2020ICPC南京区域赛 补题 & 总结
前言
第一次打线上 ICPC \text{ICPC} ICPC ，记录一下。听说鸭血粉丝汤很好吃，虽然我没吃到，衣服也不赖。比赛环境方面，由于使用自己的设备，还是比较舒服的。
不晓得怎么，一到正式赛，前期脑子就犯懵，基本没有办法快速想出做法，现在觉得可能是平时训练出榜比较快，直接跟榜的缘故吧，正式赛前期榜单还是不太明显的，所以前期缺乏开题自信。另一个原因可能是疏于训练吧，正式赛前除了每周次的常规训练，其他题目倒是没怎么写了，而比赛当周还是考试周。
回顾了一下，前期 zzy \text{zzy} zzy 大力开签到 K \text{K} K 题，差点一血，但是后面 L \text{L} L 题写了相对复杂的扫描线做法，卡了比较久跳了题。期间 xbx \text{xbx} xbx 上机写 E \text{E} E 题，但是也是比较麻烦的分类讨论写法，我则是帮忙看了看卡的 L \text{L} L 题代码，但是没有发现问题（看榜单是签到题，应该直接接手重构的）。之后 zzy \text{zzy} zzy 秒了 F \text{F} F ，直接喂给我打，很快过了，接着 xbx \text{xbx} xbx 也过了 E \text{E} E 题。之后我跟 zzy \text{zzy} zzy 交流了下 M \text{M} M 题，确定树上背包做法后上机，但是打打调调到 3h \text{3h} 3h 才过，期间 xbx \text{xbx} xbx 重构 L \text{L} L 题过了。 zzy \text{zzy} zzy 接过键盘也很快过了 H \text{H} H 题。 3.5h \text{3.5h} 3.5h 的时候 6 6 6 题，但是罚时由于全员前期拉跨直接垮掉。这时候我在 D \text{D} D 题和 J \text{J} J 题反复横跳，直到 4h \text{4h} 4h 的时候 zzy \text{zzy} zzy 点醒了 J \text{J} J 题的最后一个结论，我接手打 J \text{J} J 题，他们则在纸上构造 A \text{A} A 题。最后由于判断失误，我误以为用 segment tree beats \text{segment tree beats} segment tree beats 可能会 TLE \text{TLE} TLE，敲了一个自以为等价的可能小常的势能线段树做法，遂 WA \text{WA} WA 穿。
最后 6 6 6 题罚时炸裂 rk43 \text{rk43} rk43， 6 6 6 题从 rk18 \text{rk18} rk18 排到 rk47 \text{rk47} rk47，如果前期没卡太久或者后期决策正确，应该是稳金的吧，可惜没如果。自诩数据结构选手却没写对 J \text{J} J 题，也是挺遗憾的，而且是做法对了、做法会打的情况下。
终归是前期没信心快速签到，回顾几场正式赛，前 1h \text{1h} 1h 我几乎是处于读题状态，很难说精准秒题，即便是签到题？赛后还是多开了几场 cf \text{cf} cf 来练了练手感，为了一周后的济南站准备。
题目链接
https://ac.nowcoder.com/acm/contest/10272
参考题解
A - Ah, It’s Yesterday Once More
简要题意：
对于给定的 n × m n \times m n×m 的方格， 0 0 0 代表障碍， 1 1 1 代表袋鼠。有一串随机生成的长为 5 × 1 0 4 5 \times 10^4 5×104 的指令，仅包含 LRUD \text{LRUD} LRUD 字符，分别表示将所有袋鼠同时向某个方向移动（若能移动，即不经过障碍、不超出方格范围）。现要求构造一个 n × m n \times m n×m 方格图，使得对于随机生成的 500 500 500 串指令，至少有 125 125 125 个满足执行后，所有袋鼠不都在同一个方格。要求构造的袋鼠方格连通、且不含环。
1 ≤ n , m ≤ 20 1 \le n, m \le 20 1≤n,m≤20。
解题思路：
构造尽可能长且不对称的路径让袋鼠移动，还有就是构造一些分岔路口。可以构造一条沿对角线方向的 Z \text{Z} Z 形路径。
