树形结构——二叉树专题总结——满二叉树，完全二叉树（堆），普通二叉树以及相应的数据管理方式
前言：
我们都见过树，由根部出发，向上延申的同时向下延申，如图：
从主干开始，依次分支，然后每一个分支再一次分支…以此类推，这样就形成了一棵枝叶茂密，长势良好的参天大树。那么树这样的结构对于我们管理数据又有什么联系呢？试想一下：倘若从根开始，我们就可以入同树一样一直分支一直分支寻找数据，这要比遍历更快，因为操作一次可能就可以访问更多的数据，这便是我们初步要学树形数据结构的意义所在。
1.树的概念：
和我们见过的树不同，数据结构中树的概念如下：
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因
为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i
<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此，树是递归定义的。！！！！！
如图：
1.树运用的重要思想：
1.注意，最后的强调，树是递归定义的，我们前面学过递归的知识，递归的本质思想是大事化小，小事化了，也就是把一个大的事件拆分成无数个有相同规律和逻辑的小事件，这便是二叉树这块重要的一个思想，之后的很多问题用到，希望在这里大家先记住。
2.注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
如图：
这三种就都不是树，因为他们的子节点有交集了，这种被称为图但不是树。
2.树结构中的一些概念：
如图：
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先（根节点）：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；
注意：以上最关键的概念是理解好树的度和节点的度的区别别记错了，叶节点，双亲节点，子节点，树的高度或者深度，祖先节点（根结点）
！！！！这里强调一下：树的高度第一层默认为1而不是0，这是由于0是留给树为空树的时候准备的，倘若第一层叫0，那么空树就只能是-1，有负数就不好表示了，所以我们这里把树的高度的第一层默认为1，空树则为0，然后向下依次加一得到树的高度
3.树的表示方式：
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间
的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法
等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
如图：
这种方式类似一层一层去遍历，同时每一个节点存储两个指针，第一个是指向自己右侧的下一个兄弟节点，另一个负责接收自己的下一层孩子节点，就如上图所示，这样即表达了根与子节点的关系，比如B的三个子节点，它只要存储好第一个孩子，就有第一个孩子依次向右访问它的其他孩子，直到指向空为止。
结构体的构造为：
typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};
我个人认为这种方式是非常优秀且合理的，很方便去访问，跟双亲表示法相比，更加容易想而且不容易出错，对于树的访问是很优秀的
4.树的实际应用：
说到这里，可能大家会有疑问，树能用来干什么呢？我学过的链表和顺序表已经可以存储大量的数据并且管理他们了，学习树形结构怎样运用呢？那不妨打开你电脑的文件夹，想一想电脑的文件系统是怎样去存储数据的呢？
在一个文件夹下面，有着多个文件夹或者文件，这种存储方式让人可以清楚的知道文件的位置，而且得益于树的特点，树中数据的位置是唯一的，故访问的路径唯一且很有秩序，这是链表或者顺序表很难做到的，所以，我们的Windows或者LINUX系统的文件存储就是以树形的结构进行的，这便是树的一个非常典型的运用实例。
2.树中的典型–二叉树：
既然我们已经熟悉了树形结构，下面就来介绍我们树形结构中最常见的一种树：二叉树
如图：
1.二叉树的概念：
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
- 或者为空
- 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成，也就是说：
1… 二叉树不存在度大于2的结点
2 . 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
如图：
二叉树可能会出现下面的情况：
所以，我们处理二叉树的数据的时候，坚持的原则就是按照次序，同时也要滴水不漏，不能放过任何一个点机械化的挨个审查一遍，这便是我说为什么二叉树需要使用递归的思想，因为递归本质就是一种机械式审查方式。
2.二叉树的一些性质（最好记下来）：
注意最后一条的2 3点，这个在后面在进行向下调整交换时会用到。！！！！！！而且再次强调，这些都是二叉树方面的性质，不是任意一棵树的，千万别记错了！！！！！！！
3.二叉树的类型：
