ( s 1 [ : − 1 ] , s 2 [ : − 1 ] ) + 1 \mathrm{LCS}(s_{1[:-1]}, s_{2[:-1]}) + 1 LCS(s1[:−1],s2[:−1])+1。
- 如果最后一个元素不同，则LCS长度应为 max ( L C S ( s 1 [ : − 1 ] , s 2 ) , L C S ( s 1 , s 2 [ : − 1 ] ) ) \max(\mathrm{LCS}(s_{1[:-1]}, s_2), \mathrm{LCS}(s_1, s_{2[:-1]})) max(LCS(s1[:−1],s2),LCS(s1,s2[:−1]))，因为这时两个序列的最后一个元素不会同时出现在LCS中。
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边界条件：
- 当 s 1 s_1 s1 和 s 2 s_2 s2 中至少有一个为空时，LCS的长度为0。
综合一下，我们可以得到以下式子：
L C S ( s 1 , s 2 ) = { 0 , if s 1 or s 2 is empty L C S ( s 1 [ : − 1 ] , s 2 [ : − 1 ] ) + 1 , if s 1 [ − 1 ] = s 2 [ − 1 ] max ( L C S ( s 1 [ : − 1 ] , s 2 ) , L C S ( s 1 , s 2 [ : − 1 ] ) ) , otherwise \mathrm{LCS}(s_1, s_2) = \begin{cases} 0, & \text{if } s_1 \text{ or } s_2 \text{ is empty} \\ \mathrm{LCS}(s_{1[:-1]}, s_{2[:-1]}) + 1, & \text{if } s_{1[-1]} = s_{2[-1]} \\ \max(\mathrm{LCS}(s_{1[:-1]}, s_2), \mathrm{LCS}(s_1, s_{2[:-1]})), & \text{otherwise} \end{cases} LCS(s1,s2)=⎩ ⎨ ⎧0,LCS(s1[:−1],s2[:−1])+1,max(LCS(s1[:−1],s2),LCS(s1,s2[:−1])),if s1 or s2 is emptyif s1[−1]=s2[−1]otherwise
我们可以轻松地将其翻译成一个递归程序（我直接用Python写了）：
def lcs(s1, s2):
if s1 == "" or s2 == "":
return 0
elif s1[-1] == s2[-1]:
return lcs(s1[:-1], s2[:-1]) + 1
else:
return max(lcs(s1, s2[:-1]), lcs(s1[:-1], s2))
然而，直接这样写会引起时间和空间复杂度的爆炸。我们可以使用记忆化的方法，并且传参时传索引而不是序列本身。
此外，我们还可以使用递推的方法，将时间复杂度和空间复杂度优化到 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。这一算法的时间复杂度和空间复杂度均为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，如果使用滚动数组，可以将空间复杂度优化到 O ( n ) O(n) O(n)。