参考代码：
#include
附上顺手写的 checker \text{checker} checker，检验袋鼠方格是否连通、无环，输出值为 500 500 500 组随机指令中通过的组数。
#includeB - Baby’s First Suffix Array Problem
咕。
C - Certain Scientific Railgun
咕咕。
D - Degree of Spanning Tree
简要题意：
给定一个 n n n 个顶点、 m m m 条边的无向图，保证图连通，可能含有自环和重边。判断是否存在一棵生成树使得没有顶点的度数大于 n 2 \cfrac{n}{2} 2n ，存在则输出任意方案。
多组数据， 2 ≤ n ≤ 1 0 5 , n − 1 ≤ m ≤ 2 × 1 0 5 , ∑ n i ≤ 5 × 1 0 5 , ∑ m i ≤ 1 0 6 2 \le n \le 10^5, n - 1 \le m \le 2 \times 10^5, \sum n_i \le 5 \times 10^5, \sum m_i \le 10^6 2≤n≤105,n−1≤m≤2×105,∑ni≤5×105,∑mi≤106 。
解题思路：
对于 n n n 个顶点的树，用 d ( i ) d(i) d(i) 表示顶点 i i i 的度数，对任意两个顶点 u , v u, v u,v，有 d ( u ) + d ( v ) ≤ n d(u) + d(v) \le n d(u)+d(v)≤n，取等号当且仅当 u , v u, v u,v 邻接。故任意取一棵生成树，度数大于 n 2 \cfrac{n}{2} 2n 的顶点最多只有一个，若没有这样的点，则输出答案。否则将其设为根 r t rt rt 并试图调整其度数。接下来遍历其他所有边，若边 e ( u , v ) e(u, v) e(u,v) 能替换 r t rt rt 邻接的一条边，则替换，直到 d ( r t ) = ⌊ n 2 ⌋ d(rt) = \lfloor\cfrac{n}{2}\rfloor d(rt)=⌊2n⌋ 。
注意到这个过程可能让某个顶点 u u u 的度数大于 n 2 \cfrac{n}{2} 2n，这样的 u u u 只可能是 r t rt rt 的邻接点，因为当 d ( r t ) = ⌊ n 2 ⌋ d(rt) = \lfloor\cfrac{n}{2}\rfloor d(rt)=⌊2n⌋ 时， d ( u ) + d ( r t ) = ( ⌊ n 2 ⌋ + 1 ) + ⌊ n 2 ⌋ ≥ n d(u) + d(rt) = (\lfloor\cfrac{n}{2}\rfloor + 1) + \lfloor\cfrac{n}{2}\rfloor \ge n d(u)+d(rt)=(⌊2n⌋+1)+⌊2n⌋≥n ，上面提到若两顶点不邻接，度数和将小于 n n n，故得证。
故替换边的过程，优先让 r t rt rt 的非邻接顶点度数增加，若枚举的边 e ( u , v ) e(u, v) e(u,v) 都是 r t rt rt 的邻接顶点呢？优先让度数小的度数增加，可以证明只有 n = 3 n = 3 n=3 时可能出现 d ( u ) > n 2 d(u) \gt \cfrac{n}{2} d(u)>2n，而 n = 3 n = 3 n=3 是无解情况，特判即可。
参考代码：
#includeE - Evil Coordinate
简要题意：
二维网格图上，给定起点 ( 0 , 0 ) (0, 0) (0,0)，再给一个障碍 ( m x , m y ) (m_x, m_y) (mx,my) 和一串长为 n n n 的指令，仅包含 LRUD \text{LRUD} LRUD 字符，分别表示向某个方向移动，求调整指令顺序让移动过程不经过 ( m x , m y ) (m_x, m_y) (mx,my)，无解输出 impossible \text{impossible} impossible 。
多组数据， 1 ≤ n ≤ 1 0 5 , − 1 0 9 ≤ m x , m y ≤ 1 0 9 , ∑ n i ≤ 1 0 6 1 \le n \le 10^5, -10^9 \le m_x, m_y \le 10^9, \sum n_i \le 10^6 1≤n≤105,−109≤mx,my≤109,∑ni≤106 。