- 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^K-1 ，则它就是满二叉树。 - 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
3.普通二叉树：即不满足上面两种的，存在左节点右节点不全的二叉树。
！！注意，满二叉树本质上就是特殊的完全二叉树，所以更笼统的分，二叉树就两种：普通二叉树和完全二叉树。！！
如图：
这便依次是：满二叉树，完全二叉树，普通二叉树。
4.二叉树的存储方式：
俗话说，兵来将挡水来土掩，二叉树也是如此，根据不同的类型我们选择不同的存储方式。
我们常见的存储二叉树的方式有两种：
1.顺序存储：即使用顺序表存储二叉树的数据，由于顺序表存在一定的死板的机械性和泛用的规律，故用来存储满二叉树和完全二叉树非常适合，但也不是不能存储普通二叉树，不过需要浪费很多的空间。
2.链式存储：即使用带有指针的链接方式存储二叉树的数据，由于指针指向的灵活性，故用来存储情况复杂的普通二叉树非常适合。
下面，就让我们详解一下这两种二叉树的存储方式！！！
3.二叉树顺序存储结构
1.物理结构和逻辑结构：
首先在我们正式开始讲顺序结构时，我们要先强调一下物理结构和逻辑结构的关系，防止大家记混。
物理结构是实际存在的，在二叉树这里，我们就是用顺序表实现二叉树，也就是数组，而逻辑结构是在我们脑袋里的想象出来的，并不是实际存在的，也就是：
在我们想象里的结构是这样的：
但实际上它是这样的：
那我们如何串联起他们两个呢？
这个时候让我们回想一下二叉树的性质：第最后一条的1 2 3点：
- 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
- 若2i+1
- 若2i+2
也就是说
1.父亲节点 * 2+1=左子节点
2.父亲节点 * 2+2=右子节点
3.（任意子节点-1）/2=父亲节点
注意，我这里强调的节点是指相应的对应的数组的下标，所以有了这个公式，我们的数组一下子便清晰成了一张二叉树的模样了，有了这样的概念，让我们正式进入二叉树顺序结构的实现吧：
代码如下：
头文件：
#pragma once
#include函数文件
#include"Heap.h"
void HeapInit(HP* php)//初始化二叉树堆
{
assert(php);
php->a = NULL;
php->size =php->capacity= 0;
}
void HeapDestroy(HP* php)//销毁二叉树堆
{
assert(php);
free(php->a);
php->a = NULL;
php->size = php->capacity = 0;
}
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)//交换数据
{
HPDataType tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
void Adjustup(HPDataType*a,int child)//向上调整 注意，向上调整的传入的是下标，且这个下标应该对应的最后一个插入的孩子节点的下标，这样才方便向上调整
{
int parent = (child - 1) / 2;
while (child>0)
{
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child],&a[parent]);//注意，这里要传指针，这样才能真正改变指针对应的数据
child = parent;
parent = (parent - 1) / 2;
}
else
{
break;//倘若不符合规律了，则循环直接停止即可
}
}
}
//总结：向下调整传父亲节点，向上调整传孩子节点
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)//尾插二叉树堆
{
assert(php);
//判断扩容
if (php->size == php->capacity)
{
int newCapacity = php->capacity==0 ? 4 : php->capacity * 2;
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newCapacity * sizeof(HPDataType));
if (tmp == NULL)
{
perror("realloc failed");
exit(-1);
}
php->a = tmp;
php->capacity = newCapacity;
}
php->a[php->size] = x;
php->size++;
Adjustup(php->a, php->size - 1);
}
void HeapPrint(HP* php)//打印
{
assert(php);
int i = 0;
for (i = 0; i < php->size; i++)
{
printf("%d ", php->a[i]);
}
printf("\n");
}
void Adjustdown(HPDataType*a,int n,int parent)//向下调整
{
