GZOI 2019 旅行者（二进制分组 + Dijkstra）

Description

给你 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，求给定 $k$ 个特殊点两两之间最短路的最小值。$T$ 组询问。

$1\le T\le 5,1\le k\le n\le 10^5,1\le m\le 5\times 10^5,1\le z\le 2\times 10^9$

Solution

两种思路。

第一种：

对于每一条边 $(x,y,z)$ ，离 $x$ 最近的特殊点是 $a$，离 $y$ 最近的特殊点是 $b$。那么，这两个特殊点的距离是 $di{s}_a+di{s}_b+z$。我们要找到最小值。

因为这是有向图，所以正反跑两次 Dijkstra 就可以了进行染色就可以了，染色是记录离每个点最近的特殊点。如果 $a=b$，那么就相当于走了一个环，所以我们要特判。

复杂度 $O(T\times nlogn)$。

第二种：

将所有的点分成两个集合 $A$ 和 $B$。我们用源点 $s$ 连接集合 $A$ 中所有的点，边权都为 $0$，再将集合 $B$ 连向汇点 $t$，边权都为 $0$。集合内部边权不变。然后跑 $A$ 到 $B$ 的最短路。

将所有节点分成两个集合，要满足任何两个特殊点都有至少一次被分进了不同的集合。可以按照每个点的编号的二进制的第 $i$ 位是 $0$ 还是 $1$ 枚举。只要是两个不同的点，一定会被分进两个不同的集合。同样，因为也是有向图，也要跑两边 Dijkstra。

复杂度 $O(T\times nlo{g}^{2}n)$。

Code

#include 
using namespace std;
#define re register
#define F first
#define S second
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> P;
const int N = 1e6 + 6;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
inline int read() {
    int X = 0,w = 0; char ch = 0;
    while(!isdigit(ch)) {w |= ch == '-';ch = getchar();}
    while(isdigit(ch)) X = (X << 3) + (X << 1) + (ch ^ 48),ch = getchar();
    return w ? -X : X;
}
int Start[N], To[N], Dis[N], color[2][N], a[N], head[N], tot;
ll dis[2][N];
int n, m, k;
struct edge{
	int to, w, nxt;
}e[N];
inline void addedge(int x, int y, int z){
	e[++tot].to = y; e[tot].w = z; e[tot].nxt = head[x]; head[x] = tot;
}
struct node{
	int x; ll w;
};
bool operator < (node x, node y){
	return x.w > y.w;
}
void Dijkstra(int p){
	memset(color[p], 0, sizeof(color[p])); memset(dis[p], 0x7f, sizeof(dis[p]));
	priority_queue <node> q;
	for (re int i = 1; i <= k; i++) {
		dis[p][a[i]] = 0; color[p][a[i]] = a[i];
		q.push((node){a[i], 0});
	}
	while (!q.empty()){
		int x = q.top().x; ll w = q.top().w; q.pop();
		if (w != dis[p][x]) continue;
		for (re int i = head[x]; i; i = e[i].nxt){
			int y = e[i].to, ww = e[i].w;
			if (dis[p][y] > dis[p][x] + ww){
				dis[p][y] = dis[p][x] + ww;
				color[p][y] = color[p][x];
				q.push((node){y, dis[p][y]});
			}
		}
	}
}
int main(){
	int T = read();
	while (T--){
		n = read(), m = read(), k = read();
		memset(head, 0, sizeof(head)); tot = 0;
		for (re int i = 1; i <= m; i++){
			int x = read(), y = read(), z = read();
			Start[i] = x; To[i] = y; Dis[i] = z;
			if (x != y) addedge(x, y, z);
		}
		for (re int i = 1; i <= k; i++) a[i] = read();
		Dijkstra(0);
		memset(head, 0, sizeof(head)); tot = 0;
		for (int i = 1; i <= m; i++)
			if (Start[i] != To[i]) addedge(To[i], Start[i], Dis[i]);
		Dijkstra(1);
		ll ans = 1e18;
		for (re int i = 1; i <= m; i++){
			int x = Start[i], y = To[i], z = Dis[i];
			if (color[0][x] && color[1][y] && color[0][x] != color[1][y])
				ans = min(ans, z + dis[0][x] + dis[1][y]);
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}