动态规划----------最长公共子序列问题

记录算法学习-----动态规划实现最长公共子序列问题

一、问题描述

子序列：将给定的序列中的零个或者多个元素（如字符）去掉后的结果（表示不连续的一串字符）。
问题：给定两个序列X={x1, x2, … xm}和Y={y1, y2, …, yn}找出X和Y的最长公共子序列。
例子：
输入：text1 = “abcde”, text2 = “ace”
输出：3
解释：最长公共子序列是 “ace” ，它的长度为 3 。
题目源于力扣

二、解题思路

方法一：暴力枚举法，对序列x的所有子序列依次判断是否为y的子序列，从而求最大的。
方法二：动态规划：设X= 和 Y=为两个序列，Z=为X和Y的最长公共子序列。则
1.若Xm=Yn，则Zk=Xm=Yn,且Zk−1是Xm−1和Yn−1的一个最长公共子序列。
2.若Xm≠Yn，且Zk≠Xm，则Z是Xm−1和Y的一个最长公共子序列。
3.若Xm≠Yn且Zk≠Yn，则Z是X和Yn−1的一个最长公共子序列。
由上面的分析可以得到下面的递推公式：

c[i][j]用来记录序列xi和yj的最长公共子序列的长度。b[i][j]记录c[i][j]的值是由那个子问题的解得到的，其中x和y的最长公共子序列长度记录于c[m][n]处。

1、b[i][j] = 1时，表示两个序列x和y的最后一个元素相等，最长公共子序列由Xi-1和Yj-1的最长公共子序列加上末尾的相等元素构成。同时在记录表中表示斜向左上方。
2、b[i][j] = 2时，表示两个序列x和y的最后一个元素不相等，最长公共子序列由Xi-1和Yj的最长公共子序列构成。同时在记录表中表示竖直向上。
3、b[i][j] = 3时，表示两个序列x和y的最后一个元素不相等，最长公共子序列由Xi和Yj-1的最长公共子序列构成。同时在记录表中表示横向左。

三、代码展示

#include
using namespace std;
char X[100];
char Y[100];
int c[100][100] = {0};//用于储存X和Y的最长公共子序列的长度
int b[100][100] = {0};//记录X和Y的最长公共子序列的位置
void LCSLength(int m,int n,char X[],char Y[],int c[][100],int b[][100])
{
	int i,j;
	//先把第一行和第一列的位置全部变为0
	for(i=1;i<=m;i++)
		c[i][0] = 0;
	for(i=1;i<=n;i++)
		c[0][i] = 0;
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		for(j=1;j<=n;j++)
		{
			if(X[i]==Y[j])
			{
				c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
				b[i][j] = 1;//表示最后一个元素相等
			}
			else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1])
			{
				c[i][j]=c[i-1][j];
				b[i][j]=2;
			}
			else
			{
				c[i][j]=c[i][j-1];
				b[i][j]=3;
			}
		}
	}
}
void LCS(int i,int j,char X[],int b[][100])
{
	if(i==0 ||j==0)
		return ;
	if(b[i][j]== 1)
	{
		LCS(i-1,j-1,X,b);
		cout<<X[i];
	}
	else if(b[i][j]==2)
	{
		LCS(i-1,j,X,b);
	}
	else 
		LCS(i,j-1,X,b);
}
int main(void)
{
	int i,j,n,m;
	//先输入x序列的长度在输入y序列的长度
	//cout<<"先输入x的长度在输入y的长度"<
	cin>>m>>n;
	for(i=1;i<=m;i++)//输入x序列
		cin>>X[i];
	for(i=1;i<=n;i++)//输入y序列
		cin>>Y[i];
	cout<<endl;
	LCSLength(m,n,X,Y,c,b);
	cout<<"最长子序列的长度为："<<c[m][n];
	cout<<"最长子序列为：";
	LCS(m,n,X,b);
	cout<<endl;
	return 0;
}