int child = parent * 2 + 1;//这里的做法类似于求最大值的假设法。
while(child<n)
{
//找出小孩子
if (child+1<n&&a[child + 1] < a[child])//注意，加上这个child+1
{
child++;//首先找到两个子节点中更大或者更小的那个节点，作为接下来向下调整的子节点
}
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
//总结：向下调整传父亲节点，向上调整传孩子节点
void HeapPop(HP* php)//删除根数据，根子节点交换然后删除，之后向下调整，向下调整的前提：左右子树是大堆或者小堆
{
assert(php);
assert(php->size > 0);
Swap(&(php->a[0]),&(php->a[php->size - 1]));
php->size--;
Adjustdown(php->a, php->size,0);//注意，别忘了传的是下标，而不是元素内容
}
HPDataType HeapTop(HP* php)//找根元素
{
assert(php);
assert(php->size > 0);
return php->a[0];
}
bool HeapEmpty(HP* php)//判断为空
{
assert(php);
return php->size == 0;
}
void HeapInitArray(HP* php, int* a, int n)//将现有的数据初始化为堆的函数，注意，是现有的数据。
{
assert(php);
assert(a);
php->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(int) * n);
if (php->a == NULL)
{
perror("malloc failed");
exit(-1);
}
php->size = n;
php->capacity = n;
memcpy(php->a, a, sizeof(HPDataType)* n);
}
由于我们是依托顺序表来构建的，故顺序表的初始化，销毁，判断为空，打印，找根元素（也就是下标为0的最开始的元素），数据交换，就不过多赘述了，这里我们重点谈谈插入和删除函数的思路：
2.堆：
1.堆的概念：
二叉树不同于常规的数组，它仅仅是把数据插入进去或者删除出去，这便没意思了，那我用顺序表不是更好？这里我便要介绍堆的概念：
对于一个完全二叉树，倘若它的父亲节点与子节点都有固定大小关系（但兄弟节点之间的大小关系无所谓），则称这个完全二叉树为堆。
注意我强调的两点：
1.这一定是一棵完全二叉树
2.父亲节点与子节点的关系必须固定，但兄弟之间无所谓
2.堆的类型：
根据父亲和子节点的关系：堆分为大堆和小堆
1.大堆：所有的父亲节点都大于子节点的堆
2.小堆：所有的父亲节点都小于子节点的堆
如图：
所以这引发一个思考，二叉树的顺序结构本质上不就是堆么，没错，完全二叉树最有意义的便是实现堆。
3.二叉树顺序结构的插入和删除（堆的插入和删除）：
由于堆本质就是二叉树的顺序结构，故接下来我则使用顺序结构进行堆的一系列操作。
1.堆的插入：
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)//尾插二叉树堆
{
assert(php);
//判断扩容
if (php->size == php->capacity)
{
int newCapacity = php->capacity==0 ? 4 : php->capacity * 2;
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newCapacity * sizeof(HPDataType));
if (tmp == NULL)
{
perror("realloc failed");
exit(-1);
}
php->a = tmp;
php->capacity = newCapacity;
}
php->a[php->size] = x;
php->size++;
Adjustup(php->a, php->size - 1);
}
首先常规的一个顺序表的扩容，这里不多说了，然后就把我们想插入的数据放入了数组，同时对记录数组长度的数据加一，但仅仅如此是不够的，这里我们以小堆为例子，既然我们想排小堆，则对于新插入的数据，我们要让其自动上升到相应的位置去，这就是向上调整的过程
向上调整的过程如下：
void Adjustup(HPDataType*a,int child)//向上调整 注意，向上调整的传入的是下标，且这个下标应该对应的最后一个插入的孩子节点的下标，这样才方便向上调整
{
int parent = (child - 1) / 2;
while (child>0)
{
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child],&a[parent]);//注意，这里要传指针，这样才能真正改变指针对应的数据
child = parent;
parent = (parent - 1) / 2;