解题思路：
可以证明如果有解，一定存在一种解是每个方向都连续走完，故枚举四个方向的排列即可。证明免了，看我代码分类讨论吧。
参考代码：
#includeF - Fireworks
简要题意：
制作一支烟花需要花费 n n n 分钟，每支烟花有 p × 1 0 − 4 p \times 10^{-4} p×10−4 的概率是完美的，每次可以花费 m m m 分钟点燃之前制作的所有烟花，若发现至少有一支完美的，则停止。问最优策略下，最短的停下的时间期望是多少？
多组数据， 1 ≤ T ≤ 1 0 4 , 1 ≤ n , m ≤ 1 0 9 , 1 ≤ p ≤ 1 0 4 1 \le T \le 10^4, 1 \le n, m \le 10^9, 1 \le p \le 10^4 1≤T≤104,1≤n,m≤109,1≤p≤104 。
解题思路：
不是完美烟花的概率 q = 1 − ( p × 1 0 − 4 ) q = 1 - (p \times 10^{-4}) q=1−(p×10−4)，假设最优策略为连续制作 k k k 支烟花后点燃检验，若发现有完美烟花则停止，若没有则回到初始状态，继续执行最优策略，制作轮数 X X X 服从几何分布，故期望制作轮数 E ( X ) = 1 1 − q k E(X) = \cfrac{1}{1 - q^k} E(X)=1−qk1，期望时间为 f ( k ) = n × k + m 1 − q k f(k) = \cfrac{n \times k + m}{1 - q^k} f(k)=1−qkn×k+m ，这是一个单峰函数，可以直接三分答案。
参考代码：
#includeG - Go
咕咕咕。
H - Harmonious Rectangle
简要题意：
给定 n n n 和 m m m ，问有多少个不同的 n × m n \times m n×m 矩阵满足：矩阵元素 a i , j ∈ { 1 , 2 , 3 } a_{i, j} \in \{1,2,3\} ai,j∈{1,2,3}，并且存在 1 ≤ x 1 < x 2 ≤ n 1 \le x_1 \lt x_2 \le n 1≤x1<x2≤n 和 1 ≤ y 1 < y 2 ≤ m 1 \le y_1 \lt y_2 \le m 1≤y1<y2≤m 满足
{ a ( x 1 , y 1 ) = a ( x 1 , y 2 ) a ( x 2 , y 1 ) = a ( x 2 , y 2 ) 或 { a ( x 1 , y 1 ) = a ( x 2 , y 1 ) a ( x 1 , y 2 ) = a ( x 2 , y 2 ) \left\{\begin{aligned} a(x_1, y_1) = a(x_1, y_2) \\ a(x_2, y_1) = a(x_2, y_2) \end{aligned}\right. ~\text{或}~ \left\{\begin{aligned} a(x_1, y_1) = a(x_2, y_1) \\ a(x_1, y_2) = a(x_2, y_2) \end{aligned}\right. {a(x1,y1)=a(x1,y2)a(x2,y1)=a(x2,y2) 或 {a(x1,y1)=a(x2,y1)a(x1,y2)=a(x2,y2)
输出答案模上 1 0 9 + 7 10^9 + 7 109+7 。
多组数据， 1 ≤ T ≤ 1 0 4 , 1 ≤ n , m ≤ 2 × 1 0 3 1 \le T \le 10^4, 1 \le n, m \le 2 \times 10^3 1≤T≤104,1≤n,m≤2×103 。
解题思路：
由于不同的两个元素组合只有 9 9 9 种，当 max ( n , m ) > 9 \max(n, m) \gt 9 max(n,m)>9 时，根据抽屉原理，任意矩阵都满足条件。对于其他情况，暴搜打表找出不符合的情况即可。
参考代码：
#includeI - Interested in Skiing
简要题意：
