详细讲解如何求解「内向基环森林」问题
题目描述
这是 LeetCode 上的 「2876. 有向图访问计数」 ，难度为 「困难」。
Tag : 「基环森林」、「内向基环树」、「拓扑排序」、「图」、「BFS」
现有一个有向图，其中包含 n 个节点，节点编号从 0 到 n - 1。此外，该图还包含了 n 条有向边。
给你一个下标从 0 开始的数组 edges，其中 edges[i] 表示存在一条从节点 i 到节点 edges[i] 的边。
想象在图上发生以下过程：
你从节点 x 开始，通过边访问其他节点，直到你在 此过程 中再次访问到之前已经访问过的节点。
返回数组 answer 作为答案，其中 answer[i] 表示如果从节点 i 开始执行该过程，你可以访问到的不同节点数。
示例 1： 
输入：edges = [1,2,0,0]
输出：[3,3,3,4]
解释：从每个节点开始执行该过程，记录如下：
- 从节点 0 开始，访问节点 0 -> 1 -> 2 -> 0 。访问的不同节点数是 3 。
- 从节点 1 开始，访问节点 1 -> 2 -> 0 -> 1 。访问的不同节点数是 3 。
- 从节点 2 开始，访问节点 2 -> 0 -> 1 -> 2 。访问的不同节点数是 3 。
- 从节点 3 开始，访问节点 3 -> 0 -> 1 -> 2 -> 0 。访问的不同节点数是 4 。
示例 2： 
输入：edges = [1,2,3,4,0]
输出：[5,5,5,5,5]
解释：无论从哪个节点开始，在这个过程中，都可以访问到图中的每一个节点。
提示：
内向基环森林 + 拓扑排序
根据题意，共 n 个点，n 条边，利用 edges，将 i 向 edges[i] 连有向边，可知每个点有唯一的出边，因此这是一张可能包含多棵「内向基环树」的「基环森林」。
基环树是指其具有 个点 条边的联通块，而「内向」是指树中任意节点有且只有一条出边，对应的「外向」是指树中任意节点有且只有一条入边。
例如，左图内向，右图外向：
显然，可根据当前节点是否在“环内”进行分情况讨论：
- 对于「环内」节点来说，其答案为环节点个数；
- 对于「环外」节点来说，直观感受应该是由环上节点转移而来。但由于本题给定的是「内向基环树」，因此我们需要对原图进行“反向”，然后从环内节点开始，进行
BFS，从而更新其余非环节点答案。
具体的，我们使用如下思路进行求解：
- 创建大小为
n的数组in，进行入度统计； - 根据入度进行「拓扑排序」，剩余满足 的点，为「环内」的点。我们可处理出每个点所在环的大小，环的大小为这些点的答案。处理过程中收集这些「环内」的点（将来要从它们出发，更新其他「环外」节点）
- 对原图进行“反向”，从收集好的「环内」点进行出发，运用
BFS得出剩余点答案。
Java 代码：
class Solution {
int N = 200010, M = N, idx = 0;
int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M];
void add(int a, int b) {
e[idx] = b;
ne[idx] = he[a];
he[a] = idx++;
}
public int[] countVisitedNodes(List edges) {
int n = edges.size();
int[] in = new int[n], ans = new int[n];
for (int x : edges) in[x]++;
Deque d = new ArrayDeque<>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (in[i] == 0) d.addLast(i);
}
while (!d.isEmpty()) {
int t = edges.get(d.pollFirst());
if (--in[t] == 0) d.addLast(t);
}
// 处理环上的
Set set = new HashSet<>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (in[i] == 0) continue;
List list = new ArrayList<>();
list.add(i);
int j = edges.get(i), val = 1;
while (j != i) {
list.add(j);
j = edges.get(j);
val++;
}
for (int x : list) {
set.add(x);
in[x] = 0;
ans[x] = val;
}
}
// 建立反向图, 处理非环上的, 从环内点出发进行往外更新
Arrays.fill(he, -1);
for (int i = 0; i < n; i++) add(edges.get(i), i);
for (int u : set) {
int val = ans[u];
Deque de = new ArrayDeque<>();
de.addLast(u);
while (!de.isEmpty()) {
int sz = de.size();
while (sz-- > 0) {
int t = de.pollFirst();
ans[t] = val;
for (int i = he[t]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (ans[j] != 0) continue;
de.addLast(j);
}
}
val++;
}
}
return ans;
}
}
C++ 代码：
class Solution {
public:
int he[200010], e[200010], ne[200010], idx;
void add(int a, int b) {
e[idx] = b;
ne[idx] = he[a];
he[a] = idx++;
}
vector<int> countVisitedNodes(vector<int>& edges) {
int n = edges.size();
vector<int> in(n, 0), ans(n, 0);
for (int x : edges) in[x]++;
queue<int> d;
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (in[i] == 0) d.push(i);
}
while (!d.empty()) {
int t = edges[d.front()];
d.pop();
if (--in[t] == 0) d.push(t);
}
set<int> s;
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (in[i] == 0) continue;
vector<int> list;
list.push_back(i);
int j = edges[i], val = 1;
while (j != i) {
list.push_back(j);
j = edges[j];
val++;
}
for (int x : list) {
s.insert(x);
in[x] = 0;
ans[x] = val;
}
}
memset(he, -1, sizeof(he));
for (int i = 0; i < n; i++) add(edges[i], i);
for (int u : s) {
int val = ans[u];
queue<int> de;
de.push(u);
while (!de.empty()) {
int sz = de.size();
while (sz-- > 0) {
int t = de.front();
de.pop();
ans[t] = val;
for (int i = he[t]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (ans[j] != 0) continue;
de.push(j);
}
}
val++;
}
}
return ans;
}
};
- 时间复杂度：统计入度复杂度为 ；拓扑排序复杂度为 ；统计「环内」节点答案复杂度为 ；统计「环外」答案复杂度为 。整体复杂度为
- 空间复杂度：
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.2876 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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