}
else
{
break;//倘若不符合规律了，则循环直接停止即可
}
}
}
！！！！注意强调的，这里都是传的参数都是下标，千万别搞错。！！！
对于向上调整，我们一定传的子节点，故首先我们要自己创建一个父亲节点方便交换，然后进入循环，倘若遇到符合条件就直接放入当前位置break跳出循环。循环中止条件一定要求是child，倘若是parent会有遗漏的情况，根节点比不到了就。
由此，堆插入就完成了。
2.堆的删除：
对于堆来说，倘若仅仅删除它的尾部数据，那样就不如使用顺序表尾删，故这里我们所说的删除，其实是针对的是根节点的删除
void HeapPop(HP* php)//删除根数据，根子节点交换然后删除，之后向下调整，向下调整的前提：左右子树是大堆或者小堆
{
assert(php);
assert(php->size > 0);
Swap(&(php->a[0]),&(php->a[php->size - 1]));
php->size--;
Adjustdown(php->a, php->size,0);//注意，别忘了传的是下标，而不是元素内容
}
根删除简单啊！只要直接把头数据删掉然后后面的向前移动就好。
但这样是严重的错误，运气好的话，确实可以直接组成下一个堆，但假如这样之后不符合条件，整个的堆就全乱了，故我们这里采用这样的思路：
首先交换头和尾的数据，然后对size–，也是就删除尾部的数据，此时，根节点就被删除了，然后我们再处理根的新数据，这时候，我们只需要对根数据进行向下调整，这样的话，原先的根节点的子节点就会顶上来成为新的根节点，而我们的尾部数据也会自己回到尾部的位置，这样就不会出现关系混乱的情况，完美实现了删除根数据。
向下调整的函数如下：
void Adjustdown(HPDataType*a,int n,int parent)//向下调整
{
int child = parent * 2 + 1;//这里的做法类似于求最大值的假设法。
while(child<n)
{
//找出小孩子
if (child+1<n&&a[child + 1] < a[child])//注意，加上这个child+1
{
child++;//首先找到两个子节点中更大或者更小的那个节点，作为接下来向下调整的子节点
}
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
向下调整的大体思路同向上差不多，我们传入的是父亲节点，所以要创建子节点，但值得注意的是，向下调整需要判断一下哪个子节点更符合条件，故需要比较一下，但注意比较的条件，因为我们会遇到恰好左子节点已经在数组边界的情况，此时访问右节点就越界了，故我们加上child+1
4.基于堆能实现的两个功能：
1.堆排序
2.TopK问题
1.堆排序：
我们大多数人最早接触的第一种排序应该是冒泡排序，但冒泡排序的速度应付小数据还好，一旦应付大规模的数据排序（比如上万上千万级别的数据）冒泡排序的依次遍历的方式就相形见绌了，所以今天我们利用堆区实现一个新的排序方法，堆排序。
现在我们要排列一系列数据使其变为升序，我们可以这样排，首先利用堆排序将其排为大堆（这里为什么排大堆，之后你就明白了，不要着急），这样我们的根数据即为最大的数据，尾数据即为最小的数据，然后参考堆删除的思路，我们交换首和尾的数据，然后对size–，然后，我们对剩下的数据重复再进行一次首尾交换，然后size–，这样，大数据就自然而然的放在了尾部，并且后面的数据依次排列。有人说排成小堆不是更好，但问题是堆不在乎兄弟节点，只在乎父子关系，所以你没法控制兄弟之间的大小，而我才用建大堆的这种方式可以避免这个问题。代码如下：
int i = 0;
for (i = 1; i < n; i++)//注意，**这里i等于1即可，因为在parent函数中，parent为(child-1)/2,从0开始就会出现负数，数组的访问就越界了，所以i=1开始即可访问所有数据。**
{
Adjustup(a, i);
}
int end = n - 1;
while (end > 0)
{
Swap(&a[0], &a[end]);//首尾元素交换，然后将访问权限减一，把除去最后一个元素的其他元素想成一个堆去向下调整，找到第二大的，依次进行即可。
Adjustdown(a, end, 0);
end--;
}
但建立堆只能用向上调整法么？
并不是，向上调整法比较好想，但其实速度太慢，用向下调整法也可以进行建堆，但与向上不同，我们不能从根节点出发，而是从第一个非叶子节点开始（最后一层就没必要向下调整了），这是由于，向下调整的前提是左右子树要已经是堆，这也是为什么我们倒着排的原因。通过倒着排，上面要排的堆的下面的节点已经是堆了，就可以向下调整了，而第一个非叶节点的寻找方法即利用我们上面说到的关系去处理：i=(sz-1-1)/2即为第一个非叶节点。
故向下调整的方式如下：
int i = 0;
for (i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0 ; i--)//注意，这里采用了更为快捷的向下调整建堆法，其思路在于找到第一个非叶子节点，也就是最后一个节点的父亲节点，然后进行依次减一操作直到i>=0,其目的在于，先构建一个部分堆以保证上面的节点可以进行向下调整