二维平面 [ − m , m ] × R [-m, m] \times \mathbb{R} [−m,m]×R 上有 n n n 条线段作为障碍，以端点坐标 ( x 1 , y 1 ) (x_1, y_1) (x1,y1) 和 ( x 2 , y 2 ) (x_2, y_2) (x2,y2) 表示，起点为 ( 0 , − inf ) (0, -\inf) (0,−inf) 的一个点以 v y v_y vy 的速度向 y \text{y} y 轴正方向移动，终点为 ( 0 , inf ) (0, \inf) (0,inf) 。求最小的 v x ∗ v_x^* vx∗，使得当水平速度 v x > v x ∗ v_x \gt v_x^* vx>vx∗ 时，能从起点移动到终点，无解则输出 − 1 -1 −1 。
1 ≤ n ≤ 100 , 1 ≤ m ≤ 1 0 4 , 1 ≤ v y ≤ 10 , − m ≤ x 1 , x 2 ≤ m , − 1 0 − 4 ≤ y 1 , y 2 ≤ 1 0 4 1 \le n \le 100, 1 \le m \le 10^4, 1 \le v_y \le 10, -m \le x_1, x_2 \le m, -10^{-4} \le y_1, y_2 \le 10^4 1≤n≤100,1≤m≤104,1≤vy≤10,−m≤x1,x2≤m,−10−4≤y1,y2≤104 。
解题思路：
最优策略是经过一些线段的端点，将所有端点按 y \text{y} y 升序排序，以该顺序拓扑转移， d p i dp_i dpi 表示到达第 i i i 个点所需的最小 v x v_x vx ，转移时枚举 O ( n ) O(n) O(n) 判断两点间是否能判断，总时间复杂度 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3) 。
参考代码：
#includeJ - Just Another Game of Stones
简要题意：
给定一个长度为 n n n 的数组 a i a_i ai ，有 q q q 次操作：
- 1 l r x 1~l~r~x 1 l r x ，表示令 a i = max ( a i , x ) , i ∈ [ l , r ] a_i = \max(a_i, x), i \in [l, r] ai=max(ai,x),i∈[l,r] 。
- 2 l r x 2~l~r~x 2 l r x ，表示询问用 [ l , r ] [l, r] [l,r] 的石堆和额外的一堆有 x x x 个石子的石堆一起，进行 Nim \text{Nim} Nim 博弈的必胜情况的第一步操作种数。
1 ≤ n , q ≤ 2 × 1 0 5 , 1 ≤ l , r ≤ n , 0 ≤ a i , x < 2 30 − 1 1 \le n, q \le 2 \times 10^5, 1 \le l, r \le n, 0 \le a_i, x \lt 2^{30} - 1 1≤n,q≤2×105,1≤l,r≤n,0≤ai,x<230−1 。
解题思路：
Nim \text{Nim} Nim 博弈，当石子数量异或和不为 0 0 0 时为必胜态，否则为必败态。假设异或和为 S S S，第一步操作就是取一堆石子，让异或和变成 0 0 0，即对石子个数为 a i a_i ai 的石堆，取走 a i − a i ⊕ S a_i - a_i \oplus S ai−ai⊕S 个石子，故询问答案就是 a i ≥ a i ⊕ S a_i \ge a_i \oplus S ai≥ai⊕S 的 i i i 的个数。
考虑 S S S 二进制最高位 1 1 1，若 a i a_i ai 对应位也是 1 1 1 ，则必有 a i ≥ a i ⊕ S a_i \ge a_i \oplus S ai≥ai⊕S ，反之不成立。修改操作使用 segment tree beats \text{segment tree beats} segment tree beats 的维护技巧。
参考代码：
#includeK - K Co-prime Permutation
简要题意：
给定 n n n 和 k k k ，构造一个排列 p i p_i pi 使得 gcd ( p i , i ) = 1 \gcd(p_i, i) = 1 gcd(pi,i)=1 的 i i i 的个数恰有 k k k 个，无解输出 − 1 -1 −1 。
