代码随想录算法训练营第三十九天|62. 不同路径、63. 不同路径 II

第九章 动态规划part02

62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

思路：按照动态规划五步曲：

1、dp[i][j]含义：代表第i行第j列总共路径数

2、递推公式：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

3、初始化：第一行和第一列路径数为1

4、遍历顺序：两个for循环遍历逐行遍历

5、举例推导

一遍ac

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        int dp[n][m]; //第i行j列总共不同路径数
        for(int i=0;i

• 时间复杂度：O(m × n)
• 空间复杂度：O(n)

 解法二：采用数论的方法，从起点到终点总步数为m+n-2，其中向右走的步数为m-1，即问题转化为求m + n - 2个不同的数，随便取m - 1个数，有几种取法（组合问题）。

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        long long numerator=1;   //分子
        int denominator=m-1;    //分母
        int count=m-1;
        int t=m+n-2;
        while(count--){
            numerator*=(t--);
            while(denominator!=0&&numerator%denominator==0){
                numerator/=denominator;
                denominator--;
            }
        }
        return numerator;
    }
};

• 时间复杂度：O(m)
• 空间复杂度：O(1)

注意如果使用分子的总乘积除以分母乘积可能超出范围。

63. 不同路径 II

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

思路：比上一题增加了障碍判断条件

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector>& obstacleGrid) {
        int n = obstacleGrid.size();
        int m = obstacleGrid[0].size();
        vector> dp(n, vector(m, 0));
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (obstacleGrid[i][0] == 0)  dp[i][0] = 1;
            else   break;
        }
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            if (obstacleGrid[0][j] == 0)  dp[0][j] = 1;
            else   break;
        }
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 1; j < m; j++) {
                if (obstacleGrid[i][j] == 0)  dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
                else  dp[i][j] = 0;
            }
        }
	    return dp[n - 1][m - 1];
    }
};