{
Adjustdown(a, n, i);
}
int end = n - 1;
while (end > 0)
{
Swap(&a[0], &a[end]);//首尾元素交换，然后将访问权限减一，把除去最后一个元素的其他元素想成一个堆去向下调整，找到第二大的，依次进行即可。
Adjustdown(a, end, 0);
end--;
}
那向上排序和向下排序谁更快呢？
向下排序更快，因为向上排序需要审查最后一层数据，而最后一层数据在整个二叉树中大约占据百分之50，而向下调整就不需要审查，故查找的次数上向上调整的次数太多了，故今后的堆排序选择向下调整法速度会更加快。（这是一种大约估摸的算法，想要知道真正的速度差别，需要进行真正的运算，在这里我不多介绍了，但向下调整大约是N-log(N+1）,向上调整大约是N*logN-N）
2.TopK问题：
当你打开美团外卖，搜索某一种小吃，你会在屏幕上看到几百家的同类饭店，并且美团会为你自动排好他们的顺序并给你推荐其相应的前几名。这种排列的依据可能是好评度，可能是月销量，也有可能是综合的数值评判，但美团的后台大概是怎样进行几千家相同类型的商家的排序的呢？这便使用了TopK问题的解决方式。
TopK问题如下：
假设10000个数据，随机出现，找出其最大的前K个。
我们TopK问题的解决思路就是：
首先将前100个数据建立一个小堆，然后依次读取剩下的数据，与堆顶的最小的数据比较，倘若大于它就进入堆并向下排序找到合适的位置，这样一直持续到读取结束，堆中的数据即为排列好的前100大的数据
时间复杂度为O（N*logK）
空间复杂度为O（K）
我们一般对于这种问题配合文件操作实现，代码如下：
void PrintfTopk(const char*filename,int k)//这个函数是topk算法的函数，操作文件的
{
FILE* fout = fopen(filename, "r");//打开文件，操作是读取"r"
if (fout == NULL)
{
perror("fopen fail");
return;
}
int i = 0;
int* minheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
if (minheap == NULL)
{
perror("malloc fail");
return;
}
for (i = 0; i < k; i++)//将文件打开后，将其从文件输入到内存中fscanf，用minheap数组来接收数据
{
fscanf(fout, "%d", &minheap[i]);//注意，fscanf是不用加换行的，默认间隔
}
//向下调整建堆
for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
Adjustdown(minheap,k,i);
}//对前k个建堆
int end = k - 1;
while (end > 0)
{
Swap(&minheap[0], &minheap[end]);
Adjustdown(minheap, end, 0);
end--;
}
int x = 0;
while (fscanf(fout,"%d",&x) != EOF)//fscanf将文件里的数据放入到x中，此时文件的数据自动已经进行到k+1了，所以令其传给x，x去与minheap[0]比较，这就满足了数据赋值后进行向下调整，从而完成了，topk问题。
{
//如果比你大，就替换你进堆
if (x > minheap[0])
{
minheap[0] = x;
Adjustdown(minheap, k, 0);
}
}
for (i = 0; i < k; i++)
{
printf("%d ", minheap[i]);
}
printf("\n");
fclose(fout);
}
void CreateNDate()//这里是创造随机数进文件的函数
{
int n = 10000;
srand(time(NULL));//注意首先要有一个时间戳，作为种子,让其time的参数为NULL或者0也可以，这样time就会返回一个时间戳而不会把这个返回值放在一个timer指向的内存中带回去。
const char* file = "data.txt";
FILE* fin = fopen(file, "w");//打开文件，操作是写"w"
if (fin == NULL)
{
perror("fopen fail");
return;
}
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int x = rand() % 10000;//控制范围在10000以内生成随机数
fprintf(fin, "%d\n", x);//往文件里面写东西最方便的是：fprintf是写,fscanf是读取,这里是从内存往文件里写，所以相当于输出用fprintf
}
fclose(fin);//注意文件操作和动态开辟内存一样，最后一定要关闭，别忘了
}
以上便是二叉树顺序结构的全部内容了，但我要补充一点：