1 ≤ n ≤ 1 0 6 , 0 ≤ k ≤ n 1 \le n \le 10^6, 0 \le k \le n 1≤n≤106,0≤k≤n 。
解题思路：
当 i > 1 i \gt 1 i>1 ， gcd ( i , i − 1 ) = 1 \gcd(i, i - 1) = 1 gcd(i,i−1)=1 。特判 k = 0 k = 0 k=0 无解。
参考代码：
#includeL - Let’s Play Curling
简要题意：
给定长度为 n n n 的数组 a i a_i ai 和长度为 m m m 的数组 b i b_i bi ，对于一个数 c c c，若 a i a_i ai 满足对于所有 j j j ， ∣ c − a i ∣ < ∣ c − b j ∣ \vert c - a_i \vert \lt \vert c - b_j \vert ∣c−ai∣<∣c−bj∣ 则得分加 1 1 1 ，最终得分 f ( c ) f(c) f(c) 为满足的 i i i 的个数，求最大的 f ( c ) f(c) f(c) 。
多组数据， 1 ≤ n , m ≤ 1 0 5 , 1 ≤ a i , b i ≤ 1 0 9 , ∑ n i , ∑ m i ≤ 5 × 1 0 5 1 \le n, m \le 10^5, 1 \le a_i, b_i \le 10^9, \sum n_i, \sum m_i \le 5 \times 10^5 1≤n,m≤105,1≤ai,bi≤109,∑ni,∑mi≤5×105 。
解题思路：
选择若干 a i a_i ai ，需要满足 max { ∣ c − a i ∣ } < min { ∣ c − b j ∣ } \max\{~\vert c - a_i\vert~\} \lt \min\{~\vert c - b_j\vert~\} max{ ∣c−ai∣ }<min{ ∣c−bj∣ } ，若确定 a i a_i ai ，则 c c c 取值为 max { a i } + min { a i } 2 \cfrac{\max\{a_i\} + \min\{a_i\}}{2} 2max{ai}+min{ai} 最优，显然不能有 b j b_j bj 落在 [ min { a i } , max { a i } ] [\min\{a_i\}, \max\{a_i\}] [min{ai},max{ai}] 。故答案就是 ( b j , b j + 1 ) (b_j, b_{j + 1}) (bj,bj+1) 最多有多少个 a i a_i ai 。
参考代码：
#includeM - Monster Hunter
简要题意：
给一棵 n n n 个结点的有根树， 1 1 1 号结点为根结点，每个结点上有一个血量为 h p i hp_i hpi 的怪物。必须从根到叶逐一消灭怪物，消灭第 u u u 号怪物的代价为 h p u + ∑ h p v hp_u + \sum hp_v hpu+∑hpv ，其中 v v v 是 u u u 的直接子结点。使用一次魔法可以让一只怪物血量归零，求使用魔法次数为 0 , 1 , 2 , ⋯ , n 0, 1, 2, \cdots, n 0,1,2,⋯,n 时所需的最小代价分别是多少。
多组数据， 2 ≤ n ≤ 2 × 1 0 3 , 1 ≤ h p i ≤ 1 0 9 , ∑ n i ≤ 2 × 1 0 3 2 \le n \le 2 \times 10^3, 1 \le hp_i \le 10^9, \sum n_i \le 2 \times 10^3 2≤n≤2×103,1≤hpi≤109,∑ni≤2×103 。
解题思路：
考虑一次魔法操作能减少的代价，如果对 u u u 结点使用，首先对父结点 f f f，消灭父结点 f f f 的代价减少 h p u hp_u hpu ，然后是减少 h p u + ∑ h p v hp_u + \sum hp_v hpu+∑hpv ，可以想象一次魔法操作对应将边 ( u , f ) (u, f) (u,f) 和所有 ( u , v ) (u, v) (u,v) 覆盖，将结点 u u u 覆盖。多次魔法操作后，一条边、一个结点被覆盖多次，也只能减少一次代价，然后就是树上背包枚举子树合并转移了。
参考代码：
#include