对于任意一棵二叉树（注意，我强调的是二叉树，其他树不行），如果叶子节点的个数为N0,则度为2的节点的个数就为N0-1,也就是说他们两个永远差一个，这是由于从根开始他们就差一，之后他们的增幅速度是完全相同的，故即使到了最后他们也差一。
4.二叉树链式存储结构
在正式进行链式结构开始前，让我们重复一遍二叉树的定义：
二叉树是：
- 空树
- 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的。
根 左树 右树 …反复记忆这个过程，这就是我们链式二叉树的最基本的递归思路，我们要把所有的问题全部归结到根 左树 右树上来，而不同的代码的本质就是在这个基础上进行调整，但本质是不变的。
再重申一遍，先考察本体，然后考察左右树（当然有的问题例如中序和后序不是先从根开始）。
1.二叉树的遍历：
二叉树的遍历分为四种：
1.前序遍历
2.中序遍历
3.后序遍历
4.层序遍历
1.前序遍历：根 左 右
我们要使用递归的思想：故如图：
把每一块问题都变成根 左 右这样的三个部分去思考，
故我们可以这样写：
void PrevOrder(BTNode* root)//前序遍历法，基本的思路就是递归
{
if (root == NULL)
{
printf("NULL->");
return;
}
printf("%d->", root->val);
PrevOrder(root->left);
PrevOrder(root->right);
}
程序递归图如下：
2.中序遍历： 左 根 右
void InOrder(BTNode* root)//中序遍历法，递归
{
if (root == NULL)
{
printf("NULL->");
return;
}
InOrder(root->left);
printf("%d->", root->val);
InOrder(root->right);
}
3.后序遍历： 左 右 根
void PostOrder(BTNode* root)//后序遍历法,递归
{
if (root == NULL)
{
printf("NULL->");
return;
}
PostOrder(root->left);
PostOrder(root->right);
printf("%d->", root->val);
}
由于跟前序遍历道理差不多，故在这里我不多赘述中序和后序遍历的过程了，直接上代码了
4.层序遍历：父亲带儿子一起来
层序遍历和前三个遍历的方式不同，其风格有点类似我们前面提到的左孩子右兄弟访问法，先说说基本思路，我访问一层，就把这一层遍历，然后进行下一层，但问题在于，我如何做到一层访问完再去访问下一层呢？
这里我们可以借助队列来实现，其基本的思路就是父亲带儿子的思想，每找到一个父亲就把他的儿子也带在他后边，用队列解释就是，每访问一个节点，就连同把它的子节点也放入队列，然后删除父节点，继续访问下一个队列的头元素，持续访问队列直到队列为空为止，这样就保证了层序可以不断的一层一层去访问，代码实现为：
void LevelOrder(BTNode* root)//二叉树层序遍历,利用队列处理即可
{
Que q;
QueueInit(&q);
if (root)
{
QueuePush(&q, root);//首先把根节点放在队列的最开始
}
while (!QueueEmpty(&q))//如果队列不为空
{
BTNode*front=QueueFront(&q);//找到队列最开头的节点
printf("%d ", front->val);
if (front->left)//将最开头节点的左右子树的节点放进去，然后重复这个操作
{
QueuePush(&q, front->left);
}
if (front->right)
{
QueuePush(&q, front->right);
}
QueuePop(&q);//将最开头的节点出队列
}
QueueDestroy(&q);//别忘了最后要销毁队列
printf("\n");
}
层序遍历引申问题：判断是否为完全二叉树：
代码如下：
int TreeComplete(BTNode* root)//判断是否为完全二叉树
{
Que q;
QueueInit(&q);
if (root)
{
QueuePush(&q, root);//首先把根节点放在队列的最开始
}
while (!QueueEmpty(&q))//如果队列不为空
{
BTNode* front = QueueFront(&q);//找到队列最开头的节点
if (front == NULL)
{
break;//首先找到空节点，倘如为空就跳出循环，执行下一条
}
QueuePush(&q, front->left);
QueuePush(&q, front->right);//空也要进，非空也要进，其目的就是找出空
QueuePop(&q);//将最开头的节点出队列
}
while (!QueueEmpty(&q))
{
BTNode*front= QueueFront(&q);//进入这个循环，队列依次寻找是否有非空节点，有就为非完全，否则就为完全二叉树
QueuePop(&q);//出队列
if (front != NULL)//注意这里释放的是q,是队列的结构体，不会影响树的节点，对于二叉树本身的结构体是不删除的，原来的树的结构体仍在
{
QueueDestroy(&q);
return false;
}
}
QueueDestroy(&q);
//别忘了最后要销毁队列
return true;
}
其基本的思路就是：也利用队列层序遍历，不论左右子树是否为空都仿放入队列，遇到空就跳出第一个循环进入第二个，如果为完全二叉树，后序的遍历直到队列为空，是不可能会有节点的，应该全为空，所以只要遇到非空节点，则不是完全二叉树，倘若直到队列为空都是NULL，则证明是完全二叉树。
2.二叉树的销毁：
讲完遍历，我们再来说说销毁，销毁的难点在于，可能存在指针丢失而无法全删除的问题，故我们采取后序遍历的思路，先删分支最后删主干，代码实现为：
void TreeDestroy(BTNode* root)//销毁二叉树,利用后序去处理，这样防止free掉后野指针了，利用后序，首先销毁左右子树，倘若先销毁根节点，则左右子树访问不到就没法销毁了
{
if (root == NULL)
{
return;
}
TreeDestroy(root->left);
TreeDestroy(root->right);
free(root);
//free之后不用置空，因为我传的不是指针，置空也不改变实参，只有传二级指针的时候置空，比如链表那里就要置空
}
这便是二叉树链式结构的基本问题，后面还有几个问题不一一讲解了，看代码即可：
3.其他问题代码解析：
1.求节点个数：（基本递归思路的考察，根 左 右）
int TreeSize(BTNode* root)//树的节点个数, 递归最优解法
{
return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right)+1;//注意，最后一个节点根节点要加上不要忘了,我们只需要知道当前的节点是否存在即可。故只要它不是空，我们就执行三目操作符的第二个条件，也可以理解为左右子树遍历完了之后，还要加上根节点，对于总树如此，对于每一个子树也是如此
}
2.叶节点个数：（同理，遇到一个节点先判断空，再看左右节点是不是空来看是不是叶节点，不是就继续向下访问）
int TreeLeafSize(BTNode* root)//树的叶节点个数
{
if (root == NULL)
{
return 0;
}
if (root->left==NULL && root->right==NULL)
{
return 1;
}
return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}
3.第K层节点个数：（同理，引入高度的量，看传入的高度是不是要查询的高度即可）
int TreeKLevel(BTNode* root, int level)//第K层节点个数
{
assert(level > 0);
if (root == NULL)
{
return 0;
}
if (level == 1)
{
return 1;
}
return TreeKLevel(root->left, level - 1) + TreeKLevel(root->right, level - 1);
}
4.二叉树特定节点的查找（注意如何在递归过程中把X节点对应的位置保留回来返回，这里使用利用一个指针存下来的办法）
BTNode* TreeFind(BTNode* root, int x)//二叉树查找值为x的节点，方便后续的修改
{
if (root == NULL)
{
return NULL;
}
if (root->val == x)
{
return root;
}
BTNode* ret = NULL;
ret= TreeFind(root->left, x);
if (ret)
{
return ret;
}
ret= TreeFind(root->right, x);
if (ret)
{
return ret;
}
return NULL;
}
5.求树的高度（同样利用左右节点整型存下来对应的树的高度，进行比较后返回较大的即可）
int TreeHigh(BTNode* root)//求树的高度
{
if (root == NULL)
{
return 0;
}
int leftHeight = TreeHigh(root->left);
int rightHeight = TreeHigh(root->right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;//注意。这里先存储一次数据，这样就不用重复递归计算了，计算一次记录一次，最后加1即可
//或者使用fmax函数
//return fmax(TreeHigh(root->left), TreeHigh(root->right)) + 1;//fmax取最大值的函数，需要头文件总结：
以上便是二叉树基本问题的总结，二叉树还有很多变种题目以及形式，故希望各位可以不断持续刷题或者深入学习，二叉树后期还会为红黑树，B树等更加复杂的结构打基础，也是C加加的基础知识，所以希望各位能进一步强化这部分内容。